习题训练第二课时教学实录

《§第17章

勾股定理》习题课（二）

莆田中山中学

陈倩

一、内容和内容解析：

1．内容：

利用勾股定理解决一般三角形中求面积以及边长问题。

2．内容解析：

在习题课（一）中，从整体上把握本章的知识体系，深化了勾股定理在直角三角形中的选择和使用，而本节课则是研究勾股定理在一般三角形中该如何选择和使用？本节课先从特殊的等腰三角形求面积问题，到一般三角形的求面积问题，体现了从特殊到一般的探究过程和方法，而这些问题的解决关键都在于作高，将非直角三角形的问题转化成“共直角边的两个直角三角形”模型，借助两次勾股定理表示出该边，以此作为等量关系，在整个过程中渗透着分类讨论思想、转化和化归思想，方程思想。

基于以上分析，可以确定本节课的教学重点是：通过作高，将非直角三角形的问题转化成“共直角边的两个直角三角形”模型，再运用勾股定理解决问题。

二、目标和目标解析：

1．目标：

（1）利用勾股定理解决一般三角形中求面积问题。

（2）利用勾股定理解决一般三角形中求边长问题。

2．目标解析：

目标（1）的具体要求是，理解“共直角边的两个直角三角形”模型，借助两次勾股定理来表示公共边，并以此作为等量关系来列方程。在解题的过程中，培养学生运用方程思想。

目标（2）的具体要求是，理解题目是否需要分情况讨论的本质，在于是否满足全等三角形的判定；学会通过作高将一般三角形的问题转化成直角三角形，再借助勾股定理来解决问题。通过自主探究和合作交流，激发数学学习的兴趣，树立学好数学的信心。

三、教学问题诊断分析：

习题课作为新课的重要辅助和补充，是数学课堂教学的重要组成部分。习题课的目的性很明确，有针对性的精选题目，为了补充和拓展勾股定理的应用，本节课以解决一般三角形的专题形式出现。在过程中注重训练的实效性，把握技能形成的阶段性，根据内容的要求和学生的实际，分层次的落实，对于本节课所学的知识和所用的方法，引领学生及时进行归

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纳和小结，形成方法的体系，不断的完善学生的知识体系。教学时，应引导学生注意构建勾股定理的使用条件，并关注数形结合以及分类讨论思想。

所以，本节课的难点是，解题的时候要建立数形结合思想和方程思想，把几何图形和相关知识结合起来，灵活利用勾股定理来寻找题中的等量关系，列方程求解，进而解决问题。

四、教学支持条件分析：

借助《几何画板软件》来动态演示例二中的两种情况，让学生直观感受分类讨论的必要性，激发数学学习的兴趣。

五、教学过程设计：

引言

上节课我们一起构建了勾股定理这一章的知识体系，并总结了运用勾股定理解决直角三角形中求边长乃至相关面积、周长问题。本节课我们将继续研究勾股定理在一般三角形中求边长，面积等问题时该如何选择和使用？

师生活动：教师展示上节课一同构建的知识体系，以及运用勾股定理求直角三角形的边长的两种基本题型，学生自主复习并思考。

设计意图：根据对已有知识和经验进行回顾反思，引导学生解决一般三角形求面积问题。

1.模块一：利用勾股定理解决一般三角形的面积问题：

例1：已知，如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，求△ABC的面积。

师生活动：学生根据等腰三角形的性质作底边上的高，进而将问题转化成在直角三角形中求边长问题，进而解决面积问题。教师在整个过程中引导学生总结，并通过幻灯片进行要求规范的书写格式。

设计意图：要研究一般三角形的面积问题，我们先从特殊的等腰三角形入手研究，让学生明白将面积问题转化为求高的长。而高作为直角三角形的一边，就将问题转化为习题课一中所涉及到的知识。本道题起到了一个承上启下的过渡作用。

变式：求AB边上的高CE。

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师生活动：求高的首选方法为等面积法，而变式题作为例一的延续，很多同学会选择使用“等面积法”

