2. 波速与波长、频率的关系公开课参赛课教案

2．

波速与波长、频率的关系

[学习目标]

1.知道什么是波的频率(周期)并能理解它的意义. 2.知道什么是波速，了解决定波速的因素. 3.会用公式v＝λf进行相关计算. 4.掌握波在传播过程中的周期性和双向性．

1．振动的周期：做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间．

2．振动的频率：做简谐运动的物体单位时间内完成全振动的次数．

1．沿波的传播方向，任意两个相邻的同相振动的质点之间的距离(包含一个“完整的波”)，叫做波的波长，常用λ表示．

2．在波动中，各质点离开平衡位置的最大距离，即其振动的振幅，也称为波的振幅．波的振幅大小是波所传播能量的直接量度．

3．波的周期(或频率)：波在传播过程中，介质中质点振动周期(或频率)都相同，它们都等于波源的振动周期(或频率)，这个周期(或频率)也叫波的周期(或频率)．

4．波速：机械波在介质中传播的速度．

5．波长、频率和波速的关系：v＝λf. 学习探究

一、波长和振幅

[问题设计]

如图1所示，是绳波形成的示意图．

图1 (1)在质点1(波源)完成一次全振动的过程中，振动传到了哪个质点？以后这个质点的振动情况与质点1有什么关系？

(2)与质点2做同相振动的质点是哪个？

答案

(1)质点13.以后质点13与质点1振动状态(位移和速度)将保持一致，它们的振动是同相的．

(2)与质点2做同相振动的是质点14. [要点提炼]

1．振幅(A) (1)定义：在波动中，各质点振动的振幅，也叫波的振幅．

(2)意义：波的振幅大小是波所传播能量的直接量度．

2．波长(λ) (1)定义：沿波的传播方向，任意两个相邻的同相振动的质点之间的距离，叫做波的波长．

(2)关于波长的几种说法：

①两个相邻的、在振动过程中相对平衡位置的位移总是相等的质点之间的距离等于波长．

②在横波中，两个相邻的波峰(波谷)之间的距离等于波长．

③在纵波中，两个相邻的密部(疏部)中心之间的距离等于波长．

(3)物理实质：相距一个(或整数个)波长的两个质点的振动位移在任何时刻都相等，而且振动速度的大小和方向也相同，即相距一个(或整数个)波长的两个质点在任何时刻振动状态都相同．

(4)波长反映了波在空间上的周期性．

二、周期和频率

[问题设计]

游泳时耳朵在水中听到的音乐与在岸上听到的是一样的，这说明什么？

答案

波由一种介质传到另一种介质频率不变．

[要点提炼]

1．介质中每个质点振动的周期和频率，也即波源的振动周期和频率．

2．波的周期(频率)由波源决定．波由一种介质传到另一种介质时波的周期(频率)不发生变化．

3．在同一种介质中，在一个周期内波向前传播的距离等于一个波长．

4．周期反映了波时间的周期性．

三、波速

[问题设计]

游泳时耳朵在水中听到的音乐与在岸上听到的是一样的，这说明什么？当波从一种介质进入另一种介质时波速是否改变？阅读课本内容“0 ℃时几种介质中的声速

v/(m·s1)”，说明波速与什么有关．

－答案

说明波由一种介质进入另一种介质时，频率不变．波速会改变．波速与介质有关．

[要点提炼]

1．波速

λ(1)与周期的关系：v＝. T(2)与频率的关系：v＝fλ. 2．波速由介质决定，与波的频率、波长无关．

例题讲解

一、对波长、周期、频率和波速的理解

例1

下列说法正确的是(

) A．当机械波从一种介质进入另一种介质时，保持不变的物理量是波长

B．传播一列简谐波的同一种介质中各质点具有相同的周期和振幅

C．由波在均匀介质中的传播速度公式v＝λf可知，频率越高，波速越大

D．在波的传播方向上，相距半波长的整数倍的两质点的振动情况完全相同

解析

当机械波从一种介质进入另一种介质时，频率保持不变，波速发生变化，因而波长也发生变化，A项错误；一列简谐波在同一均匀介质中传播时，各质点都在做完全相同的振动，只是振动开始的时刻不同，所以它们有相同的周期和振幅，B项正确；波速是由介质决定的，不会因频率升高而变大，故C项错误；当两质点相距半波长的奇数倍时振动情况完全相反，故D项错误．

