二次根式应用ppt专用说课稿内容

1 第十六章 二次根式

课

题

教

学

目

标

16.1二次根式(1) 1.经历二次根式概念的发生过程

2.了解二次根式的概念

3.理解二次根式何时有意义，何时无意义，会在简单情况下求根号内所有含字母的取值范围

4.会求二次根式的值

教学重点：

二次根式的概念

教

学

设

想

教学难点：例1的第（2）（3）题学生不容易理解。

教

学

程

序

与

策

略

一、知识回顾：

1、什么叫做平方根？

一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。

2、什么叫算术平方根? 正数的正平方根和零的平方根，统称算术平根。

用aa0表示

讨论并解释：为什么a≥0 ？

二、新课教学

2b32sa4做一做：课本P 4 的填空

你认为所得的各代数式的共同特点是什么? 2s这样表示的算术平方根，且根号中含有字母的代数式b3象 a24叫做二次根式

为了方便起见，我们把一个数的算术平方根也叫做二次根式。

例1：求下列二次根式中字母a的取值范围：

1a1;21;12a3(a3)2.

解：（1）由a+1≥0 得，a≥-1 ∴字母a的取值范围是大于或等于-1的实数

11（2）由

＞0，得 1-2a＞0。即a<, 12a21∴字母a的取值范围是小于的实数

2（3）因为无论a取何值，都有（a-3）2≥0,所以a的取值范围是全体实数

说明：求字母的取值范围实质是：转化为解不等式（组）

练习： 求下列二次根式中字母a的取值范围：

1;3a21.1a3;23a

2

例2：当x = -4 时，求二次根式 的值

12x解：将x = -4 代入

二次根式得

= 9 = 3 12x说明：与求代数式的值类比。

提高：

1、若二次根式

x

2

的值为3，求x的值.

2、物体自由下落时，下落距离h（米）可用公式 h=5t来估计,其中t（秒）表2示物体下落所经过的时间. （1）把这个公式变形成用h表示t的公式

（2）一个物体从54.5米高的塔顶自由下落，落到地面需几秒（精确到0.1 秒）? 3、当x分别取下列值时,求二次根式1-x的值: (1)x=0;

(2)x=1;

(3)x=-1. 检测：求二次根式中x的取值范围：

（1）

5x2

（4）

x4

（2）x1

（3）x24x2附加题：

（5）2xx22

（6）

（7）

x4x4x2三、课堂小结：由学生总结，教师适当提问补充。

本节课要掌握：

1．形如a（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．

2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．

四、作业：

教后反思

第十六章 二次根式

课

题

16.1二次根式(2)

3 1．理解a（a≥0）是一个非负数和（a）2=a（a≥0），并利用它们进

教

学

目

标

行计算和化简．

2．通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出a（a≥0）是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出（a）2=a（a≥0）；最后运用结论严谨解题．

