复习参考题教学创新设计

第三节

三角函数的图像与性质

考点

三角函数的图像与性质

命题分析

高考试题

2017·全国卷Ⅱ·T3·5分

2016·全国卷Ⅲ·T14·5分

2014·全国卷Ⅰ·T7·5分

考查内容

求函数的周期

图像的平移

三角函数的最小正周期

核心素养

数学运算

[.Com]直观想象

逻辑推理

三角函数的图像与性质在高考中几乎年年考查，主要考查三角函数的图像、性质，多以小题形式出现，分值一般为5分，属中低档题.

正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质

函数

y＝sin x y＝cos x y＝tan x

图像

π{x|x∈R，且x≠＋2kπ，k∈Z} 值域

[－1,1]

ππ[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)22单调性

π3为增；[2kπ＋，2kπ＋22π](k∈Z)为减

πx＝＋2kπ(k∈Z)时，2最值

πymax＝1；x＝－＋2kπ(k2∈Z)时，ymin＝－1

奇偶性

对称对称性

中心

对称轴

奇

(kπ，0)(k∈Z)

πx＝kπ＋，(k∈Z)

2[－1,1]

[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)为减；

[2kπ－π，2kπ](k∈Z)为增

x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；

x＝π＋2kπ(k∈Z)时，

ymin＝－1

偶

奇

无最值

ππ(kπ－，kπ＋)(k∈Z)22为增

R

定义域

x∈R

x∈R

kπ＋π，0(k∈Z)

2x＝kπ(k∈Z)

kπ，0(k∈Z) 2无对称轴

最小正周期

提醒：

辨明三个易误点

2π

2π

π

ππkπ－，

kπ＋(k∈Z)内为(1)y＝tan x不能认为其在定义域上为增函数，应在每个区间22增函数．

(2)三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”连接．

(3)求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω>0时，才能把ωx＋φ看作一个整体，代入y＝sin t的相应单调区间求解．

1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)y＝cos x在第一、二象限内是减函数．(

) 3π2x＋是偶函数，最小正周期为π.(

) (2)函数y＝sin2π(3)函数y＝sin x的对称轴方程为x＝2kπ＋(k∈Z)．(

) 2(4)函数y＝tanx在整个定义域上是增函数．(

) 答案：(1)×

(2)√

(3)×

(4)×

πx＋的一个单调递增区间是(

) 2．函数y＝sin4πA．2，π

C．[－π，0]

π0，

B．4ππD．4，2

ππππ3ππ0，解析：选B

由2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)．可知424244为该函数的一个单调递增区间．

3．已知函数f(x)是定义在R上周期为6的奇函数，且f(1)＝－1，则f(5)＝________. 解析：f(5)＝f(－1)＝－f(1)＝1. 答案：1 14．(教材习题改编)函数f(x)＝4－2cosx的最小值是________，

取得最小值时，x的取3值集合为________．

1解析：f(x)min＝4－2＝2, 此时x＝2kπ(k∈Z), x＝6kπ(k∈Z), 所以x的取值集合为{x|x＝36kπ，

k∈Z}．

答案：2

{x|x＝6kπ，

k∈Z}

三角函数的定义域

[明技法] 简单三角不等式的解法

(1)利用三角函数的图像求解．

(2)利用三角函数线求解．

[提能力] 【典例】

函数y＝lg(2sin x－1)＋1－2cos x的定义域是________．

解析：要使函数y＝lg(2sin x－1)＋1－2cos x有意义，

2sin x－1＞0，则即1－2cos x≥0

1cos x≤.21sin x＞，2

π5π解得2kπ＋≤x<2kπ＋，k∈Z. 36π5π2kπ＋，2kπ＋(k∈Z)．

即函数的定义域为36π5π2kπ＋，2kπ＋(k∈Z) 答案：36[刷好题] (2018·衡水调研)函数y＝sin x－cos x的定义域为____________．

解析：方法一

要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0.利用图像，在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sin x和y＝cos x的图像，如图所示．

π5π在[0, 2π]内，满足sin x＝cos x的x为，，再结合正弦，余弦函数的周期是2π，所以44π5π2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z. 原函数的定义域为x44

方法二

利用三角函数式，画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，∴定义域为π5πx2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z. 44

ππx－≥0，将x－视为一个整体，由正弦函数y＝sin x的方法三

sin x－cos x＝2sin44ππ5π图像和性质可知2kπ≤x－≤π＋2kπ，k∈Z，解得2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z. 444π5π2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z. 所以定义域为x44

π5π2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z

答案：x44

三角函数的值域或最值

[明技法] 三角函数最值或值域的求法

(1)直接法：直接利用sin x和cos x的值域求解．

(2)化一法：把所给三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，由正弦函数单调性写出函数的值域．

(3)换元法：把sin x，cos x，sin xcos x或sin x±cos x换成t，转化为二次函数求值域．

[提能力] ππ1x＋＋cosx－的最大值为(

) 【典例】

(1)(2017·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝sin6536A．

53C．

5B．1 1D．

5ππ1x＋＋cosx－

解析：选A

方法一

∵f(x)＝sin65311313＝sin x＋cos x＋cos x＋sin x

522221331＝sin x＋cos x＋cos x＋sin x

101022π3336x＋，

＝sin x＋cos x＝sin5553π6∴当x＝＋2kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值.故选A．

