复习参考题优秀教学设计

专题复习---简单的三角恒等变换之实际应用

山东青岛第66中 孙

宁

【设计理念】

本节专题节复习课的设计理念是以学生为主体，以教师为主导，以三角恒等变换在实际生活中的应用教学为明线，以发展学生的数学建模、逻辑推理和数学运算的核心素养为暗线，努力通过课堂教学来揭示三角恒等变换的过程和本质，让学生体会蕴涵在其中的丰富的数学思想方法，实现数学课堂的育人价值. 【课标分析】

对于三角恒等变换，课标的要求如下：

（1）经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义. （2）能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系. （3）能运用上述公式进行简单的三角恒等变换（包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆）. 对于三角函数应用，课标的要求是：

会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型. 基于以上分析，通过学习，在学生的数学核心素养方面，期望达到下列要求：

通过本节专题复习课的学习，学生能掌握逻辑推理的基本形式，学会有逻辑的思考问题；能够在比较复杂的情景中把握事物之间的关联，把握事物发展的脉络；形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质和理性精神，增强交流能力. 通过本节专题复习课的学习，学生能有意识地用数学语言表达现实世界，发现和提出问题，感悟数学和现实之间的关联；学会用数学模型解决实际问题，积累数学实践的经验；认识数学模型在科学、社会、工程技术诸多领域的作用，提升实践能力，增强创新意识和科学精神. 通过本节专题复习课的学习，学生能进一步发展数学运算能力，有效借助运算方法解决实际问题；通过运算促进数学思维发展，形成规范化思考问题的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神.

【教材分析】

本节内容选自人民教育出版社A版必修四第三章《三角恒等变换》，是一节基于简单的三角恒等变换的专题复习课，选择这样一节课的理由是因为本节内容对于提高学生的数学建模、逻辑推理和数学运算三大核心素养而言，是非常好的载体. 本节专题复习课把三角恒等变换的应用放在三角变换与三角函数间的内在联系上,从而使三角函数性质的研究得到延伸.三角恒等变换不同于代数变换，后者往往着眼于式子结构形式的变换，变换内容比较单一.而对于三角变换，不仅要考虑三角函数是结构方面的差异，还要考虑三角函数式所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，它是一种立体的综合性变换.从函数式结构、函数种类、角与角之间的联系等方面找一个切入点，并以此为依据选择可以联系它们的适当公式进行转化变形，是三角恒等变换的重要特点. 高考题中与三角函数有关的问题，大都以恒等变形为研究手段.三角恒等变换是运算、化简、求值、证明过程中不可缺少的解题技巧. 本节专题复习课是用实际应用问题来展现的,通过引入变量角建立三角函数模型，通过对三角函数的变形整理,引导学生对变换对象和变换目标进行对比、分析,促使学生形成对解题过程中如何选择公式,如何根据问题的条件进行公式变形,以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识,从而加深理解化归转化的思想. 三角函数和代数、几何知识联系密切，是研究其他各类知识的重要工具.

【学情分析】

本节复习课之前学生已经复习了两节内容分别是：1.应用两角和差的正弦、余弦、正切和二倍角等公式化简求值等；2.利用三角恒等变换求三角函数最值、单调性、周期等问题.本节课是本章的第3节复习课. 本课之前，学生已经学习了三角函数、解直角三角形、两角和与差的正弦、余弦和正切公式，二倍角公式等有关内容，对于三角恒等变换有了进一步的认识，在此基础上利用三角恒等变换求解了三角函数的最值，学生具备了一定的学习基础和学习兴趣.但总体上高一学生应用数学知识的意识不强，创造力较弱，看待与分析问题不深入，知识的系统性不完善，使得学生在实际问题的数学建模过程中的具体探求上会有一定的难度.同时，本章公式较多，部分学生在解决较复杂问题时，逻辑推

理和数学运算的能力较弱，运用三角恒等变换化简三角函数式时，对于公式的恰当和灵活选择也会遇到一定的麻烦. 基于以上分析，确定本节课的教学重点和难点如下：

教学重点：

能将实际问题转化为三角函数问题后求三角函数的最值，能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握三角变换过程的能力. 教学难点：

将实际问题引入变量角进行数学建模，利用三角函数的知识解决实际问题的思路、步骤和方法. 【教学目标】

1.知识与技能：在创设的问题情境中，引导学生能将实际问题转化为三角函数问题；能熟练掌握运用三角恒等变换求三角函数最值的思路和方法. 2.过程与方法：引导学生经历将实际问题转化为数学问题的建模过程，培养学生的应用和创新意识，体会数学建模思想；让学生经历运用三角恒等变换求解三角函数最值的解题过程，培养学生的数学逻辑推理和数学运算的能力，体会化归和数形结合的思想．

