2.3.1 变量之间的相关关系优质课教案内容

变量间的相关关系教学设计（第二课时）

【教学目标】

1、会判断两个变量之间是否具有相关关系; 2、会准确的利用相关数据求回归直线的回归方程. 【教学重点、难点】

1、回归直线方程的求解，

2、对样本数据组的线性相关性检验. 教学过程

复习回顾

1、下列各种关系中，不属于相关关系的是（ ）

A、名师出高徒 B、球的表面积与体积

C、人的身高与体重 D、上梁不正下梁歪

设计意图：进一步强化对相关关系与函数关系的理解。

2、设(x1,y1),(x2,y2)，…，(xn,yn)是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图)，以下结论中正确的是( ) A. x和y的相关系数为直线l的斜率

B. x和y的相关系数在0到1之间

C. 当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同

D. 直线l过点(x,y)

设计意图：加深对最小二乘法的有关概念：样本点的中心、相关系数、线性回归方程的意义的理解．

规律与方法：1、相关系数用来衡量两个变量之间的相关程度，直线的斜率表示直线的倾斜程度，它们的计算公式也不相同

2、相关系数的值有正有负，r1,1还可以是0；当相关系数在0到1之间时，两个变量为正相关，在-1到0之间时，两个变量负相关，

3、

l两侧的样本点的个数分布与n的奇偶性无关，也不一定是平均分布，

ˆ可知直线l必过点(x,y) 4、由回归直线方程的计算公式aˆybx

1

典例1、根据如下样本数据

x

3 4.0 4 2.5 5 0.5

6 0.5 7 8 y

得到的回归方程为2.0

3.0

ˆaˆbxˆ，则（ B ）

yA.a0 ,b0 B.a0 ,b0 C.a0 ,b0 D.a0 ,b0 【解析】：依题意画出图可知，两个变量线性相关，所以a0,b0.主要考察线性回归方程中a,b符号的判断。

延深探究：1、在例2中，在其他条件不变的情况下求出回归直线方程。

2、根据求得的回归直线

【规律与方法】

设计意图：1、回归系数是一个范围值时（选择题），从散点可以直接判断，

2、当是解答题就得求出回归系数的值。

3、利用回归直线必过样本点中心得到方程，再求估计值。

变式训练：

某化工厂为预测某产品的回收率y，需要研究它和原料有效成分含量x之间的相关关系，现取8对观测值，计算得．ˆaˆbxˆ，据此估计在x10处的估计值y

yxi18i24,yi40,xi122,xiyi150,则2i1i1i1888y与x之间的回归直线方程是________________．

ˆ【解析】:由回归系数的计算公式，得bxyii18i18i8xy2ˆ3.2,故ˆybx0.6,axi28xˆ0.6x3.2为所求. y注：求解线性回归直线方程的关键是正确地利用公式进行计算，由于数据较多、计算繁琐，在计算时要格外小心，同时注意不要混淆了回归系数和回归常数．

2

基础训练

1.已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数x3，y3.5，则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是( ) ˆ0.4x2.3 B.yˆ2x2.4 A.yˆ2x9.5 D.yˆ0.3x4.4 C.y解析：因为两个变量正相关，所以排除C选项，又因为线性回归方程必过样本中心点(3,3.5)，带入检验，只有A选项符合。

2.为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：

收入x（万元）

支出y（万元）

8.2 6.2 8.6 7.5 10.0 8.0 11.3 8.5 11.9 9.8 ˆaˆ0.76,aˆ

，据此估计，该社区一根据上表可得回归直线方程yˆbxˆ

，其中bˆybx户收入为15万元家庭年支出为( ) A．11.4万元 B．11.8万元 C．12.0万元 D．12.2万元

【答案】B 【解析】由已知得x8.28.610.011.311.910（万元），5y6.27.58.08.59.8ˆ80.76100.4，所以回归直线方程8（万元），故a5ˆ0.76x0.4，ˆ0.76150.411.8（万为y当社区一户收入为15万元家庭年支出为y元），故选B．

3.【2015高考新课标2，理3】根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。以下结论不正确的是( ) 2700 2600 2500 2400 2300 2200 2100 2000 1900

2004年

2005年

2006年

2007年

2008年

2009年

2010年

2011年

2012年

2013年

3

A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著

B．2007年我国治理二氧化硫排放显现

C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势

D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关

4.某商品销售量y (件)与销售价格x (元/件)呈负相关,其回归方程可能是

(

) A.y10x200

B. y10x200

C. y10x200

D.

y10x200

【解析】选A.由于y与x呈负相关,所以x的系数为负, 又y不能为负值,所以常数必须是正值. 4 高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如下图所示，甲、乙、丙为该班三位学生．

从这次考试成绩看，

①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是 ；

②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是 ．

变式训练2、

【2016高考新课标3理数】下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图

4

（I）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；

（II）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．

附注：参考数据：yi9.32，tiyi40.17，i1i1772(yy)0.55，ii177≈2.646. 参考公式：相关系数r(tt)(yy)iii1n(tt)(yy)2iii1i1nnˆa

中斜率和截距的，

回归方程yˆbx2最小二乘估计公式分别为：b(tt)(yy)tyntyiiiii12(tt)ii1nnn=22tntii1i1n aˆy$bt

【解析】：试题分析：根据相关系数r公式求出相关数据后，然后带入公式即可求得r的值，最后根据其值大小回答即可，利用最小二乘法的原理提供的回归方程，准确求得相关数据即可建立y关于t的回归方程。

试题解析：（1）由折线图这数据和附注中参考数据得

（1+7）71t=4y27,77yi17i779.3221.33(tt)287，i1,7(yy)i1720.55

(tt)(yy)tyty1ii1i1i1140.1749.322.89

5

r(tt)(yy)i17(tt)(yy)2i1i17722.890.99,因为y与t的线性相关相当高，从而可280.55以用线性回归模型拟合y与t的关系。

（Ⅱ）由y9.32ˆ1.331及（Ⅰ）得b7(ti17it)(yiy)i(ti17t)22.890.103，

28ˆt1.3310.10340.92. ˆybaˆ0.920.10t. 所以，y关于t的回归方程为：yˆ0.920.1091.82. 将2016年对应的t9代入回归方程得：y所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨. 【规律与方法】：线性相关与线性回归方程的求法与应用．

（1）判断两个变量是否线性相关及相关程度通常有两种方法：（1）利用散点图直观判断；（2）将相关数据代入相关系数r公式求出r，然后根据r的大小进行判断．求线性回归方程时在严格按照公式求解时，一定要注意计算的准确性．

总结提高：

(1)求回归直线方程的步骤：

①计算出x,y,ˆ； ③写出回归直线方程ˆ,bx,xy的值； ②计算回归系数a2iiii1i1nnˆaˆbxˆ

y（2）、正确理解计算b,a的公式和准确的计算是求线性回归方程的关键．回归直线方程ˆaˆbxˆ必过样本点中心(x,y)．在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散y点图或求出相关系数r来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程来估计和预测．

6