探究与发现 利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质教学设计思路

全日制普通高级

中学（必修）

数学第一册（下）

人教版

《三角函数的图象和性质（第一课时）》

教

学

设

计

山西省长治市第十七中学

教学任务分析

教学

目标

知识

技能

重点

难点

数学

思考

情感

1．使学生理解动与静的关系

态度

2．通过课堂小组讨论，体验数学活动是充满探索的，培价值观

养学生合作交流意识和探索精神

用“五点法”画正弦曲线，余弦曲线。

利用单位圆画正弦曲线

1．会用单位圆中的正弦线画出正弦函数的图象。

2．用诱导公式画出余弦函数的图

3．会用“五点法”画正，余弦函数的图象

培养学生的数形结合思想，渗透由抽象到具体思想。

教学流程图安排

流程活动图

活动1 创设情境 导入新课

活动2 动手操作 提高兴趣

活动3 猜想图象 得出结论

活动4 扩展延伸 抛出重点

活动5 体验方法 合理推演

活动6 归纳总结 布置作业

活动内容和目的

由如何用旧知画图引发问题，导入新课。

让学生亲身参与到教学研究中，体会知识形成的过程。

用更精确的作图验证猜想。

通过对比优劣引出“五点法”

强化五点法的应用训练，并进行知识的迁移能力的培养和训练

通过归纳总结，练习，课外作业，使学生进一步将知识内化。

教学过程设计

问题与情境

【活动1】

想一想: 问题:①利用旧知如何画函数y=sinx.x∈[0,2π]的图象。

②这种画法画出的图象会存在什么问题。

③有无办法找出对应点的准确位置。

通过提问带领学生复习画函数图象的一般方法：描点法。接着由问题2了解，由于所取各点的纵坐标是用计算机等通过提问可以为本节课的顺工具得来的，不易描出对应点利进行做好铺垫，也较自然地的准确位置，所以画出的图象引出了本节课题。

不够精确，再接着提出问题3，从而引出本节课题：利用正弦线画正弦函数的图象。

师生行为

设计意图

【活动2】

做一做：

①

1～4小组每组发放一个已分为8等份的硬纸片单位圆以及与其相对应的平面坐标系。

y

x

y

1

0 423



5

3

7

2

x 4244-1

②

5～8小组每组发放一个已等份为12等份的硬纸片单位圆及与之相对应的平面坐标系。

y

x

y

1

250 63236

764332531162

x -1

教师发放学生操作步骤清单，学生以小组为单位活动，根据步骤清单操作，教师指

以前在讲授本节课时，都是导。

由教师动手画，学生用眼看，步骤：

造成教师手忙脚乱，学生无事①

各组在各自单位圆上过可做、毫无兴趣的现象。或者各分点作X轴的垂线，可是用多媒体课件展示，学生光得到对应于各个角的正看热闹而不了解本质。

弦线。（如图示）

我这样设计的目的是：①②

用手中的火柴棒对应于让学生亲身参与到教学研究各个角的正弦线截取与中，体会知识形成的过程；②各角正弦线等长的若干将难点分解，降低每一步难度段。（注：截取时保留火要求，循序渐进；③增加趣味柴头）

性，训练动手能力、合作能力；③

截取得到的若干火柴棒④选择火柴棒代替同等长度对应粘贴到与之相对应的正弦线，保留火柴头，还要的角度处。（注意粘贴方注意摆放位置，是要体现正弦向）（如图示）

线是有向线段，同时为下一步

观察起到更直观的感觉作用。

y ⑤为了降低难度，在这里我把1 单位圆和坐标系分开，没有象书上一开始就合在一起，便于

3

学生好理解。至于将二者合在35

0 42442742

x 一起画图会在【活动3】多媒-1 体展示时出现。

【活动3】

探一探：

各小组根据各组粘贴成的模型，观察火柴头的走势，大致猜测出函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象。

在学生猜测之后，教师利用多媒体课件给出准确的科学的正弦函数y=sinx,x∈[0,2π]图象。（注：教师所出示的课件是将单位圆24等份，让学生体会分的份数越多，图象越精确）