答案

B 例2

一振动周期为T、振幅为A、位于x＝0点的波源从平衡位置沿y轴正向开始做简谐振动．该波源产生的一维简谐横波沿x轴正向传播，波速为v，传播过程中无能量损失．一段时间后，该振动传播至某质点P，关于质点P振动的说法正确的是(

) A．振幅一定为A

B．周期一定为T

C．速度的最大值一定为v

D．开始振动的方向沿y轴向上或向下取决于它离波源的距离

E．若P点与波源距离s＝vT，则同一时刻质点P的位移与波源的位移相同

解析

因传播过程中无能量损失，则质点P的振幅与波源的振幅相同，A项正确；机械波中各个质点振动的周期与波源振动的周期相同，B项正确；机械波的波速与质点的振速是两个不同的概念，C项错误；质点P起振的方向与波源起振的方向相同，沿y轴正方向，D项错误；由机械波空间与时间上的周期性可知，E项正确．

答案

ABE 二、波的多解性

例3

一列横波在x轴上传播，t1＝0和t2＝0.005 s时的波形如图2所示的实线和虚线．

图2 (1)设周期大于(t2－t1)，求波速．

(2)设周期小于(t2－t1)，求可能的波速．

(3)若周期小于(t2－t1)，且波速为6 000 m/s，求波的传播方向．

解析

当波传播时间小于周期时，波沿传播方向前进的距离小于波长；当波传播的时间大于周期时，波沿传播方向前进的距离大于波长．这时从波形的变化上看出的传播距离加上n个波长才是波实际传播的距离．

(1)因Δt＝t2－t1

2 m若波向右传播，则在0.005 s内传播了2 m，故波速为v＝＝400 m/s. 0.005 s6 m若波向左传播，则在0.005 s内传播了6 m，故波速为v＝＝1 200 m/s. 0.005 s(2)因Δt＝t2－t1>T，所以波传播的距离大于一个波长．若波向右传播．在0.005 s内传播了Δx＝(nλ＋2) m，Δxv＝＝(1 600n＋400) m/s(其中n＝0,1,2，…) ΔtΔx若波向左传播，则在0.005 s内传播了Δx′＝(nλ＋6) m，故波速v＝＝(1 600n＋1 200) m/s(其中n＝0,1,2，…) Δt(3)若Δt＝t2－t1>T，且波速为6 000 m/s. 在0.005 s内传播的距离为Δx＝vΔt＝6 000×0.005 m＝30 m. Δx3033＝＝3，即Δx＝3λ＋λ

λ844因此，可得波的传播方向沿x轴的负方向．

答案

(1)波向右传播时v＝400 m/s；波向左传播时，v＝1 200 m/s

(2)向右传播时v＝(1 600n＋400) m/s，向左传播时v＝(1 600n＋1 200) m/s

(3)x轴负方向

图3 例4

一列简谐横波沿直线由A向B传播，A、B相距0.45 m，如图3所示是A处质点的振动图像．当A处质点运动到波峰位置时，B处质点刚好到达平衡位置且向y轴正方向运动，这列波的波速可能是(

