原（逆）命题、原（逆）定理板书设计

第十七章

勾股定理

17.2

勾股定理的逆定理

第

2 课时

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教材分析

应用勾股定理及其逆定理解决问题．体会利用勾股定理及其逆定理，可以通过边长关系的计算，判断一个角是否是直角．

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教学目标

1.

应用勾股定理的逆定理解决实际问题；

2.

进一步加深对勾股定理与其逆定理之间关系的认识．

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教学重难点

应用勾股定理及其逆定理解决实际问题

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课前准备

课件，多媒体资源

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教学过程

一、复习回顾

1.勾股定理和逆定理的内容是什么？它们之间有何联系和区别？

2.什么是勾股数？能否举出一些常见的勾股数. 设计意图：通过对定理的回顾，为后面的综合应用作准备.

二、勾股定理及其逆定理的实际应用

例1 如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16n mile，“海天”号每小时航行12n mile,它们离开港口一个半小时后相距30 n mile，如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？

【分析】由图可以看出，由于“远航”号得航向已知，如果求出两艘轮船的航向所成的角，就能知道“海天”号得航向了. 解：根据题意：

PQ=16×1.5=24，PR=12×1.5=18，QR=30. ∵24²+18²=30²，

即PQ²+PR²=QR²，

∴△PQR为直角三角形，即∠QPR=90°. ∵∠1=45°，

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∴∠2=45°，即“海天”号沿西北方向航行. 例2 某中学有一块四边形的空地ABCD，如下图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90°，AB=3m，BC=12m，CD=13m，DA=4m，若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金买草皮？

CBAD

【分析】根据条件易想到链接BD，将四边形的面积转化为两个三角形的面积之和，由AB=3，AD==4，易求BD=5，而△CBD中已知三边的长，可根据勾股定理的逆定理判断该三角形为直角三角形，再根据面积计算公式求出答案. 解：连接BD.在Rt△ADB中，∠A=90°，

∴BD=

=

=5. 在△DBC中，∵BD²+BC²=5²+12²=169，CD²=13²=169，

∴BD²+BC²=CD²，

∴△DBC为直角三角形，即∠DBC=90°. ∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD

=

=

=36.

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∴需要钱数为36×200=7200元. 答：学校需投入7200元买草皮. 练习1 如图所示的是一块地，已知AD=4m，CD=3m,AD⊥DC，AB=3m，BC=12m，求这块地的面积.

解：连接AC，

∵AD⊥DC，

∴∠ADC=90°，

在Rt△ACD中，AC=

=

=5, ∴AC²+BC²=5²+12²=169，AB²=13²=169，

∴AC²+BC²=AB². ∴△ABC是直角三角形. ∴这块地的面积为S=S△ABC-S△ACD =

4 / 6

=

=24 m²

答：这块地的面积为24平方米. 练习2 如图，如图，南北向MN为我国领域，即MN以西为我国领海，以东为公海.上午9时50分，我国反走私A艇发现正东方向有一走私艇C以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B.已知A、C两艇的距离是13海里，A、B两艇的距离是5海里；反走私艇B测得离C艇的距离是12海里.若走私艇C的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？

MAECBN

【分析】由题意可得△ABC的三边长分别为5、12、13，根据勾股定理逆定理判断∠ABC=90°，由题可知走私艇C进入我领海的最近距离是CE，再利用勾股定理建方程求出CE的长，从而解决问题. 解：设MN交AC于E，则∠BEC=90°. ∵AB²+BC²=5²+12²=169，AC²=13²=169，

∴AB²+BC²=AC²，

∴△ABC为直角三角形，即∠ABC=90°. ∵MN⊥AC，即CE⊥MN，

∴走私艇C进入我领海的最近距离是CE. ∵S△ABC=

=

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∴BE= = . 在Rt△BCE中，由勾股定理得，

∴CE=

=

= . ∴最早进入时间

≈0.85小时=51分钟. 9时50分+51分=10时41分. 答：走私艇最早在10时41分进入我国领海. 设计意图：综合运用勾股定理和它的逆定理来解决几何问题.

三、课堂小结

1.已知一三角形的三边的长度时，首先应对该三角形进行判断，判断最长边的平方是否等于其余两边的平方和，如何满足这一条件则此三角形为直角三角形；

2.勾股定理的逆定理为证明直角三角形提供了新的方法，由数量关系得到角为直角，是数形结合的体现.

略.

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教学反思

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