2.1.2 系统抽样优秀公开课教案

《创新设计》图书

2．1.2

系统抽样

[学习目标]

1.理解和掌握系统抽样.2.会用系统抽样从总体中抽取样本.3.能用系统抽样解决实际问题．

知识点一

系统抽样的概念

在抽样中，当总体中个体数较大时，可将总体分为均衡的几个部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本，这样的抽样方法叫做系统抽样．

系统抽样具有如下特点：

项目

个体数目

抽取方式

概率特征

知识点二

系统抽样的步骤

一般地，假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本,我们可以按下列步骤进行系统抽样：

(1)编号：先将总体的N个个体编号．有时可直接利用个体自身所带的号码，如学号、准考证号、门牌号等；

NN(2)分段：确定分段间隔k，对编号进行分段．当(n是样本容量)是整数时，取k＝；

nn(3)确定第一个编号：在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l(l≤k)；

(4)成样：按照一定的规则抽取样本．通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号(l＋k)，再加k得到第3个个体编号(l＋2k)，依次进行下去，直到获取整个样本．

知识点三

系统抽样与简单随机抽样的区别与联系

简单随机抽样

系统抽样

①当总体中的个体数较大时，用系统抽样更①操作简单易行；

区别

②抽样的结果与个体编号无关

易实施，更节约成本；

②系统抽样的效果与个体的编号有关，如果编号的特征随编号呈周期性变化，可能使样本的代表性很差

联系

系统抽样在总体中的个体均匀分段后，在第一段进行抽样时，采用的是简单随机抽样

特点

总体中个体无较大差异且个体数目较大

总体分成均衡的若干部分，分段间隔相等，在第一段内用简单随机抽样确定起始编号，其余依次加上间隔的整数倍

每个个体被抽到的可能性相同，是等可能抽样

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题型一

对系统抽样概念的理解

例1

下列抽样中，最适宜用系统抽样的是(

) A．某市的4个区共有2 000名学生，且4个区的学生人数之比为3∶2∶8∶2，从中抽取200名入样

B．从某厂生产的2 000个电子元件中随机抽取5个入样

C．从某厂生产的2 000个电子元件中随机抽取200个入样

D．从某厂生产的20个电子元件中随机抽取5个入样

答案

C 解析

根据系统抽样的定义和特点判断，A项中的总体有明显的层次，不适宜用系统抽样；B项中样本容量很小，适合用随机数法；D项中总体容量很小，适合用抽签法．

反思与感悟

系统抽样适用于个体数较大的总体，判断一种抽样是否为系统抽样，首先看在抽样前是否知道总体是由什么构成的．抽样的方法能否保证将总体分成几个均衡的部分，并保证每个个体等可能入样．

跟踪训练1

下列抽样方法不是系统抽样的是(

) A．从标有1～15号的15个球中，任选三个作样本，按从小号到大号的顺序，随机选起点i0，以后选i0＋5，i0＋10(超过15则从1再数起)号入选

B．工厂生产的产品用传送带将产品送入包装车间前，在一天时间内检验人员从传送带上每隔五分钟抽一件产品进行检验

C．做某项市场调查，规定在商场门口随机抽一个人进行询问调查，直到达到事先规定的调查人数为止

D．电影院调查观众的某一指标，通知每排(每排人数相等)座位号为14的观众留下来座谈

答案

C 解析

A编号间隔相同，B时间间隔相同，D相邻两排座位号的间隔相同，均满足系统抽样的特征．只有C项无明显的系统抽样的特征．

题型二

系统抽样的应用

例2

为了了解某地区今年高一学生期末考试数学学科的成绩，拟从参加考试的15 000名学生的数学成绩中抽取容量为150的样本．请用系统抽样写出抽取过程．

解

(1)对全体学生的数学成绩进行编号：1,2,3，…，15000. (2)分段：由于样本容量与总体容量的比是1∶100，所以我们将总体平均分为150个部分，其中每一部分包含100个个体．

(3)在第一部分即1号到100号用简单随机抽样抽取一个号码，比如是56. (4)以56作为起始数，然后顺次抽取156,256,356，…，14956，这样就得到一个容量为150