教师在已知y=sinx,x∈[0,2π]的图象上，提出问题，由学习小组讨论，解决所提问题并找到依据，小组代表发言，得出结论。

在学生回答完问题①后教师适时指出正弦曲线这个概念，同时指出这种画正弦曲线的方法为几何法，它与描点法相比，图象精确度高，但步骤较繁琐。这时教师指出在精确度要求不太高时，我们常用“五点（画图）法”画正弦函数的图象。教师指导学生观察在[0,2π]内，对于y=sinx来说起关键作用的五个点：（0，0）、（π/2，1）、（π，0）、（3π/2，-1）、（2π，0），有了这五个点就能较快的画出y=sinx,x∈[0,2π]的简图。

数学常常是用旧知来解决新知的，提出问题后，教师引导学生分析、猜想、探究找出正、余弦函数二者之间的关系，从而得到余弦函数的图象————余弦曲线。

分析时，先从字面上分析“正弦”、“余弦”一字之差，是否有什么联系，再从理论上推导y=cosx=cos(-x)

=sin[π/2-(-x)] =sin(x+π/2) 比较y=cosx= sin(x+π/2)与y=sinx发现将正弦曲线向左平移π/2个长度单位得到余弦曲线。

通过不同的途径，学生加强了对图象的感性认识并加深理解了用正弦线画正弦函数的图象

【活动4】

想一想

问题：

①上面我们画的是函数y=sinx, x∈[0,2π]的图象，如果要画y=sinx,在[2π，4π]、[-2π，0]……的图象又该如何呢？处理依据是什么呢？

由于还没有学习函数的周期性，对于[2π，4π]、[-2π，0]……这些范围内的图，原计划由教师讲解，但效果不如让学习小组讨论得出印象会更深刻。

通过比较描点法与几何法发现各有不足，这时教师顺势提出“五点法”较自然。

【活动5】

想一想

问题：

①

现在我们已经有正弦函数y=sinx,x∈R的图象———正弦曲线，那么余弦函数y=cosx,x∈R的图象是什么形状，如何得到呢？

②

利用“五点法”可以很快画出y=sinx,x∈[0,2π]的简图，同样对于y=cosx,x∈[0,2π]的简图起关键作用的五点分别是什么？

通过分析、猜想、探究训练学生对知识的再现能力，进一步强化知识的形成过程，培养学生对知识的迁移能力，同时强化“五点法”作图的应用。

教师通过多媒体课件展示从正弦曲线象左平移∏/2个长度单位得到余弦曲线的过程，更直观地理解二图象之间的关系。

在此基础上，让学生根据图象找出做y=cosx,x∈[0,2π]简图的五点：（0，1）、（π/2，0）、（π，-1）、（3π/2，0）、（2π，1）

学生理一理本节所学知识。

从问题提出到如何解决问题

【活动6】

理一理

练一练

布置作业

描点法引出用正弦线画正弦函数图象，经过动手、观察归纳出正弦曲线，同时引出“五点法”画y=sinx,x∈[0,2π]的简图，接下来又提出问题研究余弦函数图象，通过正、余

弦函数的关系，得到余弦曲线，同样找出做y=cosx,x∈[0,2π]的关键五点，梳理完毕后，教师要重点强调“五点法”画图。

通过整理、回顾，让学生理请本节课的知识结构，巩固知识，感受学习过程中的乐趣。

再由练习巩固“五点法”画图。

教学设计说明：

本节是正弦函数、余弦函数的图象和性质（第一课时），主要掌握用“五点法”画简图，教学时有二大环节。

第一环节分三个处理层次：描点法

几何法

五点法。满足不同的认知水平及学生自主感知，教师科学指导，方法技巧归纳，将学生学习的难点分解，降低每一层次的学习难度，注重知识形成过程。在学生的学习方式上，采用动手实践，自主探索与合作交流相结合的方式，使学习过程直观化、形象化。

第二环节利用知识的迁移，找出正、余弦函数之间的关系，通过图象的平移，得出余弦曲线，并得出“五点法”画y=cosx,x∈[0,2π]的简图的关键五点，再次对“五点法”巩固加深。