2.3.1 变量之间的相关关系全国优秀课堂实录

2.4

线性回归方程

教学目标：

1.

通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系；

2.

在两个变量具有线性相关关系时，会在散点图中作出线性直线，会用线性回归方程进行预测；

3.

知道最小二乘法的含义，知道最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程，了解（线性）相关系数的定义．

教学重点：

散点图的画法，回归直线方程的求解方法．

教学难点：

回归直线方程的求解方法．

教学方法：

引导发现、合作探究．

教学过程：

一、创设情景，揭示课题

客观事物是相互联系的．过去研究的大多数是因果关系，但实际上更多存在的是一种非因果关系．比如说：某某同学的数学成绩与物理成绩，彼此是互相联系的，但不能认为数学是“因”，物理是“果”，或者反过来说

事实上数学和物理成绩都是“果”，而真正的“因”是学生的理科学习能力和努力程度．所以说，函数关系存在着一种确定性关系，但还存在着另一种非确定性关系——相关关系．

二、学生活动

提出问题：两个变量之间的常见关系有几种？

（1）确定性的函数关系，变量之间的关系可以用函数表示；

（2）相关关系，变量之间有一定的联系，但不能完全用函数来表示．

说明：不要认为两个变量间除了函数关系，就是相关关系，事实是，两个变量间可能毫无关系．比如地球运行的速度与某个人的行走速度就可认为没有关系．

某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系，随机统计并制作了某6天卖出热茶的杯数与当天气温的对照表：

气温/0C 杯数

26 20 18 24 13 34 10 38 4 50 1

64 如果某天的气温是50C，你能根据这些数据预测这天小卖部卖出热茶的杯数吗？

为了了解热茶销量与气温的大致关系，我们以横坐标x表示气温，纵坐标y表示热茶销量，建立直角坐标系，将表中数据构成的6个数对所表示的点在坐标系内标出，得到下图，今后我们称这样的图为散点图(scatterplot). 从下图可以看出，这些点散布在一条直线的附近,故可用一个线性函数近似地表示热茶销量与气温之间的关系. 选择怎样的直线近似地表示热茶销量与气温之间的关系？

我们有多种思考方案：

（1）选择能反映直线变化的两个点,例如取(4,50),(18,24)这两点的直线；

（2）取一条直线,使得位于该直线一侧和另一侧的点的个数基本相同；

（3）多取几组点,确定几条直线方程,再分别算出各条直线斜率、截距的平均值,作为所求直线的斜率、截距；

……

怎样的直线最好呢? 三、建构数学

1．最小平方法：

ˆbxa的直线拟合散点图中的点，应使得该直线

用方程为yˆbxa与图中六

与散点图中的点最接近．那么，怎样衡量直线y个点的接近程度呢？

ˆ的值: 我们将表中给出的自变量x的六个值带入直线方程,得到相应的六个y26ba,18ba,13ba,10ba,4ba,ba.这六个值与表中相应的实际值应该越

接近越好.所以,我们用类似于估计平均数时的思想,考虑离差的平方和

　　Q(a,b)(26ba20)2(18ba24)2(13ba34)2(10ba38)2(4ba50)(ba64)22

1286b26a2140ab3820b460a10172

ˆbxa与各散点在垂直方向(纵轴方向)上的距离的平

说明：

Q(a,b)是直线yˆbxa与图中六个点的接近程度,所以,设法取a,b的

方和,可以用来衡量直线y值,使Q(a,b)达到最小值.这种方法叫做最小平方法(又称最小二乘法)（method of least square）. 140a3820时, Q

21286140b460取得最小值.同理, 把b看作常数,那么Q是关于a的二次函数.当a

12 先把a看作常数,那么Q是关于b的二次函数.易知,当b140a3820b时, Q取得最小值.因此,当21286时，Q取的最小值，由此解得

a140b46012ˆ1.6477x57.5568.当x5

b1.6477,a57.5568.所求直线方程为yˆ66,故当气温为50C时,热茶销量约为66杯. 时,y2．线性相关关系：

ˆbxa近似表示的相关关系叫做线性相关关系(liner 像这样能用直线方程ycorrelation).

3．线性回归方程：

一般地,设有n个观察数据如下：

x

y

x1

x2

x3

y3

…

…

xn

yn

y1

y2

当a,b使Q(y1bx1a)2(y2bx2a)2...(ynbxna)2取得最小值时,就

ˆbxa为拟合这n对数据的线性回归方程（linear regression equation）, 称y该方程所表示的直线称为回归直线．

上述式子展开后，是一个关于a,b的二次多项式，应用配方法，可求出使Q为

最小值时的a,b的值．即

nnnnxy(x)(iiiyi)i1i1结论：bi1n,（*） xn22nxi(xi)i1i1aybx1n1nxi, yyi

ni1ni1说明：公式（*）的推导比较复杂，这里不作要求．

四、数学运用

例题

下表为某地近几年机动车辆数与交通事故数的统计资料，请判断机动

车辆数与交通事故数之间是否有线性相关关系，如果具有线性相关关系，求出线

性回归方程；如果不具有线性相关关系，说明理由．

机动车辆数x／千台

95 110 112 120 129 135 150 180 交通事故数y／千件

6.2 7.5 7.7 8.5 8.7 9.8 10.2 13 解：在直角坐标系中画出数据的散点图，直观判断散点在一条直线附近，故具有线性相关关系．计算相应的数据之和：

xi18i1031,yi71.6,xi137835,xiyi9611.7，

2i1i1i1888将它们代入（）式计算得b0.0774,a1.0241，

所以，所求线性回归方程为y0.0774x1.0241．

五、课堂练习

ˆ0.5x0.81，则x＝25时，y的估计值为 1．已知回归方程y2．三点3,10,(7,20),(11,24)的线性回归方程是

（

D ）

ˆ5.751.75x

B．

yˆ1.755.75x A．

yˆ1.755.75x D．

yˆ5.751.75x

C．

y3．我们考虑两个表示变量x与y之间的关系的模型，为误差项，模型如下：

模型1：y64x；模型2：y64xe．

（1）如果x3,e1，分别求两个模型中y的值；[来源:学科网ZXXK]

（2）分别说明以上两个模型是确定性模型还是随机模型．

解：（1）模型1：y64x64318；

模型2：y64xe643119

（2）模型1中相同的x值一定得到相同的y值，所以是确定性模型；模型2中相同的x值，因的不同，所得y值不一定相同，且为误差项是随机的，所以模型2是随机性模型．

六、归纳整理，整体认识

1．对一组数据进行线性回归分析时，应先画出其散点图，看其是否呈直线形，再依系数a,b的计算公式，算出a,b．由于计算量较大，所以在计算时应借助技术手段，认真细致，谨防计算中产生错误．

2.求线性回归方程的步骤：

①计算平均数x,y；②计算xi与yi的积，求xiyi；③计算xi；④将结果2代入公式求a；⑤用

byax求b；⑥写出回归方程