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的样本．

N反思与感悟

当总体容量能被样本容量整除时，分段间隔k＝；当用系统抽样抽取样本时，n通常是将起始数l加上间隔k得到第2个个体编号(l＋k)，再加k得到第3个个体编号(l＋2k)，依次进行下去，直到获取整个样本．

跟踪训练2

现有60瓶牛奶，编号为1至60，若从中抽取6瓶检验，用系统抽样方法确定所抽取的编号可能为(

) A．3,13,23,33,43,53

C．5,8,31,36,48,54

答案

A 解析

因为60瓶牛奶分别编号为1至60，所以把它们依次分成6组，每组10瓶，要从中抽取6瓶检验，用系统抽样方法进行抽样．若在第一组抽取的编号为n(1≤n≤10)，则所抽取的编号应为n，n＋10，…，n＋50.对照4个选项，只有A项符合系统抽样．系统抽样的显著特60点之一就是“等距抽样”．因此，对于本题只要求出抽样的间隔k＝＝10，就可判断结果．

6题型三

系统抽样的设计

例3

某校高中二年级有253名学生，为了了解他们的视力情况，准备按1∶5的比例抽取一个样本，试用系统抽样方法进行抽取，并写出过程．

解

(1)先把这253名学生编号000,001，…，252；

(2)用随机数法任取出3个号，从总体中剔除与这三个号对应的学生；

(3)把余下的250名学生重新编号1,2,3，…，250；

(4)分段．取分段间隔k＝5，将总体均分成50段，每段含5名学生；

(5)从第一段即1～5号中用简单随机抽样抽取一个号作为起始号，如l；

(6)从后面各段中依次取出l＋5，l＋10，l＋15，…，l＋245这49个号．这样就按1∶5的比例抽取了一个样本容量为50的样本．

反思与感悟

1.当总体容量不能被样本容量整除时，要先从总体中随机剔除整除后余数个个体且必须是随机的，即每个个体被剔除的机会均等．剔除个体后使总体中剩余的总体容量能被样本容量整除.2.剔除个体后需对样本重新编号.3.起始编号的确定应用简单随机抽样的方法，一旦起始编号确定，其他编号便随之确定了．

跟踪训练3

为了了解参加某次考试的2 607名学生的成绩，决定用系统抽样的方法抽取一个容量为260的样本．请根据所学的知识写出抽样过程．

解

按下列步骤获取样本：

(1)将每一名学生编号，由0001到2607；

(2)利用随机数法从总体中剔除7人；

(3)将剩下的2 600名学生重新编号(分别为0001,0002，…，2600)，并分成260段；

B．2,14,26,38,42,56 D．5,10,15,20,25,30

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(4)在第一段0001,0002，…，0010这十个编号中用简单随机抽样法抽取一个号码(如0003)作为起始号码；

(5)将编号为0003,0013,0023，…，2593的个体抽出，即组成样本．

系统抽样的应用

例4

要从参加全运会某些项目比赛的1 013名运动员中抽取100名进行兴奋剂检查，采用何种抽样方法较好？写出过程．

错解

应采用系统抽样．过程如下：

先将1 013名运动员随机编号为1,2,3，…，1013，将这1 013个号码分成100段，其中前87段每段10人，后13段每段11人，在第一段中用简单随机抽样确定起始编号L，将会得到编号L，L＋10，L＋20，…，L＋990的运动员抽出，从而获得整体样本．

1错解分析

错误的根本原因在于前87段的个体中，每个个体被抽取的可能性为，而在后10113段中，每个个体被抽取的可能性为，这是不公平的．

11正解

应采用系统抽样．过程如下：

第一步，将1 013名运动员随机编号为0001,0002,0003，…，1013；

第二步，随机地从总体中抽取13个号码，并将编号相对应的运动员剔除；

第三步，将剩下的1 000名运动员重新编号为1,2,3，…，1000，分成100段，每段10个号码，在第一段十个编号中用简单随机抽样确定第一个个体编号为L，则将编号为L，L＋10，L＋20，…，L＋990的运动员抽出，组成样本．

1．为了解1 200名学生对学校食堂饭菜的意见，打算从中抽取一个样本容量为40的样本，考虑采用系统抽样，则分段间隔k为(

) A．10

C．30

答案

C 1 200解析

分段间隔k＝＝30. 402．为了了解参加某次知识竞赛的1 252名学生的成绩，决定采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，那么从总体中应随机剔除的个体数目为(