65

πππx＋＋－x＝，

方法二

∵362ππ1x＋＋cosx－

∴f(x)＝sin653ππ1x＋＋cos－x

＝sin653ππ1x＋＋sinx＋

＝sin353π66x＋≤. ＝sin5356∴f(x)max＝.故选A．

5πππ2x－，x∈，的值域为________．

(2)(2018·大庆检测)函数y＝3－2cos362πππ2π解析：∵≤x≤，∴0≤2x－≤，

6233π12x－≤1，

∴－≤cos32π2x－≤4. ∴1≤3－2cos3∴函数的值域为[1,4]．

答案：[1,4] [刷好题] 3π1．函数f(x)＝sin2x＋3cos x－(x∈[0，])的最大值是________．

4233解析：f(x)＝1－cos2x＋3cos x－＝－cos x－2＋1. 42π0，，∴cos x∈[0,1]，

∵x∈2∴当cos x＝答案：1 2．(2018·石家庄检测)函数y＝(4－3sin x)(4－3cos x)的最小值为________．

解析：y＝16－12(sin x＋cos x)＋9sin xcos x，

t2－1令t＝sin x＋cos x，则t∈[－2，2]，且sin xcos x＝，

2t2－112所以y＝16－12t＋9×＝(9t－24t＋23)．

2247故当t＝时，ymin＝. 323时，f(x)取得最大值，最大值为1. 2

7答案：

2

三角函数性质

[析考情] 三角函数的性质为高考常考内容之一，高考中常在三角函数的奇偶性、周期性、单调性、对称性等方面交汇命题，在考查三角函数性质的同时，又考查了三角恒等变换的方法与技巧，同时也考查了函数与方程、转化与化归的思想方法．

[提能力] 命题点1：三角函数的奇偶性与对称性

π【典例1】

(2018·濮阳模拟)当x＝时，函数f(x)＝sin(x＋φ)取得最小值，则函数y＝43πf4－x(

) πA．是奇函数且图像关于点2，

0对称

B．是偶函数且图像关于点(π，0)对称

πC．是奇函数且图像关于直线x＝对称

2D．是偶函数且图像关于直线x＝π对称

π解析：选C

∵当x＝时，函数f(x)取得最小值，

4π3π＋φ＝－1，∴φ＝2kπ－(k∈Z)，

∴sin443π3πx＋2kπ－＝sinx－，

∴f(x)＝sin443π∴y＝f4－x＝sin(－x)＝－sinx，

3ππ－x是奇函数，且图像关于直线x＝对称．

∴y＝f42命题点2：三角函数的周期性与对称性

π5π【典例2】

(2018·日照模拟)已知ω>0,0<φ<π，直线x＝和x＝是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)44图像的两条相邻的对称轴，则φ等于(

) πA．

4πC．

2πB．

33πD．

45ππ2πππ－，∴ω＝1，∴f(x)＝sin(x＋φ)，∴＋φ＝＋kπ(k∈解析：选A

由题意得＝244ω42

ππZ)，∴φ＝＋kπ(k∈Z)．又∵0<φ<π，∴φ＝.故选A．

44命题点3：三角函数的单调性与对称性

2π0 ，

上是减【典例3】

(2018·晋中检测)设ω是正实数，函数f(x)＝2cos ωx在x∈3函数，那么ω的值可以是(

) 1A．

2C．3 B．2 D．4 T0 ，

上单调递减，所以要使函数f(x)＝2cos 解析：选A

因为函数f(x)＝2cos ωx在22π2πT4π2π4π30 ，

上单调递减，则有≤，即T≥，所以T＝≥，解得ω≤.ωx(ω>0)在区间3323ω321所以ω的值可以是，故选A．

2[刷好题] x＋φ1．(2018·济宁检测)若函数f(x)＝sin(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝(

) 3πA．

23πC．

22πB．

35πD．

3x＋φφπ3π解析：选C

由f(x)＝sin是偶函数，可得＝kπ＋，k∈Z，即φ＝3kπ＋(k∈Z)，33223π又φ∈[0,2π]，所以φ＝. 2ππωx＋(ω∈N＋)图像的一个对称中心是，

0，则ω的最小值为2．若函数y＝cos66(

) A．1 C．4 B．2 D．8 πωππ解析：选B

由题可知，＋＝kπ＋(k∈Z)，所以ω＝6k＋2(k∈Z)．又ω∈N＋，则662ωmin＝2. ππωxωx－，

上3．(2018·东北四校联考)设ω＞0，m＞0，若函数f(x)＝msincos在区间3322单调递增，则ω的取值范围是(

) 20，



A．33C．2，＋∞

30，



B．2D．[1，＋∞)

ππωxωx1T－，

上单调递增，解析：选B

f(x)＝msincos＝msinωx，若函数在区间则＝3322223πππ2π0，

. ≥＋＝，即ω∈2ω333