1．重点：a（a≥0）是一个非负数；（a）2=a（a≥0）及其运用．

教

学

设

想

2．难点、关键：用分类思想的方法导出a（a≥0）是一个非负数；•用探究的方法导出（a）2=a（a≥0）．

教

学

程

序

与

策

略

一、复习引入

（学生活动）口答

1．什么叫二次根式？

2．当a≥0时，a叫什么？当a<0时，a有意义吗？

老师点评（略）．

二、探究新知

议一议：（学生分组讨论，提问解答）

a（a≥0）是一个什么数呢？

老师点评：根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出

a（a≥0）是一个非负数．

做一做：根据算术平方根的意义填空：

（4）2=_______；（2）2=_______；（9）2=______；（3）2=_______；

（1272）=______；（）=_______；（0）2=_______．

32

老师点评：4是4的算术平方根，根据算术平方根的意义，4是一个平方等于4的非负数，因此有（4）2=4．

同理可得：（2）2=2，（9）2=9，（3）2=3，（所以

（a）2=a（a≥0）

例1

计算

1．（3）2

2．（35）2

3．（25）2

6121727）=，（）=，（0）2=0，3232

4．（7）2

2

分析：我们可以直接利用（a）2=a（a≥0）的结论解题．

4 解：（323） =，（35）2 =32·（5）2=32·5=45，

2252572(7)27（）=，（）=．

622426

三、巩固练习

计算下列各式的值：

（18）2

（

四、应用拓展

例2

计算

1．（x1）2（x≥0）

2．（a2）2

3．（a22a1）2

4．（4x212x9）2

分析：（1）因为x≥0，所以x+1>0；（2）a2≥0；（3）a2+2a+1=（a+1）≥0；

（4）4x2-12x+9=（2x）2-2·2x·3+32=（2x-3）2≥0．

所以上面的4题都可以运用（a）2=a（a≥0）的重要结论解题．

例3在实数范围内分解下列因式:

（1）x2-3

（2）x4-4

(3) 2x2-3

五、归纳小结

本节课应掌握：

1．a（a≥0）是一个非负数；

2．（a）2=a（a≥0）;反之:a=（a）2（a≥0）．

六、布置作业

2272 92）

（）

（0）2

（4）

(35)2(53)2

438教后反思

第十六章 二次根式

课

题

教

学

目

标

16.1二次根式(3) 1、理解a2=a（a≥0）并利用它进行计算和化简．

5 2、通过具体数据的解答，探究a2=a（a≥0），并利用这个结论解决具体问题．

1、重点：a2＝a（a≥0）．

教

学

设

想

2．难点：探究结论．

3．关键：讲清a≥0时，a2＝a才成立．

教

学

程

序

与

策

略

一、复习引入

老师口述并板收上两节课的重要内容；

1．形如a（a≥0）的式子叫做二次根式；

2．a（a≥0）是一个非负数；

3．(a)2＝a（a≥0）．

那么，我们猜想当a≥0时，a2=a是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题．

二、探究新知

（学生活动）填空：

122=_______；0.012=_______；()2=______；

1023()2=________；02=________；()2=_______．

37

（老师点评）：根据算术平方根的意义，我们可以得到：

12312322=2；0.012=0.01；()2=；()2=；02=0；()2=．

10371037

因此，一般地：a2=a（a≥0）

例1

化简

22

（1）9

（2）(4)

（3）25

（4）(3)

分析：因为（1）9=-32，（2）（-4）2=42，（3）25=52，

（4）（-3）2=32，所以都可运用a2=a（a≥0）•去化简．

2解：（1）9=32=3

（2）(4)=42=4

2（3）25=52=5

（4）(3)=32=3 三、巩固练习

教材练习

四、应用拓展

例2

填空：当a≥0时，a2=_____；当a<0时，a2=_______，•并根据这一性质回答下列问

6 题．

（1）若a2=a，则a可以是什么数？

（2）若a2=-a，则a可以是什么数？

（3）a2>a，则a可以是什么数？

分析：∵a2=a（a≥0），∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，2使“（

）2”中的数是正数，因为，当a≤0时，a2=(a)，那么-a≥0．

（1）根据结论求条件；（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据（1）、（2）可知a2=│a│，而│a│要大于a，只有什么时候才能保证呢？a<0．

解：（1）因为a2=a，所以a≥0；

（2）因为a2=-a，所以a≤0；

（3）因为当a≥0时a2=a，要使a2>a，即使a>a所以a不存在；当a<0时，a2=-a，要使a2>a，即使-a>a，a<0综上，a<0 五、归纳小结

本节课应掌握：a2=a（a≥0）及其运用，同时理解当a<0时，a2＝－a的应用拓展

六、布置作业

教后反思

第十六章 二次根式

课

题

16.2二次根式的乘法

1、理解a·b＝ab（a≥0，b≥0），ab=a·b（a≥0，b≥0），

教

学

目

标

并利用它们进行计算和化简

2、利用逆向思维，得出ab=a·b（a≥0，b≥0）并运用它进行解题和化简．

教

学

设

想

1、重点：a·b＝ab（a≥0，b≥0），ab=a·b（a≥0，

7 b≥0）及它们的运用．

2、难点：发现规律，导出a·b＝ab（a≥0，b≥0）．

教

学

程

序

与

策

略

一、复习引入

（学生活动）请同学们完成下列各题．

1．填空

（1）4×9=_______，49=______；

（2）16×25=_______，1625=________．

（3）100×36=________，10036=_______．

2.参考上面的结果，用“>、<或＝”填空．

4×9_____49，16×25_____1625，100×36________10036

二、探索新知

（学生活动）让3、4个同学上台总结规律．

老师点评：（1）被开方数都是正数；

（2）两个二次根式的乘除等于一个二次根式，•并且把这两个二次根式中的数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开方数．

