2.1.2 向量的几何表示优质课教案推荐

2.1 平面向量的实际背景及基本概念

龙游县第二高级中学

王芬

教学内容解析

本节课是《普通高中课程标准实验教科书•数学4》（人教A版）第二章第一节的第一课时《平面向量的实际背景及基本概念》，本节内容属于概念性知识．

向量是近代数学重要和基本的数学概念之一，是沟通代数、几何与三角函数的桥梁，对更新和完善数学知识结构起着重要的作用．向量集数与形于一身，有着极其丰富的实际背景，在现实生活中随处可见的位移、速度、力等既有大小，又有方向的量是它的物理背景，有向线段是它的几何背景．向量就是从这些实际对象中抽象概括出来的数学概念，经过研究，建立起完整的知识体系之后，向量又作为数学模型，广泛地应用于解决数学、物理学科及实际生活中的问题，因此它在整个高中数学中起到联系数形、跨越学科、承前启后的作用．

本课是“平面向量”的起始课，具有“统领全局”的作用．本节为概念课，更为重要的不是向量的形式化定义及几个相关概念，而是能让学生去体会认识与研究数学新对象的方法和基本思路，进而提高提出问题、分析问题、解决问题的能力．

教学目标设置

1. 通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解向量相等的含义，理解向量的几何表示. 2. 在向量概念的形成过程中，提高抽象与概括能力，在向量的表示、特殊向量、向量的特殊关系的探讨过程中，体会向量具有数和形两个特征．

3. 由具有物理意义的量抽象出向量的概念，积累从具体到抽象的活动经验；在向量的概念、向量的表示、特殊向量、向量的特殊关系的探讨过程中，自觉形成从大小和方向两个角度来进行思考的习惯，培养理性思维．

教学重点与难点

教学重点：向量的概念，相等向量的概念，向量的几何表示．

教学难点：向量的概念和共线向量的概念，向量的几何表示的生成过程．

教学方法与教学手段

问题引导教学法，启发式教学．

教学过程

1、创设情境、建构概念

引例：学生在教师节发来的一条祝福短信：“王老师您好，祝您教师节快乐！我考到了1

一个离龙游直线距离大概400公里的大城市读大学，目前在军训了，您猜我在哪个城市？”

问1：

你能否举出一些既有大小，又有方向的量？

问2：

这些量有什么共同特征？

意图：通过回顾物理中已经学过的力，位移等概念，从而引出平面向量的概念，让学生从熟悉的知识中过渡到新知识，可激发学生学习兴趣，明确学习任务，指明向量的研究对象及研究方法．

问3：

你能否举出一些只有大小，没有方向的量？

意图：

激活学生的已有相关经验，进一步直观演示，加深印象，再追问有没有只有大小，没有方向的量的问题，通过两相对比，突显向量的两大要素．

2、几何表示

、理解概念

问4：

实数在数轴上是如何表示的？

意图：类比实数的点表示，寻求向量的几何表示．

问5：如图，有两个木块浮在水面上，一个木块所受到的重力大小是10N，另一个木块所受到的重力的大小为20N. 老师已经根据已经给出了表示10N的线段长度，画出两个物体所受到的浮力. 10N

意图：

用“带箭头的线段”表示浮力，是物理中已学习过的内容，是学生的“最近发展区”，将这一内容再次进行条理化、系统化，是强化、固化新知的“停泊点”，让旧知自然地“生长”出新知．

问6：

在这实数轴上，哪些实数比较特殊？

意图：

引导学生把向量集合与实数集，通过0,1这两个特殊实数类比出零向量和单位向量的概念．

思考：（1）单位向量唯一吗？

（2）平面直角坐标系内，所有起点在原点的单位向量，它们终点的轨迹是什么图形？

3、探究实例

、引出关系

探究互动：在坐标纸中画出如图所示的向量. 2

(1)图中哪些向量是单位向量？

(2)AB,CD,EF三个向量的方向有何关系？

(3)AB,CD在大小和方向上有何关系？

意图：巩固单位向量的概念；该探究将平行向量、相等向量、共线向量的概念的形成过程串在了一起，并让学生参与这些概念的形成过程．

探究互动：在坐标纸中画出如图所示的向量．

(1)OK与AB之间什么关系？

(2)OK与CD之间什么关系？

4、

辨析概念

、例题互动

例1：判断下面的说法是否正确. (1)向量的模的取值范围是(0,).

（×）

(2)若a与b都是单位向量，则|a||b|.

（√）

(3)若a//b，则a与b的方向相同或相反.

（×）

(4)零向量没有方向.

（×）

(5)若|AB|0，则ABBA.

（×）

(6)共线向量一定在同一条直线上

（×）

(7)相等向量一定是平行向量

（√）

意图：这题基本上涵盖了本节课中所有的新概念以及易错点，在辨析过程中加强学生对概念的理解与记忆．

例2：如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与OA、OB、OC相等的向量（各点都可作为向量的起点和终点）．

变式1：与向量OA长度相等的向量有多少个？

变式2：与向量OA共线的非零向量有哪些？

意图：让学生在寻找相等向量的过程中，进一步体会相等向量的

概念，进一步体会共线向量的概念以及共线向量和相等向量的区别．

5、课堂小结

、作业布置

问7：请位同学来回答本节课我们都学习了哪些新的概念？

意图：由学生总结概括本节课所学习的主要内容，教师加以提炼．

作业布置：(1) 习题2.1．

(2) 思考题：平行向量与平行线段的区别与联系？

(3) 阅读课本78页《向量及向量符号的由来》．

6、引例再探

、前后呼应

3

引例再探：大家想不想知道你们的学长到底在哪个城市读大学呢？

学长：“王老师您好，祝您教师节快乐！我考到了一个离龙游直线距离400公里的大城市读大学，目前在军训了，您猜我在哪个城市？”

老师：“上海? 南京? 南昌? 福州? ”

学长：“孔雀东南飞！”

意图：呼应引例教学，强化向量的两大要素，并再次体会向量在实际生活中的应用. 教学设计说明

本节课是“平面向量”的第一课时，兼有介绍本课学习内容、目的和重要性的学习任务. 本课概念多，内在联系紧密，概念的获得，应符合学生认知规律．

在本堂课的概念教学中，从特殊到一般的思想、类比思想是很重要的．在向量概念的形成过程中，教师可引导学生举出类似的例子，归纳共同特征，获得向量概念. 在讨论向量的几何表示和字母表示、定义零向量与单位向量、研究向量之间的关系时，主要是引导学生将已有的经验，即实数的几何表示（数轴上的点）、力的几何表示、线段的字母表示、方向的“箭头表示”、实数的绝对值、0和1的特殊性、线段的平行和共线等，一一类比到向量的几何表示、向量的字母表示、向量的模的字母表示、零向量和单位向量的特殊性、平行向量和共线向量等概念中. 这些类比将为学生自觉、有序、有效的认知向量相关概念提供“固着点”，也为教师与学生一起探究新概念的形成过程提供了自然的思路．

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