) A．4.5 m/s

B．3.0 m/s C．1.5 m/s

D．0.7 m/s

解析

从题图中可知周期为0.4 s．由题可知质点A、B间最简单波形如图所示，A、B间距和波长的关系为1λx＝(n＋)λ(n＝0,1,2，…)，再由公式v＝得

4T4.5v＝(n＝0,1,2，…)，代入数据可知波速v可能为4.5 m/s，选项A正确．

4n＋1答案

A 课堂小结

课内练习

1．(波长、周期、频率和波速)介质中有一列简谐机械波传播，对于其中某个振动质点(

) A．它的振动速度等于波的传播速度

B．它的振动方向一定垂直于波的传播方向

C．它在一个周期内走过的路程等于一个波长

D．它的振动频率等于波源的振动频率

答案

D 解析

机械波在传播过程中，振动质点并不随波迁移，只是在各自的平衡位置附近做简谐运动，选项A、C错误；机械波可能是横波，也可能是纵波，故振动质点的振动方向不一定垂直于波的传播方向，选项B错误；振动质点的振动是由波源的振动引起的，故质点的振动频率等于波源的振动频率，选项D正确．

2．(对波长的理解)关于机械波的波长，下列说法正确的是(

) A．平衡位置相距一个波长的两个质点运动情况总是相同

B．运动情况总是相同的两个质点相距一个波长

C．在横波中，两个相邻的波峰间的距离等于一个波长

D．在横波中，波峰到相邻的波谷之间的距离等于半个波长

答案

AC 解析

平衡位置相距一个波长的两个质点位移总是相同，加速度也总是相同，速度也总是相同，所以A对；运动情况总是相同的两个质点可能相距一个波长，也可能相距多个波长，B错；在横波中，两个相邻的波峰(或波谷)间的距离等于一个波长，C对；在横波中，从波峰到相邻的波谷的连线要大于半个波长，应该说它们的平衡位置间的距离等于半个波长，D错．故正确答案为A、C. 3．(波长、周期、频率和波速)如图4所示，一列简谐横波沿x轴正方向传播，从波传到x＝5 m的M点时开始计时，已知P点相继出现两个波峰的时间间隔为0.4 s，下面说法中正确的是(

)

图4 A．这列波的波长是4 m B．这列波的传播速度是10 m/s

C．质点Q(x＝9 m)经过0.5 s才第一次到达波峰

D．M点以后各质点开始振动的方向都是向下

答案

ABD 解析

从波的图像可以看出波的波长为：λ＝4 m，选项A正确；由题意可知波的周期为：T＝0.4 s，波传播λ4s9－2的速度为：v＝＝

m/s＝10 m/s，选项B正确；波峰传到Q所用的时间为：t＝v＝

s＝0.7 s，选项T0.410C错误；由波的图像可以看出，M点开始振动的方向向下，说明所有质点开始振动的方向都是向下，选项D正确．

4．(对波的多解性的理解)一列简谐横波在t＝0时刻的波形如图5中的实线所示，t＝0.02 s时刻的波形如图中虚线所示．若该波的周期T大于0.02 s，则该波的传播速度可能是(

)

