复习参考题课堂实录及点评

平面向量（复习课）

教学目标：

1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。

2、掌握向量的加法和减法。

3、掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件。

4、了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。

5、掌握平面向量的数量积及其几何意义。了解用平面向量的数量积可以处理有关长度，角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。

考点一:平面向量的概念及其运算

（一）

知识点

→→→→1．平面向量的线性运算

→→a＋b

a－b

a＋b

→→b

→（1）向量的加法：

b

b

ⅰ）平行四边形法则（共起点）

→→→a

a

ⅱ）三角形法则（首尾相接）

a

（2）向量的减法：三角形法则（共起点）

（3）实数与向量的乘法：实数与向量a的积是一个向量，记作：a．

规定： 1）a的长度：aa；

2）a的方向：当0时，a与a方向相同；

当0时，a与a方向相反；

当0时，a0．

2

平面向量的坐标运算：

(1)若a(x1,y1)，b(x2,y2)，则ab(x1x2,y1y2)

(2)若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则AB(x2x1,y2y1)

(3)若a(x,y)，则a(x,y)

(二)典型例题分析

例1、判断下列命题是否正确，不正确的说明理由。

(1)若向量a与b同向，且ab，则ab；

(2)若向量ab，则a与b的长度相等且方向相同或相反；

(3)对于任意向量ab，且a与b的方向相同，则ab；

(4)由于零向量0方向不确定，故0不能与任意向量平行。

(5)向量AB与向量CD是共线向量，则A,B,C,D四点在一条直线上；

(6)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量。

解：（1）不正确，因为向量是不同于数量的一种量，它由两个因素来确定，即大小与方向，所以两个向量不能比较大小，故（1）不正确. （2）不正确，由（3）正确，因为abab只能判断两个向量长度相等，不能判断方向。

，且方向相同，由两向量相等的条件可得ab

（4）不正确，由零向量性质可得0与任一向量平行，可知（4）不正确。

（5）不正确，若向量AB与向量CD是共线向量，则向量AB与CD所在的直线平行或重合，因此，A,B,C,D不一定共线。

（6）正确，对于一个向量只要不改变其大小与方向，是可以任意平行移动的。

例2、判断下列各命题是否正确：

1

(1)若ab，则ab； (2)单位向量都相等； (3)向量就是有向线段；

(4)两相等向量若其起点相同，则终点也相同； (5)若ab，bc，则ac；

(6) 若a//b，b//c，则a//c； (7)若四边形ABCD是平行四边形，则ABDC，BCDA

解：（1）不正确，由|a||b|只能判断两个向量长度相等，不能判断方向（2）不正确，单位向量只是模均为单位长度1，而对方向没有要求；（3）不正确，有向线段有三个要素：起点、终点及长度，向量有两个要素：大小与方向。有向线段只是向量的一种表示形式，不能把两者等同起来；（4）正确，因两相等向量的模相等，方向相同，故当它们的起点相同时，则终点必重合；（5）正确，由向量相等定义可得（6）不正确，若b0，则对两个不共线的向量a与c，也有a//0,0//c，但a//c（7）不正确，

例3、如右图所示，已知OAa，OBb，OCc，ODd，OEe，OFf，

试用a，b，

c，d，e, f表示：

（1）ADAB; （2）ABCF; （3）BFBD.

例4、如右图，以向量OAa，OBb为边作平行四边形OADB，BM用a,b表示OM,ON,MN

11BC，CNCD，

33解：BAOAOBab，BM111BAab666

15OMOBBMab66

又ODab

11112ONOCCDODODOD(ab)32633

221511MNONOMababab336626

152211OMab,ONab,MNab663326

例5、已知a是以点A(3,1)为起点，且与向量b(3,4)平行的单位向量，则向量a的终点坐标是

. 变式1、设平面向量a(3,5)，b(2,1)，则a2b 变式2、在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若ACa，BDb，则AF（

）

11A、ab

4221 B、ab

3311C、ab

24

12D、ab

33变式3、在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若AB(2,4)，AC(1,3)，则BD（ ）

A、(2,4) B、(3,5) C、(3,5) D、(2,4)