一般地，对二次根式的乘法规定为

反过来:

例1．计算

（1）5×7

（2）（a≥0，b≥0）

a·b＝ab．ab=a·b（a≥0，b≥0）

11×9

（3）9×27

（4）×6

32

解：（1）5×7=35

（2）11×9=9=3

33（3）9×27=927923=93

（4）11×6=6=3

22

例2

化简

（1）916

（2）1681

（3）81100

22（4）9xy

（5）54

解：（1）916=9×16=3×4=12

（2）1681=16×81=4×9=36

8

（3）81100=81×100=9×10=90

2222

（4）9xy=32×xy=32×x2×y2=3xy

（5）54=96=32×6=36

三、巩固练习

（1）计算（学生练习，老师点评）

①

16×8

②36×210

③5a·20; 18;

24;

1ay

5(2) 化简: 54;

12a2b2

四、应用拓展

例3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：

（1）(4)(9)49

（2）4121212×25=4××25=4×25=412=83

252525五、归纳小结

本节课应掌握：（1）a·b＝ab=（a≥0，b≥0），ab=a·b（a≥0，b≥0）及运用．

六、布置作业

教后反思

第十六章 二次根式

课

题

16.2二次根式的除法

1、理解

教

学

目

标

aaaa=（a≥0，b>0）和=（a≥0，b>0）及利用它们进bbbb行运算．

2、

利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简．

1．重点：理解教

学

设

想

aaaa=（a≥0，b>0），=（a≥0，b>0）及利用它bbbb们进行计算和化简．

9 2．难点关键：发现规律，归纳出二次根式的除法规定．

教

学

程

序

与

策

略

一、复习引入

（学生活动）请同学们完成下列各题：

1．写出二次根式的乘法规定及逆向等式．

2．填空

（1）169916=________，=_________；

（2）=________，=________；

36163616

（3）364436=________，=_________；

（4）=________，=________．

81168116规律：163694916436______；______；_______；_______．

3681161636811616

二、探索新知

刚才同学们都练习都很好，上台的同学也回答得十分准确，根据大家的练习和回答，我们可以得到：

一般地，对二次根式的除法规定：

aaaa=（a≥0，b>0），

反过来，=（a≥0，b>0）

bbbb

下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目．

例1．计算：（1）31111264

（2）

（3）

（4）

2841683解：（1）313131212==4=2

（2）=834=3×=23

2828233111116464===8=22

16=4=2

（4）416416488（3）

例2．化简：

364b25x9x

（1）

（2）

（3）

（4）

222649a169y64y64b28b364b233解：（1）=

（2）=

223a649a8649a

（3）9x3x5x5x5x9x=

（4）=

2228y13y169y64y264y169y

三、巩固练习

课本练习题

四、应用拓展

x25x49x9x

例3．已知，且x为偶数，求（1+x）的值．

2x1x6x6

10 分析：式子aa=，只有a≥0，b>0时才能成立．

bb因此得到9-x≥0且x-6>0，即6

解：由题意得

∴6

∵x为偶数

∴x=8

∴原式=（1+x）9x0x9，即

x6x60x4x4(x4)(x1)

=（1+x）

=（1+x）=(1x)(x4)

x1(x1)(x1)(x1)