图5 A．2 m/s

B．3 m/s C．4 m/s

D．5 m/s 答案

B 解析

本题考查波的图像和波速公式及考生的理解能力和推理能力．因t

m/s＝1 m/s；若波向左传播，则波传播的距离x2＝0.06 m，则波速t0.02x20.06v2＝＝

m/s＝3 m/s，故正确的选项为B. t0.02课后练习

题组一

波长、周期、频率和波速

1．下列等于一个波长的是(

) A．在振动过程中对平衡位置的位移总是相等的质点间的距离

B．波峰与波峰间的距离或波谷与波谷间的距离

C．一个周期内振动传播的距离

D．一个正弦波形的曲线长

答案

C 2．声波在钢轨中传播的速度远大于在空气中传播的速度，则当声音由钢轨传到空气中时(

) A．频率变小，波长变大

B．波长变小，频率变大

C．频率不变，波长变大

D．频率不变，波长变小

答案

D 解析

波在不同介质中传播时，频率保持不变．由v＝λf可知，若v减小，λ则减小，D正确．

3．关于波的频率，下列说法正确的是(

) A．波的频率由波源决定，与介质无关

B．波的频率与波速无直接关系

C．波由一种介质传到另一种介质时，频率要发生变化

vD．由公式f＝可知，频率与波速成正比，与波长成反比

λ答案

AB 解析

波的频率由波源的频率决定，与波速和介质都无关，波在不同介质中传播时频率保持不变，故A、B正确，C、D不正确．

4．对于公式v＝λf的理解，正确的是(

) A．v＝λf适用于一切波

B．由v＝λf知，机械波的频率f增大，则波速v也增大

C．v、λ、f三个量中，对同一列机械波来说，在不同介质中传播时保持不变的只有f

D．由v＝λf知，波长是2 m的声音比波长是4 m的声音传播速度小2倍

答案

AC 解析

公式v＝λf适用于一切波，无论是机械波还是电磁波，A正确；机械波的波速仅由介质决定，与频率f、波长无关，所以B、D错；对同一列机械波，其频率由波源决定，与介质无关，故C正确．

5．如图1所示为一列简谐波在某一时刻的波形图，以下判断正确的是(

)

图1 A．B、C两点的振幅相同

B．C、E两点的平衡位置间的距离为半个波长

C．A、C两质点的位移相同

1D．波在A、B两质点间传播的时间为周期

4答案

ABD 6．图2是一列简谐横波在某时刻的波形图，已知图中b位置的质点起振时间比a位置的质点晚0.5 s，b和c之间的距离是5 m，则此列波的波长和频率分别为(

)

图2 A．5 m,1 Hz

C．5 m,2 Hz

答案

A x2.5解析

从波的图像可以看出，波长λ＝5 m，b点比a点的起振时间晚0.5 s，则波速v＝＝

m/s＝5 m/s，t0.5

B．10 m,2 Hz D．10 m,1 Hz

λ1所以T＝v＝1 s，f＝＝1 Hz. T7．在均匀的介质中，各质点的平衡位置在同一直线上，相邻两个质点的距离均为a，如图3甲所示．振动从质点1开始并向右传播，其振动初速度方向竖直向上，经过时间t前13个质点第一次形成的波形图如图乙所示，则该波的周期T、波速v分别是(

)

图3 t16a212aA.，

B.t，

2t3t8a36aC．t，

D.t，

t4t答案

A 3解析

质点1起振方向向上，其振动传播到质点13，用时T，质点13起振方向向上，而题中用时为t，质2T2λ点13的振动方向向下，故质点13已振动了的时间，则有t＝2T，波传播了2λ的距离，λ＝8a，故v＝＝2t16a，故正确答案为A. t题组二

波的多解性

8．一列简谐横波沿直线传播，某时刻该列波上正好经过平衡位置的两质点相距6 m，且这两质点之间的波峰只有一个，则该简谐波可能的波长为(

) A．4 m、6 m和8 m

B．6 m、8 m和12 m C．4 m、6 m和12 m

D．4 m、8 m和12 m 答案

C 解析

由于该波上两质点处于平衡位置且相距6 m，且两质点间波峰只有一个，故6 m与波长λ的关系有三λ3种可能：6 m＝λ，6 m＝，6 m＝λ，故波长的可能值为6 m、12 m和4 m，C正确．

229．一列横波在t＝0时刻的波形如图4中实线所示，在t＝1 s时的波形如图中虚线所示．由此可以判定此波的(

)

图4 A．波长一定是4 cm B．周期一定是4 s C．振幅一定是2 cm D．传播速度一定是1 cm/s

答案

AC 解析

直接从题图上读出振幅和波长，振幅是2 cm，波长是4 cm，故A、C选项正确；1 s时间与周期的关1λ系是nT＋T＝1 s(n＝0,1,2,3，…)，是不确定解，因此B选项错．同理，传播速度v＝也不确定，D选项也4T错．

10.一列简谐波在t时刻的波形如图5中实线所示，此时刻质点M的运动方向向上，经过时间Δt后的波形如图中虚线所示，若振源周期为T，则(

)

