阅读与思考 相关关系的强与弱优秀教案范文

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一案三用：导学、导教、导测评

数学

高一年级第一学期

编号G1-Y-091

课题：变量之间的相关关系

一、学习目标

1.理解两个变量的相关关系的概念. 2.会作散点图，并利用散点图判断线性相关关系. 3.了解最小二乘法的思想及回归方程系数公式的推导过程. 4.通过实例加强回归直线方程含义的理解，能够对实际问题进行分析和预测.

二、学习过程

（一）回忆原有知识

回忆函数的定义。思考问题：两个变量之间的关系为函数关系需满足哪些条件？

（二）学习新知识

知识要点（抓住以下要点，能更好地帮助你理解新知识.）

1、函数关系与相关关系的区别；

2、利用散点图判断两个变量的相关关系；

3、求回归方程的步骤及利用回归方程预测变量的值

自主学习

阅读课本P84--86，思考知识要点中的三个问题以及p89的练习，并完成下面问题

1、图中的两个变量是相关关系的是

(

)

A.①②

B.①③ C.②④

D.②③

2、对变量x,y有观测数据(xi,yi)(i=1,2,…,10),得散点图①;对变量u,v有观测数据(ui,vi)(i=1,2,…,10),得散点图②.由这两个散点图可以判断

(

)

A.变量x与y正相关,u与v正相关

B.变量x与y正相关,u与v负相关

C.变量x与y负相关,u与v正相关

D.变量x与y负相关,u与v负相关

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编号G1-Y-091 小结：1、函数关系与相关关系的区别：

2、利用散点图判断两个变量的相关关系：

案例分析（通过学习以下题型，能更好地帮助你形成运用新知识解决问题的能力.）

利用书本上的散点图讲解回归直线及最小二乘法求回归直线方程

回归方程的求法

最小二乘法: 求回归直线方程

方法叫做最小二乘法. ybxa 时,使得样本数据的点到回归直线的_____________最小的ba

xi1nnixiyyxynxy

iiinxi1x2i1n2xinxi12,【例1】(2018山西联考）在某化学反应的中间阶段，压力保持不变，温度从1变化到5，反应结果如下表所示（x代表温度，y代表结果）：

oox

1

2

3

4

5

y

3571011

（1）求化学反应的结果y对温度x的线性回归方程ybxa；

（2）判断变量x与y之间是正相关还是负相关，并预测当温度达到10时反应结果为多少？

oˆˆˆˆb附：线性回归方程ybxa中，

xynxyiii1nnˆˆˆxi2nxi12ˆ，aybx. 这里我会解释公式中每个元素的及板书具体的解题步骤和规范性

【解析】第一步,找出xi yi及n的值

第二步, 计算平均数x,y;求和i12xy，xiii；i1

nn

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编号G1-Y-091 bxi1nnixiyxiy2第三步,计算

xi1xi1ni1niyin x

y2ixn x2，ay bx；

第四步,写出回归方程y

（1）由题意n5，

bxa.

552152xxi3yyi7.2x5x555910i5i1i1，， i1，

xy5xy129537.221iii5ˆb，∴xy5xyiii155xi12i5x2212.110，

ˆybx7.22.130.9，

aˆ∴所求的回归方程为y2.1x0.9.

（2）由于变量y的值随温度x的值增加而增加（b2.10），故x与y之间是正相关.

当x10时，y2.1100.921.9.

ˆˆ【变式训练】(2017高二广州学业水平考)

一台机器的使用年限x（年）和所支出的维修费用y（万元）有如下统计数据：

x

2

3

4

5

0.7

6

0.8

y

0.2

0.3

已知y与（Ⅰ）求y关于x的回归方程；

0.5

x之间有线性相关关系. （Ⅱ）估计使用年限为10年时，维修费用约是多少? 参考公式：线性回归方程ybxa中斜率和截距公式分别为：

bxxyyiii1nxxii1n2，aybx. 解:（Ⅰ）x y5234564, ……………………………………………………1分

50.20.30.50.70.80.5,……………………………………………2分

5ii xxyy20.310.20010.220.31.6, i1 ……………………………………………………3分

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编号G1-Y-091 i15xix522102122210,………………………………4分

