总复习优秀公开课教案

点阵中的规律

执教:罗勇

教学内容:北师大五年级上册82~83页

教学目标:

1、能在具体的观察活动中,发现点阵中隐含的规律,体会到图形与数的联系。

2、利用正方形点阵研究平方数的特征,体会按一定规律排列的一列数的简便计算方法

3、发展学生归纳与概括能力。

4、了解数学发展的历史,感受数学文化的魅力。

教学重点:

直观感知“点阵”的有序排列。

教学难点:

发现“点阵”中隐含的规律,体会图形与数的联系。

教学准备:

课件白纸苦干张

教学过程:

一.激趣导入,引出课题:

师:今天的数学课,老师给大家带来了一个非常重要的图形,一定要注意观看啊。(课件出示一个圆点)。

生:老师,就是一个圆点啊。

师:是啊,点是几何中最基本的图形,可别小看这个点。许多点排列起来就组成一个有趣的点阵,比如:我们常玩的五子棋,围棋(出示五子棋,围棋的图片)都是由各个点组成的点阵。其实,两千多年前,希腊的数学家就开始研究点阵了。这节课,我们也来尝试研究点阵的规律,好吗?(板书课题——点阵中的规律)。

二、探究新知

(一)探索相同数相乘的特征

师:现在我们来读读这句话(课件):二千多年前,希腊数学家们已经利用图形来研究数,在表现一些数的特征方面,点阵更加直观。对这句话有疑惑吗?

生:利用图形来研究数,为什么不利用线段来研究数,而利用图形(点阵)来研究数呢?

生:为什么相对于线段来说,利用图形(点阵)来研究数更直观呢?

师:好,我们今天就要利用点阵中的规律,体会用图形研究数更直观(板书)。也许你心里有一个大大的问号,把你的理解和疑惑都记在心里,现在我们再来看一个算式,你能5秒钟算出答案吗?(课件)计时开始。

1+2+3+4+5+6+7+8+7+6+5+4+3+2+1=

师:算出来了吗?你说(64),你呢?(好像也是64),没算出来的同学举手,(95%同学不会),其实这个算式和点阵有密切的联系,通过今天的学习,我们不仅能感受用点阵来研究数的特征更直观,而且还能将我们的发现2秒钟算出这题的答案,想去探索吗?

生:想

师:现在让我们回到2000多年前的研究现场。请看,这是一组正方形点阵,仔细观察,你能告诉我每个点阵有多少个点吗?你来说。

生:第一个点阵有1个点,第二个点阵有4个点,第三个点阵有9个点,第4个点阵有16个点。

师:对吗?

生:对。

师:以此类推,第5个点阵有多少个点?

生:25个

师:第6个点阵呢?

生:36个

师:那么,今天我们就要来研究类似1,4,9,25这类数的特征。我们就利用数点阵中点的个数来研究它。(课件)试着用算式表示出点阵中点的个数。并说说你是怎么数的?写完的同学可以跟同桌互相说一说。(请一位同学板书)说完后,看看这位同学和你做得一样吗?想想她是怎么数的?

生:行数乘列数。

师:他这样也就先数的一行2个,有2行,可以用乘法2×2来表示,它呢?

生:一行3个有3行3×3,一行4个有4行4×4。

师:为什么1个点也能用1×1来表示呢?

生:可以数,一行1个,一列1个。

师:也可以说成一行一个,有一行。那竖着数行吗?

生:行。

师:请你在你的图形上像这样划分表示你是怎么数的,同时想一想照这样推算下去,第五个点阵有多少个点?怎样列式。请你画出此图形。做完后,与同桌互相说说。现在谁来说一说。

生:5×5

师:你画出的图形是这样的吗?

生:是

师:好,那给自己点掌声。以此类推,第6个点阵呢?全班说

生:6×6

师:第7个点阵呢?

生:7×7

师:那第n个点阵呢?

生:n×n

师:那n×n就等于什么?

生:n2

师:现在我们来回顾一下像这样划分数的过程(课件)横着一排一排地数,竖着一列一列地数,都能列出这样地乘法算式,请你仔细观察,每个算式中的数有什么特点?你来说。

生:都是相同的数相乘。

师:谁在来说一说?

生:都是相同的数相乘。

师:那么这些数字都可以写成相同的数相乘的形式,看看1,4,9,16,25,你知道这些数字叫什么名字吗?

