2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示优质课教案整理

2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示

教材分析

本节内容是数学必修4

第二章第三节的第二课时，向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。课时内容包含“平面向量基本定理”和“平面向量的正交分解及坐标表示”.此前的教学内容由实际问题引入向量概念，研究了向量的线性运算，集中反映了向量的几何特征,而本课时之后的内容主要是研究向量的坐标运算，更多的是向量的代数形态。平面向量基本定理是坐标表示的基础，坐标表示使平面中的向量与它的坐标建立起了一一对应的关系，这为通过“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁，也决定了本课内容在向量知识体系中的核心地位.

一、教学目标

重点：平面向量基本定理

难点：平面向量基本定理的应用

知识点：平面向量基本定理，向量的正交分解及坐标表示

能力点：通过对平面向量基本定理的探究，以及平面向量坐标建立的过程，让学生体验数学定理的产生、形成过程，体验由一般到特殊、类比以及数形结合的数学思想，从而实现向量的“量化”表示。

教育点：引导学生从生活中挖掘数学内容，培养学生的发现意识和应用意识，提高学习数学的兴趣，感受数学的魅力。

自主探究点：平面向量基本定理

考试点：平面向量基本定理，向量的正交分解及坐标表示．

拓展点：转化思想的应用理解．

二、教学过程设计

1、复习回顾 问题情境

【回顾】平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2

【情境】光滑斜面上的木块所受重力可以分解为平行斜面使木块下滑的力F1和木块产生的垂直于斜面的压力F2（如图）．



一个向量也可以分解为两个互相垂直的向量的线性表达，这种情形叫向量的正交分解．以后可以看到，在正交分解下，许多有关向量问题将变得较为简单．

【问题】

在平面直角坐标系中，每一个点可用一对有序实数（即它的坐标）表示，那么对平面直角坐标内的每一个向量，可否用实数对来表示？又如何表示呢？

2、理解概念 加深认识

如图，在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得[来源:学科网]

1

axiyj…………○我们把(x,y)叫做向量a的（直角）坐标，记作

2a(x,y)…………○[来源:Zxxk.Com]

2式叫做向量的坐标表示。

其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，○结合定义，指导学生求出向量i、j、0的坐标。（多媒体演示）

如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作OAa，则点A的位置由a唯一确定。

设OAxiyj，则向量OA的坐标(x,y)就是点A的坐标；反过来，点A的坐标(x,y)也就是向量OA的坐标。 因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示。

在坐标系中观察，向量i,j及OA的坐标与其终点坐标有何关系？这几个向量在坐标系中的位置有什么共同点？什么样的向量其坐标就是终点坐标？通过这样的问题引导让学生得到结论：起点在原点的向量其坐标就是其终点的坐标。

类比点的坐标，提出：向量平移后具体位置发生了改变，其坐标是否会发生变化？通过动画演示，指出：平移前后的向量是相等向量，通过平移，可以使它们的起点平移到坐标原点处，则其终点必然重合，此时，它们的坐标都对应着这个终点的坐标，由此得到：相等向量的坐标相同，坐标相同的向量是相等向量。

3、自主探索，推导法则

探究一：(1)已知

a(x1,y1),b(x2,y2),求

ab,ab的坐标; (2)已知a(x,y)和实数,求a

的坐标.

请学生自己讨论推导，教师归纳整理，由此得出平面向量的坐标运算法则：

（1）两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差：

ab(x1x2,y1y2)（其中a(x1,y1),b(x2,y2)）

（2）实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标：

若a(x,y)，则a(x,y)；

探究二：若已知其起点坐标和终点坐标，如何求出此向量的坐标？



先来看一个具体的例子：求出图中的向量a的坐标，并观察其坐标与其起点坐标、终点坐标之间有何关系？（引导学生从特殊到一般，归纳猜想）

1 学生不难发现：其坐标等于向量的终点坐标减去起点坐标。再将A,B的坐标推广到一般的(x1,y1),(x2,y2)，可得相应结论。

由此，得到一个重要的结论：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标。[来源:Zxxk.Com]

4、应用举例，加深理解

例、如图，用基底ib、c、d

，并求出它们的坐标。、j分别表示向量a、

[来源:Z.xx.k.Com]

变式练习:

把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.如图，向量i、j是两个互相垂直的单位向量，向量a与i的夹角是30°，且|a|=4，以向量i、j为基底，向量a如何表示？

B

a

j

O i

P A a=23i+2j

5、课堂小结 平面向量的正交分解以及坐标表示

6、布置作业

必做题：P102习题2.3A组：3，4, 5, 6

选做题：P102习题2.3B组：3，4.

7、教后反思

8、板书设计

2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示

例

用基底i,j分别表示向量a,b,c,d，并求出它们的坐标

平面向量的正交分解及坐标表示

在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同

的两个单位向量i、j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得

a＝xi＋yj.我们把有序数对（x，y）叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y).其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，上式叫做向量a的坐标表示.