22 bxxyyiii1i15xix21.60.16,……………………………………………6分

10 aybx0.50.1640.14,………………………………………………8分

故线性回归方程为y0.16x0.14. ……………………………………………10分

（Ⅱ）当x10时,y0.16100.141.46, ………………………………………11分

故估计使用年限为10年时，维修费用约是1.46万元. …………………………12分

【规律总结】求回归方程的步骤：

例2:这个例题比上例更进了一步，如何利用题目已经给出整理好的数据

例2(2018届广州市一测文数）某地1~10岁男童年龄xi（岁）与身高的中位数yicmi1,2,L,10如下表：

x（岁）

ycm

1 76.5 2 88.5 3 96.8 4 104.1 5 111.3 6 117.7 7 124.0 8 130.0 9 135.4 10 140.2 对上表的数据作初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．

x

y

101022xix

yiy

i1i110xxi1iyiy

5.5 112.45 82.50 3947.71 566.85 （1）求y关于x的线性回归方程（回归方程系数精确到0.01）；

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高一年级第一学期

编号G1-Y-091 （2）某同学认为，ypx2qxr更适宜作为y关于x的回归方程类型，他求得的回归方程是y0.30x210.17x68.07．经调查，该地11岁男童身高的中位数为145.3cm．与（1）中的线性回归方程比较，哪个回归方程的拟合效果更好？

ˆˆx中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b附：回归方程yˆaˆbxxyii1nii1niy，

2xxˆx. ˆyba第一步,对照公式去找表格中给出的数据

bi1nxixniyiy第二步,计算

xi1x2xi1ni1niyin x

y2ixn x2，ay bx；

第四步,写出回归方程y

bxa.

下面这个变式训练也是如何利用题目已经整理好的数据，但是比上面的例题要难度大一些

【变式训练】(2015年全国I高考)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1，2，···，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值. 年销售量

年宣传费(千元) x

y

w

i=18(xi－x)2

i=18(wi－w)2

i=18(xi－x)(yi－i=18(wi－y) 46.6 56.3 6.8 289.8 1.6 1469 w)(yi－y) 108.8 1表中wi ＝xi，

，w

＝8i=18wi

(Ⅰ)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋dx哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方

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编号G1-Y-091 程类型？(给出判断即可，不必说明理由)

(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；

(Ⅲ)以知这种产品的年利率z与x、y的关系为z＝0.2y－x.根据(Ⅱ)的结果回答下列问题：

（i）

年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？

（ii）

年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？

附：对于一组数据(u1

v1)，(u2

v2)…….. (un

vn)，其回归线v＝u的斜率和截距的最小二乘估计分别为：

(uu)(vv)iii1n(uu)ii1n,vu

2解：（I）由散点图可以判断，ycdx适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型。

……2分

（II）令wnx，先建立y关于w的线性回归方程。由于

ˆ

d(ww)(yy)iii1(ww)ii1n2108.868

1.6ˆ563686.8100.6。

ˆydwcˆ100.668w，因此y关于x的回归方程为所以y关于w的线性回归方程为yˆ100.668x。

……6分

y

（III）（i）由（II）知，当x=49时，年销售量y的预报值

ˆ100.66849576.6

y年利润z的预报值

ˆ576.60.24966.32。

……9分

z

（ii）根据（II）的结果知，年利润z的预报值

ˆ0.2(100.668x)xx13.6x20.12

z

所以当x13.6ˆ取得最大值

6.8，即x=46.24时，z2

故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大。

……12分

（四）强化训练

必做题（所有学生必做）

1、(2018南昌模拟)某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，则其回归方程可能是( A )

A．y10x200

B．y10x200

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高一年级第一学期

编号G1-Y-091 C．y10x200

D．y10x200

2.已知变量x和y满足关系=-0.1x+1,变量y与z正相关.下列结论中正确的是

(

) A.x与y正相关,x与z负相关

B.x与y正相关,x与z正相关

C.x与y负相关,x与z负相关

D.x与y负相关,x与z正相关

3、（2018成都七中）某产品的广告费用x于销售额y的统计数据如下表：

广告费用x（万元）

销售额y（万元）

4

2

3

5

49

26

39

54

ˆ根据上表可得线性回归方程ybxa中的b为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（

B

）

A．63.6万元

B．65.5万元

C．67.7万元

D．72.0万元

4、（2017山东高考）为了研究某班学生的脚长x（单位：厘米）和身高y（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程xi225yi1600ˆˆˆˆ为ybxa．已知i1，i1，b4．该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（