生:完全平方数。

(二)探索类似对称算式的特征

师:大家真能干,这就是以前大家都知道的完全平方数,那么今天我们就要继续研究像这类完全平方数还有什么特征呢?我们还是利用数点阵中点的个数来研究它。现在请你想一

想,你还能通过其它划分方式来数点的个数吗?试着写出相应的算式。观察算式中的数又有什么特点。(巡视)这个问题是有点难,如果你感到有点困难,你可以看看这位同学是怎么划分点阵来数点阵中点的个数的。

生:斜着划分。

师:好了,他给大家了一个小小的提示,你能看懂吗?做完的同学,可以和同桌互相说一说,像这样划分每个算式中的数又有什么特点吗?第五个点阵,你能根据你的发现,不画点阵图,用算式表示出你是怎么划分的吗?提醒大家,请你先划分,再列式。

生:上台演示。

师:做完后,跟同桌说说你又有什么发现。好,谁来说说!

生:算式开始的数是1结束也是1,中间的数只有一个,开始依次增加到中间数就依次减少。

师:有这种感觉吗?

生:有

师:手势(从低到高)从1起先依次增加到最大的数,再依次减少,又回到1。像这样划分点阵,第4个图形应该怎样划分呢?

生:1+2+3+4+3+2+1

师:第5个呢?你们怎么列式的?

生:1+2+3+4+5+4+3+2+1

师:第6个点阵呢?快速说。

生:1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1

师:第100个点阵呢?

生:喔……

师:大家都感觉到算式要说很久,谁能概括地说。

生:从1加到100再加到1。

师:1+100+1

生:从1按着顺序加到100

师:按着顺序,说得很好。也就是说从1起,连续自然数相加加到100。

生:从1开始连续自然数相加加到100,再向这样倒着加到1。

师:大家能感受了吗?

生:能。

(三)探索从1起连续奇数的特征

师:刚才有同学说,他还有划分方法,能够有规律地数这组点阵中点的个数,你先想想,横着、竖着、斜着我们都试过了,还能怎样划分呢?自己动动脑筋。小老师来了,只提示两个,大家看清楚别人是怎么划分的,能根据这样的划分方式列出算式吗?(学生示范,全班观察)看懂了的同学请你先向这样划分点阵,再列出算式,然后再观察算式中的数有什么特点。(教师巡视)做完的同学跟同桌说说,你又有什么发现?第5个点阵你能不画图就列出相应的算式吗?

师:谁来说一说,我觉得我左手边的同学发言特别积极,好,你上来指着说一说,大家注意关注同学的发言。

生:它每次增加了2

师:他发现了什么,你听懂了吗?我请这边的同学,好,你来。

生:我发现了每个点阵都增加了2。

师:每个点阵?

生:每个区域都增加了2。

师:说得好,每个区域,那么我们用折线把每个区域都划分出来,看看它们是不是向他所说的那样,谁来当小老师。

生:(演示用折线划分)1,3,5,7,9

师:有9的话,那就是第几个点阵了?

生:第五个

师:那我们就给它写出来1+3+5+7+9,我们再来看看,除了每个区域也就是后面的加数都比前面的加数多2以外,还有什么发现?

生:都是的奇数相加。

师:她说到了一个数学专业用语,谁听见了?

生:奇数

师:谁能完整地说一说你的发现。

生:连续奇数相加

师:有补充吗?

生:它是等差数列

师:你的意思就是每次都?

生:增加2

师:很好,你还有补充吗?

生:它们都是从1开始的连续奇数相加。

师:很好,我就在等这句话,如果你们不说,猜猜老师要怎么说?我会说,既然都是连续奇数相加,以此类推,第6个点阵就可以用3+5+7+9+11+13这个算式来表示,对吗?

生:不对,因为要从1开始。

师:对,每个点阵开始都是1。那以此类推第8个点阵呢?

生:1+3+5+7+9+11+13+15

师:怎么就不加了?有什么发现?

生:加了8个

师:那你发现了什么?

生:每次都增加了2,每个算式结尾都是奇数。

师:对,结尾都是奇数,但为什么我说第八个点阵你们也只加8个奇数呢?

生:因为它是第八个点阵。

师:你是按这个规律来说的。刚才,我们都是研究的这些平方数的特征,它们除了可以看作类似4×4这种相同的数相乘只外,还可以看作什么?(课件回顾斜线划分法)

生:还可以看作我们刚才说的数的山峰。

师:也就是看作从1开始连续自然数相加加到最大的数,再依次减少加到1这种形式,很好。(课件回顾折线划分法)这些平方数还可以看作什么呢?

生:还可以看作等差数列

师:这个等差数列和一般的等差数列都还有特别之处

生:从1开始的等差数列

师:1,5,9这个也是等差数列

生:每次它都增加了4,公差都是4

师:向这样公差是4的等差数列就是从1起连续奇数的和。现在你感觉到了吗,是不是用点阵来研究数的特征更直观。

生:是

师:好,现在我们再来看这组点阵,(指一组组的算式)既然都是算的同一组点阵,那你说像这些算式的结果都应是怎样的?

生:一样的

师:那我们就把这些算式用等号连接起来。现在请你思考一个问题,如果让你算1+2+ 3+4+5+4+3+2+1这个算式的答案你准备怎么算?用加法吗?