图5 11A．Δt一定为T

B．Δt可能为T

4433C．Δt一定为T

D．Δt可能为T

44答案

D 3解析

由波形图及M点的振动方向可知，此波向左传播，且Δt＝nT＋T(n＝0,1,2…)，所以D正确．

411.一列波长大于3 m的横波沿着x轴正方向传播，处在x1＝1.5 m和x2＝4.5 m的两质点A、B的振动图像如图6所示．由此可知(

)

图6 A．1 s末A、B两质点的位移相同

B．2 s末A点的振动速度大于B点振动速度

C．波长为4 m D．波速为1 m/s 答案

BCD 解析

从A、B两点的振动图像可以看出，1 s末质点A的位移为2 cm，质点B的位移为0，选项A错误；2 s末A点处于平衡位置，速度最大，B点处于负向最大位移处，速度为零，选项B正确；从A、B两点的33振动图像可以看出，A、B两点间的距离为(n＋)个波长(n＝0,1,2，…)，结合题给条件可得：(n＋)λ＝x2－4412x1，代入数据解得波长为：λ＝

m(n＝0,1,2，…)，由题意知波长大于3 m，则n＝0，波长为：λ＝4 m，4n＋3λ选项C正确；从振动图像可以看出周期为：T＝4 s，则波速为：v＝＝1 m/s，选项D正确．

T题组三

综合应用

12.一列波沿直线传播，某时刻的波形图如图7所示，处在平衡位置上的a质点，与坐标原点相距0.6 m，a正向上运动，再经0.02 s，a将第一次到达波峰，则：

图7 (1)该波的传播方向；

(2)该波的周期；

(3)该波的波速．

答案

(1)向左传播

(2)0.08 s

(3)10 m/s 解析

由于a点向上振动，可知该波向左传播，从题图中可以看出Oa的长度为3λ/4，可知该波的波长λ＝0.8 m，a正由平衡位置向上运动，它经Δt＝0.02 s第一次到达波峰需要T/4，可以得到该波的周期T＝0.08 λs．波速v＝＝10 m/s. T13．如图8所示，甲为某一列波在t＝1.0 s时的图像，乙为参与该波动的P质点的振动图像．

图8 (1)求该波波速v；

(2)在甲图中画出再经过3.5 s时的波形图；

(3)求再经过3.5 s时P质点的路程s和位移．

答案

见解析

λ解析

(1)由题图甲得波长λ＝4 m，由题图乙得周期T＝1.0 s，波速v＝＝4 m/s. T11(2)经过3.5 s的传播距离：Δx＝vΔt＝4×3.5 m＝14 m＝(3＋)λ，只需将波形向x轴负向平移λ＝2 m即可，22如图所示．

Δt(3)因为n＝＝3.5，路程s＝4An＝4×0.2×3.5 m＝2.8 m．由波的重复性可知，经历时间为周期的整数倍时，TT位移不变，所以只需考虑从图示时刻到P质点经时的位移即可，所以再经过3.5 s时质点P的位移仍为零．

214．如图9所示，实线是某时刻的波形图，虚线是0.2 s后的波形图．

图9 (1)若波向左传播，求它的可能周期和最大周期；

(2)若波向右传播，求它的可能传播速度；

(3)若波速是45 m/s，求波的传播方向．

0.8答案

(1)

s(n＝0,1,2，…)

0.27 s

(2)5(4n＋1) m/s(n＝0,1,2，…)

(3)向右

4n＋334Δt0.20.8解析

(1)波向左传播，传播的时间为Δt＝T＋nT(n＝0,1,2，…)，所以T＝＝4×

s＝

s(n44n＋34n＋34n＋30.8＝0,1,2，…)，最大周期为Tmax＝

s≈0.27 s. 3T(2)波向右传播，Δt＝＋nT(n＝0,1,2，…) 40.8所以T＝

s(n＝0,1,2，…)，而λ＝4 m 4n＋1λ所以v＝＝5(4n＋1) m/s(n＝0,1,2，…)．

T(3)波速是45 m/s，设波向右传播，由上问求得的向右传播的波速公式得：45 m/s＝5(4n＋1) m/s，解得n＝2.故假设成立，因此波向右传播．