C

）

A．160

B．163

C．166

D．170

10105.(2015·全国卷Ⅱ)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量(单位:万吨)柱形图,以下结论不正确的是

(

)

A.逐年比较,2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著

B.2007年我国治理二氧化硫排放显现成效

C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势

D.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关

6.根据如下样本数据得到的回归方程为=x+,则

( A )

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高一年级第一学期

编号G1-Y-091 x y 3 4.0 4 2.5 5 -0.5 6 0.5 7 -2.0 8 -3.0 A.>0,<0

B.>0,>0 C.<0,<0

D.<0,>0

7、工人工资y(元)与劳动生产率x(千元)的相关关系的回归方程为

=50+80x,下列判断正确的是

(

) A.劳动生产率为1 000元时,工人工资为130元

B.劳动生产率提高1 000元时,工人工资平均提高80元

C.劳动生产率提高1 000元时,工人工资平均提高130元

D.当月工资为3 000元时,劳动生产率为240 050元

8、【2018折线图．

全国二卷18】下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的

为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据ˆ30.413.5t；根据2，…，17）建立模型①：y2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，ˆ9917.5t．

2，…，7）建立模型②：y2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；

（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．

2.解：（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为

ˆ30.413.519226.1(亿元)．

y利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为

ˆ9917.59256.5(亿元)．

y

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编号G1-Y-091 （2）利用模型②得到的预测值更可靠．

理由如下：

（ⅰ）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y30.413.5t上下．这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用ˆ9917.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施2010年至2016年的数据建立的线性模型y投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．

（ⅱ）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理．说明利用模型②得到的预测值更可靠．

9、(2015·高考重庆卷)随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表：

年份

2010

2011

2012

2013

2014 时间代号t 1

2

3

4

5 储蓄存款y (千亿元)

(1)求y关于t的回归方程＝t＋；

5

6

7

8

10 (2)用所求回归方程预测该地区2015年(t＝6)的人民币储蓄存款．

tyii1nnintynt2附：回归方程＝t＋中，＝i1t2i，＝y－t.

10、某公司经营一批进价为每件4百元的商品,在市场调查时发现,此商品的销售单价x(百元)与日销售量y(件)之间有如下关系: 世纪金榜导学号15594129

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编号G1-Y-091 x(百元) y(件) (1)求y关于x的回归直线方程. 5 6 7 8 9 10 8 9 6 1 (2)借助回归直线方程请你预测,销售单价为多少百元(精确到个位数)时,日利润最大? 相关公式:=错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。-b错误！未找到引用源。. 【解析】(1)因为错误！未找到引用源。=7,错误！未找到引用源。=6.8, 所以=错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。=-2, =错误！未找到引用源。-b错误！未找到引用源。=20.8. 于是得到y关于x的回归直线方程=-2x+20.8. (2)销售单价为x百元时的利润为(x-4)(-2x+20.8)=-2x2+28.8x-83.2, 当x=错误！未找到引用源。≈7时,日利润最大.

选做题（供部分学有余力的学生选做，冲刺高优线学生必做）

（2016年全国III高考）下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图

（I）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；

（II）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量。

参考数据：

yi17i9.32，tiyi40.17，i17(yy)ii1720.55，7≈2.646.

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编号G1-Y-091 参考公式：相关系数r(tt)(yy)iii1n(tt)(y2ii1i1nn ，iy)2回归方程yabt

中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

b(ti1nit)(yiy)，a=ybt.

i(ti1nt)2

【答案】（Ⅰ）理由见解析；（Ⅱ）1.82亿吨．

9.32ˆ1.331及（Ⅰ）得b（Ⅱ）由y7(ti17it)(yiy)i(ti17t)22.890.103，

28ˆt1.3310.10340.92. ˆybaˆ0.920.10t. 所以，y关于t的回归方程为：yˆ0.920.1091.82. 将2016年对应的t9代入回归方程得：y所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨. 考点：线性相关与线性回归方程的求法与应用．

分

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编号G1-Y-091

三、学习总结（回顾本课的学习内容包括做过的练习题，对照学习目标逐一检查是否能做到. 做不到则需尽快补救.）

四、

课堂只能处理完例题，强化训练就做作业了