生:不是

师:你先告诉我你准备用什么方法?

生:用乘法,而且用最大的数的平方就可以算出来了。

师:他不仅告诉了我们用乘法,还告诉了我们算的方法,先保密。如果让你算1+2+3 +4+5+4+3+2+1这个算式的答案,你准备用哪个乘法来算?

生:5×5

师:(指5×5=1+2+3+4+5+4+3+2+1)这里不是写着吗?指1+2+3+4+3+2 +1,它呢?

生:4×4

师:指1+2+3+2+1,1+2+1,它呢?

生:3×3,2×2

师:指1+3+5+7+9这个算式呢?

生:用等差数列的求和公式来算,用首项加末项的和,乘以公差除以2。

师:他学过奥数,很好,还有更简单的方法吗?

生:还是直接用那个乘法来算。

师:指算式1+3+5+7+9=5×5,等号连接了。它呢?1+3+5+7,1+3+5,1+3 生:4×4,3×3,2×2

师:那大家都喜欢用这种n×n的形式来算,对不对?

生:对

师:那我现在有一个疑问:你怎样找到每个算式中的n是几呢?观察这些算式的特征,现在请你在四人小组里交流一下你的想法。有很多同学迫不及待地想说了。

生:这个n就是这里的斜着的点的个数。

师:很好,那如果之看算式呢?

生:那就是它的项数

师:说得好,项数,什么是项数啊?

生:一共有几个数就是有几项。

师:是不是这个意思?

生:是

师:有几个数就是有几项,(指1+3+5+7)那么这有几个数?

生:4个,就等于4的平方

师:这有4个数就等于4的平方,这呢?(指1+3+5,1+3,1+3+5+7+9)生:3的平方,2的平方,5的平方

师:我觉得你们说得确实非常好,这样算确实很简便,那这组算式呢,它的n怎么找?

生:就是找这个算式中中间那个最大的数,就像金字塔一样,找最顶点的数。

师:他找最大,最顶点的数,然后呢?

生:让后再乘和它一样的数。

师:也就是算它的平方。

生:(指1+2+3+4+5+4+3+2+1)这个也是一样的,找5,(指1+2+3+2+1)这个是3,(指1+2+1),这个是2,然后算它们的平方。

师:对吗?还有没有其它方法?

生:把算式中数的数划掉,没重复的就是n。

师:没重复的就是n,说得非常好。

师:今天大家不仅通过点阵中的规律大家发现了,点阵就是向这样按一定规律排列的一列数,同时我们还能应用点阵的规律来研究这些平方数的特征,现在赵老师任意写个平方数49,它可以看作?

生:7×7

师:还可以看作?

生:1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1,

师:还可以看作?

生:1+3+5+7+9+11+13

师:只能从1起几个连续奇数的和

生:7个

师:那么,现在我们再回过头来看这句话,你有什么感受?

生:我觉得这句话说得很精到。

师:书上还有很多其它形式的点阵,我们今天只应用了正方形点阵来研究类似这样的平方数的特征,希望接下来大家继续探索发现,现在再来看这个算式,1+2+3+4+5+6+7+8+7 +6+5+4+3+2+1=,答案是几?

生:64,8×8=64

四.课件出示三角形图幻灯片

师:请同学们仔细观察这幅图,你有什么发现?把你的发现与你的同桌交

流一下。

生:我发现了后面一个点阵比前面一个点阵多一排,每个点阵的下面一排

比上面一排多一个点。

师:真不错。我们发现了这些规律,你们能不能把这些规律用算式把它表

示出来呢?

生:能。第一幅图就是1,第二幅图是1+2,第三幅图是1+2+3,第四幅图

是1+2+3+4。

师:你能说一说你是怎样得出这样的算式的吗?

生:第一幅图就是1个点,所以是1;第二幅图有两排,第一排有1个点,第二排有2个点,所以是1+2;第三幅图有3排,第一排1个点,第二排2个点,

第三排3个点,所以是1+2+3;第四幅图有4排,第一排1个点,第二排2个点,第三排3个点,第四排4个点,所以是1+2+3+4。

师:恩,你说的真详细。同学们,你们都听明白了吗?

五、拓展知识。

六、结束语。

师:点阵的规律,生活中也十分常见。比如:(课件出示图片)一些大型活动的展示标志,广场上美丽的花坛,由点阵构成的各种图案等等。可以说,生活中,处处离不开点阵的规律,离不开数学的知识。对吗?那么,就让我们用希腊数学家普洛克拉的一句话结束今天的学习,愿它能伴随大家数学学习之路!:

哪里有数学,哪里就有美!数学美把自然规律抽象成一幅简洁准确的图像。

——古希腊数学家:普洛克拉

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