（勾股定理的证明方法）。

方法一：等面积法

EABDC

解：

∵SABC1124ABCE12

∴5CE12

∴CE

225而教师要先给予学生肯定，然后再引导学生一同来研究图形中隐藏的信息：求边长问题→寻找该边所在的直角三角形，而图形中是否存在这样的三角形？从而引导学生发现理解“共直角边的两个直角三角形”模型，用两个直角三角形的勾股定理表示出该边，以此作为等量关系来列方程求解（方程思想），进而用勾股定理解决问题。

方法二：“共直角边的两个直角三角形”模型：

EABC

设AE=x,则BE=5+x ∵在Rt △ACE中，∠AEC=90°

∴CEACAE5x

∵在Rt △BCE中，∠BEC=90°

∴CEBCBE8(5x)

22∴5x=8(5x)……

222222222222而对于多种解法问题，教师应引导学生进行方法的比较和选择。

设计意图：通过本题可以让学生发现已知等腰三角形的三边即可解决其面积，高等问题，而在这个过程中运用多种方法开拓学生的思维，进一步加深对勾股定理的理解。特别是方法二，需要一定的思维量。

追问:一般三角形中，已知三边，能否求面积？

练习：已知，如图，在△ABC中，AB=10，AC=14，BC=16，求△ABC的面积。

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师生活动：学生发挥团队力量共同探究解决问题，并推荐小组代表上台展示，教师引导学生进行总结：已知三角形的三边求面积：作高，构建“共直角边的两个直角三角形”模型，从而借助勾股定理解决问题。

设计意图：在一般三角形中，已知三边，通过勾股定理的使用可以解决面积问题。其中需要建立方程解决问题，渗透方程思想。

2.模块二：利用勾股定理解决一般三角形的边长问题：

例2：已知，在△ABC中，∠B=45°

（1）

若AB82,BC=14,则AC=

师生活动：学生独立思考后解决问题，教师引导学生归纳解决一般三角形中求边长的问题：

▲解决一般三角形中求边长的问题：

①作高，构建直角三角形，

②转化成“共直角边的两个直角三角形”模型，

进而运用两次勾股定理解决问题。

（2）

若AB82,AC=10,求BC的长。

师生活动：先由小组内讨论如何作图，后派代表上台展示，其他同学给予补充。然后由教师通过几何画板演示。再由同学们进行求边长问题的解答。

追问：为什么前面的所有题目都不需要分情况讨论，而这一步却需要？需不需要分情况讨论的本质到底是什么？

师生活动：教师追问后，由学生发挥团队力量来讨论，一同探究解决问题：

▲分类讨论思想。

▲需不需要分情况讨论的本质：

→三角形是否唯一确定，

→是否满足全等的判定条件。

设计意图：本题是本节课的重难点，解决难点的同时也是总结与升华，让学生理解题目是否需要分情况讨论的本质，在于是否满足全等三角形的判定；学会

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通过作高将一般三角形的问题转化成直角三角形，再借助勾股定理来解决问题。通过自主探究和合作交流，激发数学学习的兴趣，树立学好数学的信心。

3.小结：

1.教师和学生共同回顾本节课内容，并由学生总结出本节课的思维导图：

2.本节课涉及到哪些数学思想方法？

设计意图：让学生从不同角度，不同的方式谈本节课的主要内容。在学习的过程中感受数形结合思想，方程思想，分类讨论思想，引发学生更深层次的思考，促进学生数学思维品质的提高。通过梳理学习内容，养成整理、系统知识的习惯．加强教、学反思，进一步提高教、学效果．

4.布置作业：



1.预习作业：（数学课外活动）

动手折一折：

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，①折叠使得AC与AB重合，求此时折痕的长度。

②折叠使得点B与点A重合，求此时折痕的长度。

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2.书面作业：

①必做题：课本P38：7,9 ②选做题：课本P39：14 六、目标检测设计：

（2018年福建中考改编题）已知, 如图，在△ABC中，AB=3,AC=4,BC=5，点D在BC的

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延长线上，且AD=5，求线段CD的长。

ABCD

设计意图：考察学生运用勾股定理的能力，以及本节课的模型应用。

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