3.情感态度与价值观：通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价，调动学生的主动性和积极性，给学生成功的体验，培养学生学习数学兴趣和热爱科学和勇于创新的精神. 【教学方法】

教法上：根据本节课特点，采用多媒体PPT、几何画板动态演示和投影仪作为辅助教学.所用的教学方法有：启发研讨法、情景教学法和问题驱动法. 学法上：采用学生学前预习、自主探索、合作交流、师生互动等教学手段，引导学生独立思考，自主学习，通过小组合作的形式开展探究活动，让学生的潜能得到发挥，思维得到融合和升华. 【教学过程】

教学过程主要设置以下七个教学环节：

课前复习---情境引入---探究例题---拓展提升---课堂小结---布置作业---课后延伸

一、课前复习

1.RtABC中，C90，A,B,C所对的边分别是a,b,c，则sinA_______;cosA________;tanA__________．

x2.当0,3时，求函数f(x)sinx3cosx何时取得最大值，并求出最大值．

【设计意图】复习本节课所需的相关基础知识，让学生明确运用三角恒等变换求三角函数最值的基本解题思路，就是将三角函数式化成类似于yAsinx的标准形式和注意的要点（数形结合求最值）.

二、情境引入

有一块以O为圆心的半圆形空地，园艺师要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地，使其一边AB落在半圆的直径上，且A，B两点的位置关于圆心O对称，已知半圆的半径为1．请你帮忙确定点C在何位置时，矩形ABCD的面积最大？

B

O

【设计意图】通过情景问题引发学生认知冲突，此问题给学生创设了很大的思维空间，学生直觉会想到矩形ABCD的长与宽有某种特殊关系时，其面积最大.如何说明理由呢？

那就是由点C是半圆上的动点，引入合适的变量，建立函数模型.期待学生的解题思路是引入变量角，转化为三角函数运用三角恒等变换求最值；或者引入一边长的变量x，通过代数变换的知识解决此题.

A

D

C

三、探究例题

例4 ：木工师傅要用一块圆心角为3半径为1的扇形木板中裁出一块一边在半径上的内接矩形桌面，如何操作才能矩形的面积最大呢？并求出这个最大面积．

【设计意图】将这个实际问题数学化，就是课本上的例题4. 如图，已知OPQ是半径为1,圆心角为3的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形．记COP,求当角取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积．

【分析】当C在扇形弧上运动时，矩形的边长在变化，角也在变化，角取何值时，矩形ABCD的面积S最大，需先找出S与之间的函数关系，再求函数的最值.具体可设计提出如下的问题：

问题1：题目中自变量的取值范围是多少？

【设计意图】导学生从题目已知中找到自变量的取值范围，为后面求函数最值做好准备.

问题2：矩形ABCD的一条边BC用如何表示？AB呢？

【设计意图】导学生将矩形的两条边利用题目中的边角关系进行正确的表示（在表示的过程中用到了解直角三角形的知识），为S与之间的函数关系表达式做好铺垫.

问题3：矩形ABCD的面积S与的函数关系如何表示？

【设计意图】引导学生将S与之间的函数关系表达式正确表示出来.

问题4：对函数表达式进行三角恒等变换化简会用到哪些公式？

【设计意图】引导学生对变换对象和变换目标进行对比、分析,促使学生形成对解题过程中如何选择公式,如何根据问题的条件进行公式变形,以及变换过程中常用的降幂、逆向使用公式、减少差异化辅助角公式等数学思想方法的认识,从而加深理解变换思想,培养学生的运算能力及逻辑推理能力.通过三角变换,我们把形如f(x)asinxbcosx的函数转化为形如f(x)a2b2sin(x)的函数,从而使问题得到简化.体会这个过程中所蕴涵的化归思想.

问题5：由角的范围如何求面积S的最大值？

【设计意图】将形如：asinxbcosx的函数转化为yAsin(x)的函数形式后,可以研究函数的周期、单调性、最值、对称性等性质，实现一、三章知识的完美融合，让学生体会化归思想在数学中的运用,使学生进一步掌握联系的观点,自觉地利用联系变化的观点来分析问题.通过利用公式解决实际问题，让学生体会数学思想的实际应用，体会建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生利用数学知识解决实际问题的能力.