) A．2

B．3 B．20 D．40

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C．4

答案

A D．5 解析

因为1 252＝50×25＋2，所以应随机剔除2个个体，故选A. 3．要从160名学生中抽取容量为20的样本，用系统抽样法将160名学生从1～160编号．按编号顺序平均分成20组(1～8号，9～16号，…，153～160号)，若第16组应抽出的号码为125，则第一组中按抽签方法确定的号码是(

) A．7

C．4

答案

B 解析

由系统抽样知第一组确定的号码是125－15×8＝5. 4．某公司有52名员工，要从中抽取10名员工参加国庆联欢活动，若采用系统抽样，则该公司每个员工被抽到的机会是________．

答案

5

26B．5 D．3 解析

采用系统抽样，需先剔除2名员工，确定间隔k＝5，但每名员工被剔除的机会相等，即每名员工被抽到的机会也相等，故虽然剔除了2名员工，但这52名员工中每名员工被抽到105的机会仍相等，且均为＝. 52265．在1 000个有机会中奖的号码(编号为000～999)中，公证部门用随机抽样的方法确定后两位数为88的号码为中奖号码，这种抽样方法是________，这10个中奖号码为________．

答案

系统抽样

088,188,288,388,488,588,688,788,888,988 解析

这里运用了系统抽样的方法来确定中奖号码，中奖号码依次为：088,188,288,388,488,588,688,788,888,988.

1.系统抽样的实质是“分组”抽样，适用于总体中的个体数较大的情况．

2．解决系统抽样问题的两个关键步骤为

(1)分组的方法应依据抽取比例而定，即根据定义每组抽取一个样本．

NN(2)用系统抽样法抽取样本，当不为整数时，取k＝n，即先从总体中用简单随机抽样的方n法剔除N－nk个个体，且剔除多余的个体不影响抽样的公平性．

一、选择题

1．下列抽样试验中，最适宜用系统抽样的是(

)

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A．从全班48名学生中随机抽取8人参加一项活动

B．一个城市有210家百货商店，其中有大型商店20家，中型商店40家，小型商店150家．为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为21的样本．

C．从参加考试的1 200名考生中随机抽取100人分析试题作答情况

D．从参加模拟考试的1 200名高中生中随机抽取10人了解情况

答案

C 解析

A项中总体容量、样本容量都较小，可用抽签法或随机数法；B项中总体含有差异明显的几部分，不宜用系统抽样；D项中样本容量较小，可采用随机数法；只有C项中总体容量与样本容量都较大，适宜用系统抽样．

2．为了了解某地参加计算机水平测试的5 008名学生的成绩，从中抽取了200名学生的成绩进行统计分析，运用系统抽样方法抽取样本时，每组的容量为(

) A．24

B．25

C．26

D．28 答案

B 解析

5 008除以200的整数商为25，∴选B. 3．有20个同学，编号为1～20，现在从中抽取4人的作文卷进行调查，用系统抽样方法确定所抽的编号为(

) A．5,10,15,20

C．2,4,6,8

答案

A 解析

将20个同学分成4个组，每组5个号，间距为5. 4．将参加夏令营的600名学生编号为：001,002，…，600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为(

) A．26,16,8

C．25,16,9

答案

B 600解析

由题意知间隔为＝12，故抽到的号码为12k＋3(k＝0,1，…，49)，列出不等式可解50得：第Ⅰ营区抽25人，第Ⅱ营区抽17人，第Ⅲ营区抽8人．

5．总体容量为524，若采用系统抽样，下列的抽取间隔不需要剔除个体的是(

) A．3

B．4

C．5

D．6 答案

B 524解析

因为＝131，所以当间隔为4时，不需要剔除个体．

46．为规范学校办学，省教育厅督察组对某所高中进行了抽样调查．抽到的班级一共有52名B．25,17,8 D．24,17,9 B．2,6,10,14 D．5,8,11,14

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学生，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知7号、33号、46号同学在样本中，那么样本中还有一位同学的编号应是(

) A．13

B．19

C．20

D．51 答案

C 52解析

由系统抽样的原理可知，抽样的间隔k＝＝13，故抽取的样本的编号分别为7,7＋13,74＋13×2,7＋13×3，从而可知C项正确．

7．用系统抽样的方法从个体为1 003的总体中，抽取一个容量为50的样本，则在整个抽样过程中每个个体被抽到的可能性是(

) 1A.