∴当x=8时，原式的值=49=6．

五、归纳小结

本节课要掌握

六、布置作业

aaaa=（a≥0，b>0）和=（a≥0，b>0）及其运用．

bbbb

教后反思

第十六章 二次根式

课

题

教

学

目

标

教

学

设

想

16.2二次根式的乘除（3）

1、理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式．

2、通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求．

1．重点：最简二次根式的运用．

2．难点关键：会判断这个二次根式是否是最简二次根式．

教

学

程

序

与

策

略

11 一、复习引入

（学生活动）请同学们完成下列各题（请三位同学上台板书）

1．计算（1）3328，（2），（3）

5272a15326382a=，=，=

5a52732a

老师点评：

2．现在我们来看本章引言中的问题：如果两个电视塔的高分别是h1km，h2km，•那么它们的传播半径的比是_________．

它们的比是2Rh12Rh2．

二、探索新知

观察上面计算题1的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点：

1．被开方数不含分母；

2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．

我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．

那么上题中的比是否是最简二次根式呢？如果不是，把它们化成最简二次根式．

学生分组讨论，推荐3～4个人到黑板上板书．

老师点评：不是．

2Rh12Rh2=2Rh12Rh2h1h2h1h2. h28x2y3

例1．(1) 35; (2) 12x2y4x4y2; (3) 三、巩固练习

1、

课本练习

2、化简:(1)

3、计算

132=_________;(2) 110=________;(3) =______. 1225nnn1n3

（1）·（-）÷（m>0，n>0）

333m2m2mmm3mna23m23n2

（2）-3÷（）×

（a>0）

2a2mn2a2四、应用拓展

例2．观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：

11(21)21==2-1，

2121(21)(21)11(32)32==3-2，

3232(32)(32)

12

同理可得：1=4-3，……

43

从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算

（1111+++……）（2002+1）的值．

20022001213243

分析：由题意可知，本题所给的是一组分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以达到化简的目的．

解：原式=（2-1+3-2+4-3+……+2002-2001）×（2002+1）

=（2002-1）（2002+1）

=2002-1=2001 五、归纳小结

本节课应掌握：最简二次根式的概念及其运用

六、布置作业

教后反思

第十六章 二次根式

课

题

教

学

目

标

教

学

设

想

16.2二次根式的加减（1）

1、理解和掌握二次根式加减的方法．

2、先提出问题，分析问题，在分析问题中，渗透对二次根式进行加减的方法的理解．再总结经验，用它来指导根式的计算和化简．

1．重点：二次根式化简为最简根式．

2．难点关键：会判定是否是最简二次根式．

教

学

程

序

与

策

略

13 一、学生活动：计算下列各式．

（1）2x+3x；

（2）2x2-3x2+5x2；

（3）x+2x+3y；

（4）3a2-2a2+a3

教师点评：同类项合并就是字母不变，系数相加减．

二、探索新知

学生活动：计算下列各式．

（1）22+32

（2）28-38+58

（3）7+27+397

（4）33-23+2

老师点评：

（1）如果我们把2当成x，不就转化为上面的问题吗？

22+32=（2+3）2=52

（2）把8当成y；

28-38+58=（2-3+5）8=48=82

（3）把7当成z；

7+27+97

=27+27+37=（1+2+3）7=67

（4）3看为x，2看为y．

33-23+2

=（3-2）3+2

=3+2

因此，二次根式的被开方数相同是可以合并的，如22与8表面上看是不相同的，但它们可以合并吗？可以的．

（板书）32+8=32+22=52

33+27=33+33=63

所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，•再将被开方数相同的二次根式进行合并．

例1．计算

（1）8+18

（2）16x+64x

解：（1）8+18=22+32=（2+3）2=52

（2）16x+64x=4x+8x=（4+8）x=12x

14

例2．计算

（1）348-91+312

3

（2）（48+20）+（12-5）

解：（1）348-91+312=123-33+63=（12-3+6）3=153

3

（2）（48+20）+（12-5）=48+20+12-5

=43+25+23-5=63+5

三、巩固练习

1、

课本练习

2、

(1).(2233)(3322)

(2).(22)(322)四、应用拓展

五、归纳小结

本节课应掌握：（1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；

（2）相同的最简二次根式进行合并．

六、布置作业

教后反思