2

巩固练习：

1、下列各式计算正确的有________个．

①(7)6a42a； ②7(ab)8b7a15b；

③a2ba2b2a； ④4(2ab)8a4b. 2、在ABC中，已知D是AB边上一点，若AD2DB，CD1CACB，则________. 33、如图，在ABC中，AN12NC，P是BN上的一点，若APmABAC，则实数m____. 39

4、若a为任一非零向量，b为模为1的向量，下列各式：

①|ab；②a//b；③a0；④b1，其中正确的是________．

5、已知点A(0,1)，B(3,2)，向量AC(4,3)，则向量BC________. 6、已知点G是ABC的重心，则GAGBGC____________________. 7、已知ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足PAPBPCAB，则点P与ABC的关系为________．

O是BC的中点，8、在ABC中，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若ABxAM，ACyAN，则xy________. 211．3 2.

3.

4.③

5.(－7，－4) 6.0 397．P是AC边的一个三等分点

解析

∵→PA＋→PB＋→PC＝→AB，∴→PA＋→PB＋→PC＝→PB－→PA，

∴→PC＝－2→PA＝2→AP，∴P是AC边的一个三等分点．

8．2 解析

因为M、O、N三点共线，所以存在常数λ(λ≠0，且λ≠－1)，

使得→MO＝λ→ON，即→AO－→AM＝λ(→AN－→AO)，

考点二、平面向量的数量积

（一）

知识点

1、数量积： ababcos 规定：0a0

2、数量积的性质：

(1) ab0ab (2) cos(3) aaa

或

aaa

或

a3、向量的投影：bcos2abab

x2y2

abR，称为向量b在a方向上的投影

a4、数量积的坐标表示：abx1x2y1y2

3

（二）

典型例题分析

例1、已知向量a和b的夹角为120，a1，b3，则5ab

．

变式1：已知向量a、b满足：a1，b2，ab2，则ab( ) A、1

B、2

C、5

D、6

变式2：

已知向量a(2,1)，ab10，ab52，则b ( ) A、

5 B、10 C、5 D、25

例2、若a1，b2，cab，且ca，则向量a与b的夹角为( ) A、30 B、60 C、120 D、150

变式：设向量a与b的夹角为，a(3,3)，2ba(1,1)，则cos

巩固练习

1、已知ABC为正三角形且边长为4，则ABBC________. 2、已知向量a12，b6，ab24，则向量a在向量b方向上的投影为________．

3、在平行四边形ABCD中，AD2，BAD60，E为CD的中点，若ADBE1，则AB_____. 4、已知向量a，b满足(a2b)(5a4b)0

，且ab1，则a与b的夹角________. 5、如图，在矩形ABCD中，AB2，BC2，点E为BC的中点，点F在CD上，若ABAF2，则AEBF________.

6、设a(1,2)，b(1,1)，cakb，若bc，则实数k________. 7、已知向量a(2,7)，b(x,3)，且a与b的夹角为钝角，则实数x的取值范围为________．

8、已知向量AB与AC的夹角为120，且AB3，AC2，若APABAC，且APBC，则实数的值为________．

9、平行四边形ABCD中，已知AB4，AD3，BAD60，点E，F分别满足AE2ED，DFFC，则AFBE________. 10、在AOB中，OA(2cos,2sin)，OB(5cos,5sin)，若OAOB5，则SAOB________. 11、设a(2,x)，b(4,5)，若a与b的夹角为钝角，则x的取值范围是________________．

答案解析

1．－8 2.－4 3.6 4.π

5.2 33662176．－

7.(－∞，－)∪(－，) 8.

2772129．－6 12解析

依题意得→AF＝→AD＋→DF＝→AD＋→AB，→BE＝→AE－→AB＝→AD－→AB，

23

4

12→AF·→BE＝(→AD＋→AB)·(→AD－→AB) 23221→22→→＝→AD－AB－AD·AB

323212＝×32－×42－×3×4cos 60°＝－6. 323510.3 2→OA·→OB－51→→解析

由题意可得|OA|＝2，|OB|＝5，cos∠BOA＝＝＝－，

2|→OA||→OB|2×5因为∠AOB∈(0，π)，

所以由同角三角函数基本关系式可得sin∠AOB＝1→53→所以S△OAB＝|OA||OB|sin∠AOB＝. 228511．x<且x≠－

52解析

∵θ为钝角，∴cos θ＝8即a·b＝－8＋5x<0，∴x<. 55∵a∥b时有－4x－10＝0，即x＝－，

2551当x＝－时，a＝(2，－)＝－b，

222∴a与b反向，即θ＝π.