问题6：此题中若去掉“记COP,求当角取何值时”，结论改成直接求“矩形ABCD的最大面积”，你还会如何建立函数模型呢？

【设计意图】对自变量可多一种选择，如设ADx,Sx (1x23x),尽管学3生对所得函数还暂时无法求其最大值，但能促进学生对函数模型多样性的理解，并能使学生感受到以角为自变量的优点. 总体上，本环节通过以上六个问题形成的问题组，力求在师生的合作引导启发下，使学生的思维步步深入，有序思考，连续思考和有深度的思考，来最大限度挖掘学生潜能，体现学生的主体性. 【方法感悟】

1.解答此类问题，关键是合理引入辅助角，将实际问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的有关知识求解. 2.三角恒等变换主要依靠和差角公式与二倍角公式，在进行恒等变形时，既注意分

析角之间的差异．寻求角的变换方法，还要观察三角函数的结构特征，寻求化同名(化弦或化切)的方法，明确变形的目的． 3．把形如asinxbcosx的式子化成

a2b2sin(x)的形式，体现了化归思想，有利于研究函数f(x)asinxbcosx的图象和性质. 4.在求解最值得过程中，要注意分析角的范围，数形结合，利用三角函数的图像来正确求解. 【设计意图】提高学生的归纳概括能力和数学语言的表达能力，并逐渐养成严谨的科学作风. 林崇德教授在《学习与发展》一书中指出：“概括是数学能力的基础，数学能力的培养应以培养概括能力为突破口，概括能力的培养在于教师的引导.”此处引导学生概括总结解决此类问题的思路和方法.

四、拓展提升

课本复习参考题A组13题

已知直线l1∥l2，A是l1,l2之间的一定点，并且A点到l1,l2的距离分别为h1,h2，B是直线l2上一动点，作ACAB,且使AC与直线l1交于点C,求△ABC面积的最小值.

【设计意图】此题的设计符合了学生的认知水平，创设了学生心理的“最近发展区”，使学生体会设置变量角，将问题转化为三角函数模型在解题中的重要作用. 通过对问题的解决，提高学生的创新和应用意识. 五、课堂小结

（1）通过本节课的学习，你学到了哪些知识？

（2）通过本节课的学习，你掌握了哪些方法？

（3）本节课蕴含哪些数学思想？

（4）通过本节课的学习，你还存在哪些疑惑？

【设计意图】教师引导学生从知识—方法—思想的角度，层层深入，梳理本节课的内容.让学生归纳本节课的知识要点和思想方法，使学生对本节课的学习有一个较为整体、全面认识，同时，使学生养成良好的学习习惯.

六、布置作业

请根据自己的学情选择习题，其中A组为必做题，B组为拓展题．

A组

1．某工人要从一块圆心角为45的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1m，求割出的长方形桌面的最大面积(如图)．

2．如图,已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形,A是扇形弧上的动点，

AB∥OQ,OP与AB交于点B,AC∥OP,OQ与AC交于点C，记AOP

（1）

若（2）

若2，当角取何值时，能使矩形OCAB的面积最大？

，当角取何值时，能使平行四边形OCAB的面积最大？并求出最大3面积．

B组

3.

（课本复习参考题B组第7题）

正方形ABCD的边长为1，P,Q分别为边AB,DA上的点，当△APQ的周长为2时，求PCQ的大小. 4．如图所示，在直径为1的圆O中,作一个关于圆心对称，邻边互相垂直的十字形，其中yx0．

(1) 将十字形的面积表示为的函数；

(2) 为何值时,十字形的面积最大？最大面积是多少？

【设计意图】分层作业有利于不同层次学生巩固知识，提升思维能力.拓展提升，目

的是提供多元化和挑战性选择，为想象力丰富的学生留有进一步探索、发展的空间，促使学有余力的学生课后思考和自主探究知识内在联系，将课堂上的内容延伸到课后，这对学生掌握本节课的内容是非常有帮助的.学生通过课后对本作业的探究，可以更好地理解和掌握本节课的内容，进一步体会三角恒等变换的应用价值.

七、课后延伸

由于三角函数具有周期性，在实际生活中，有许多周期现象可以用三角函数来模拟，如物理中简谐振动、交流电中的电流、潮汐等，都可以建立三角函数的模型后，利用三角函数的性质解决有关问题.

生活中很多的最值问题也可以引入变量角，转化为三角函数问题后利用三角恒等变换化简来解决，如天气预报、建筑设计、航海、测量、国防中都能找到神奇的三角函数的影子. 如停车场设计、通信电缆铺设、足球射门等问题.

综上，本节专题复习课我的设计理念遵循以下四条原则：以问题为载体；以学生为主体；以合作交流为手段；以核心素养提高为目的.重视问题的探究过程；解题的探索过程；情感的体验过程. 在教学中注重培养学生的逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象的核心素养.