1 00050C.

1 003答案

C n解析

根据系统抽样的方法可知，每个个体入样的可能性相同，均为，所以每个个体入样N50的可能性是. 1 003二、填空题

8．一个总体的60个个体的编号为0,1,2，…，59，现要从中抽取一个容量为10的样本，请根据编号按被6除余3的方法，取足样本，则抽取的样本号码是________．

答案

3,9,15,21,27,33,39,45,51,57 解析

由题意，设抽取样本的编号为6n＋3，则3≤6n＋3≤59，且n∈N，所以n＝0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，相应的编号依次为3,9,15,21,27,33,39,45,51,57. 9．某单位有职工72人，现需用系统抽样法从中抽取一个样本，若样本容量为n，则不需要剔除个体，若样本容量为n＋1，则需剔除2个个体，则n＝________(只填序号)．

答案

4或6或9 解析

由题意知n为72的约数，n＋1为70的约数，其中72的约数有1,2,3,4,6,8,9,12,18,24,36,72，其中加1能被72整除的有1,4,6,9，其中n＝1不符合题意，故n＝4或6或9. 10．若总体中含有1 650个个体，现要采用系统抽样从中抽取一个容量为35的样本，分段时应从总体中随机剔除________个个体，重新编号后应均分为________段，每段有________个个体．

答案

5

35

47 解析

1 650＝47×35＋5，根据系统抽样的定义求解．

11．一个总体中的80个个体的编号为0,1,2，…，79，并依次将其分为8个组，组号为0,1，…，1B.

1 0031D.

20

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7，用错位系统抽样的方法抽取一个容量为8的样本，即规定先在第0组随机抽取一个号码，记为i，依次错位地得到后面各组的号码，即在第k组中抽取个位数字为i＋k(当i＋k＜10时)或i＋k－10(当i＋k≥10时)的号码．当i＝6时，所抽到的8个号码是______________________．

答案

6,17,28,39,40,51,62,73 解析

由题意得，在第1组抽取的号码的个位数字是6＋1＝7，故应选17；在第2组抽取的号码的个位数字是6＋2＝8，故应选28；依此类推，应选39,40,51,62,73. 三、解答题

12．某装订厂平均每小时装订图书362册，要求检验员每小时抽取40册图书，检验其质量情况，请设计一个抽样方案．

解

第一步，将362册图书随机编号；

第二步，用随机数法从这些书中抽取2册书，不进行检查；

第三步，将剩下的书重新编号(分别为0,1，…，359)，并平均分成40段；

第四步，从第一段(编号为0,1，…，8)中用简单随机抽样的方法，抽取1册书，设其编号为k；

第五步，抽取编号分别为k，k＋9，k＋18，k＋27，…，k＋39×9的书，这样就抽取了总共有40个个体的样本．

13．某工厂有工人1 021人，其中高级工程师20人，现抽取普通工人40人，高级工程师4人组成代表队去参加某项活动，应怎样抽样？

解

(1)将1 001名普通工人用随机方式编号．

(2)从总体中剔除1人(剔除方法可用随机数法)，将剩下的1 000名职工重新编号(分别为1 0000001,0002，…，1000)，并平均分成40段，其中每一段包含＝25个个体．

40(3)在第一段0001,0002，…，0025这25个编号中用简单随机抽样法抽出一个(如0003)作为起始号码．

(4)将编号为0003,0028,0053，…，0978的个体抽出．

(5)将20名高级工程师用随机方式编号为1,2，…，20. (6)将这20个号码分别写在大小、形状相同的小纸条上，揉成小球，制成号签．

(7)将得到的号签放入一个不透明的容器中，充分搅拌均匀．

(8)从容器中逐个抽取4个号签，并记录上面的编号．

(9)从总体中将与所抽号签的编号相一致的个体取出．

以上得到的个体便是代表队成员．