85故a与b的夹角为钝角时，x<且x≠－. 52考点三：向量共线与垂直条件

（一）

知识点

1、

两个向量共线定理：向量a（a0）与b共线

⇔

存在唯一实数，使得ba．

2、若a(x1,y1)，b(x2,y2)，则

3，

2a·b<0，

|a||b|a//bx1y2x2y10； abx1x2y1y20 典型例题分析

例1、已知平面向量a(1,2)，b(2,m)，且a//b，则2a3b（ ）

A、(2,4) B、(3,6) C、(4,8) D、(5,10)

变式1：设向量a(1,2)，b(2,3)，若向量ab与向量c(4,7)共线，则 ．

例2、已知平面向量a(1,3)，b(4,2)，ab与a垂直，则是（ ）

A、1

B、1

C、2

D、2

5

变式2：关于平面向量a，b，c，有下列三个命题：

①abac，则bc． ②若a(1,k)，b(2,6)，a//b，则k3．

③非零向量a和b满足abab，则a与ab的夹角为60．

其中真命题的序号为

．（写出所有真命题的序号）

变式2：已知向量a(1,2)，b(2,3)，若向量c满足(ca)//b，c(ab)，则c ( ) 77777777A、(,) B、(,) C、(,) D、(,) 93393993

考点四：平面向量的应用

11、设向量a(sinx,cos2x)，b(3cosx,)，函数f(x)ab. 2(1)求函数f(x)的最小正周期；

(2)若04，f()，求cos的值．

325131π解

(1)f(x)＝3sin xcos x＋cos 2x＝sin 2x＋cos 2x＝sin(2x＋)，

2226所以最小正周期T＝2π＝π.

2(2)由f(α4π4π9)＝，得sin(α＋)＝，所以cos2(α＋)＝. 2565625πππππ3，所以<α＋<，所以cos(α＋)＝. 366265ππππππ334133＋4－)＝cos(α＋)cos＋sin(α＋)sin＝×＋×＝. 666666525210因为0<α<所以cos α＝cos(α＋

2、已知向量m(3cosx,3sinx)，n(2cosx,2cosx)，函数f(x)mn. (1)求f(x)的最小正周期和对称轴方程；

(2)在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(B)0且b2，cosA解

(1)f(x)＝mn＝6cos2x－23sin xcos x＝3(1＋cos 2x)－3sin 2x

＝3cos 2x－3sin 2x＋3＝23cos(2x＋2π＝π.

2π)＋3，

64，求a的值．

5∴f(x)的最小正周期为T＝π1π由2x＋＝kπ(k∈Z)，得对称轴方程为x＝kπ－(k∈Z)．

6212(2)由f(B)＝0，得cos(2B＋π3)＝－. 62

6

∵B为锐角，∴ππ7π<2B＋<，

666π5ππ∴2B＋＝，B＝. 6634∵cos A＝，A∈(0，π)，∴sin A＝

51－354523＝. 5在△ABC中，由正弦定理得a＝bsin A＝sin B2×32＝4343， 即a＝. 55

3、已知向量m(3sinxxx,1)，n(cos,cos2)．

444(1)若mn1，求cos(2x)的值；

3(2)记f(x)mn，在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(2ac)cosBbcosC，求函数f(A)的取值范围．

xxx3x1x1xπ1解

m·n＝3sincos＋cos2＝sin＋×cos＋＝sin(＋)＋. 44422222262xπ1(1)∵m·n＝1，∴sin(＋)＝，

262cos(x＋πxπ1)＝1－2sin2(＋)＝，

3262cos(2ππ1－x)＝－cos(x＋)＝－. 332(2)∵(2a－c)cos B＝bcos C，

由正弦定理得(2sin A－sin C)·cos B＝sin Bcos C，

∴2sin Acos B＝sin Ccos B＋sin Bcos C，

∴2sin Acos B＝sin(B＋C)．

∵A＋B＋C＝π，∴sin(B＋C)＝sin A，且sin A≠0，

1π2π∴cos B＝，又∵B∈(0，π)，∴B＝.∴0

262Aπ13∴f(A)＝sin(＋)＋，故1

2

7