复习参考题第二课时教学实录

“正弦、余弦定理复习小结”教学设计

浦江县第三中学

张若谦

1 设计背景

在复习课中，大部分教师会采用先回顾知识点，然后配以一些习题进行巩固强化的模式。但是这种模式虽然教师使出了很大力气，总感觉学生参与度不高，懂的学生不愿意听，不懂的学生又一脸茫然听不懂。笔者认为数学复习课有两个任务：一是梳理知识，形成网络；二是提升能力，拓展思维。问题是思考的源泉，解决问题是思考的动力。第一个任务的达成不可采用简单的复述知识点的模式，而应该采用题组的模式。以问题为引导，不断引起学生的探索的欲望。理解教材是一堂好课的前提，因而题组的选取可依据教材。高考中有许多题目都可以在教材中找到影子。对于第二个任务的达成首先要还以学生自然的数学，自由的课堂，自主的思考。在练习中不断体会各个知识点之间的联系，一题多解，一解多题，都是不错的选择。第一和第二任务之间有着千丝万缕的联系，以思想方法为线连起“知识”和“例题”这一串美丽的珍珠。当然这一切的实行都离不开教师不断的理解数学、理解教学、理解学生，离不开精心的设计和安排。笔者就以“正弦、余弦定理复习小结”为例进行教学设计。

2 创意思路

教材分析：正弦定理、余弦定理是反映三角形边、角关系的重要定理。利用正弦定理、余弦定理，可以将三角形中的边的关系与角的关系进行相互转化，许多几何问题也可以转化为解三角形的问题来研究。在证明余弦定理时教材利用了向量这一工具，向量在数和形方面都有很好的融合性。在解决解三角形问题时适当引入向量既可以提高学生应用知识点的兴趣，也能提供一种新的思考角度从而简化问题。本节课是人教版数学必修五第一章解三角形的全章复习。

教学设想：本节课是对解三角形理论的复习和提升，学生已经较为熟悉正弦、余弦定理以及面积公式。本课将从两条线索展开教学，在课堂表现形式上，从代数和几何两方面展开。在代数上可以达到边角互换的效果，这也是高考中重要的考察内容。由易而难的安排几个例题进行体会和运用。在几何方面解三角形的知1

识突破了直角三角形的束缚，安排二边及一角的条件确定解三角形解的个数的题型定性运用。在学生已有解三角形的经验下，安排利用三边表示三角形中的高线、中线、角平分线颇具思考性的问题。既可以利用解三角形的知识解决，也可以用向量的知识解决。在课堂内在思想方法上，边角互换的例题中体会“边化角、角化边、切化弦等”的化归思想。解三角形个数中体验数形结合思想通过“以形助数，以数解形”。在表示高线、中线、角平分线中体会函数与方程的思想用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。从问题中的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型。在教学过程中，注重把知识问题化，在分析问题、解决问题的过程中，培养学生的思维能力，提升学生的素质。

教学目标：

知识与技能：掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形确定。熟悉利用边角互化方法解决问题。体验正弦、余弦定理及向量知识表示三角形中高线、中线、角平分线。

过程与方法:在代数式子中边角互换达到条件统一进而化归为一般性角或者边数值的问题。从形中归纳角形的两边及其中一边的对角解三角形个数的一般规律。利用余弦定理建立两条方程表示高线、中线及角平分线。

情感、态度与价值观:使学生对解三角形的知识体系有一个更加深入的认识，感受数学知识的连贯性和互通性。理解事物之间的内在联系。

教学重点：掌握正、余弦定理进行边角互换的转换思想。能够运用图形形象的解决解三角形个数问题。理解三角形中三线表示的推导方法。

教学难点：三角形三线表示推导方法的理解。

3 教学过程

3.1三角形中边角互换

题组1：（1）在ABC中，已知sinA2sinBcosC，试分别利用正、余弦定理和角公式两种方法证明ABC是等腰三角形。

分析：法一：sinAsin(BC)sinBcosCcosBsinC，

可得cosBsinCsinBcosC0，sin(CB)0得BC所以为等腰三角形。

2

法二：观察到等式两边都有角的正弦值，利用正弦定理可将角化为边。a2bcosC，式子中既有角又有边。自然想到利用余弦定理再把角化为边。a2b2c2a2b化简得，

bc证得结论。

2ab（2）在ABC中，如果有性质acosAbcosB，问这个三角形的形状有什么特点？

分析：可从正弦或者余弦定理的分析可到，三角形为直角三角形或者等腰三角形。

效果评析：本题组难度不大，学生对此有充分的思考兴趣，也有提笔动手的信心。题中体现了正弦、余弦定理在式子应用中能达到边角互化的效果。而且对于同

一题目而言不仅仅局限于单独一种方法。使学生思维发散，达到训练的目的。

3.2解三角形个数

题组2：（1）在ABC中，已知a2,b6,A450，则满足条件的三角形有

A.1

B.2

C.0

D.无法确定

（2）已知在ABC中，ax,b2,B450，若三角形有两解，则x的取值范围是

A.

x2

B.

x2

C.

2x22

D. 2x23

总结规律：在ABC中，已知a,b和A时，解的情况如下：

效果评析：学生对于本题组基本都能能得到正确答案。但学生疏于对一般情况的总结归纳。利用图形优化方法，利用表格总结规律使解题思路规范化、简洁化。

3

3.3三角形中高线，中线，角平分线的表示

题组3（1）ABC的三边分别为a,b,c，

BC边上的高线ha，请用a,b,c来表示ha. 分析：高线对于三角形来说最容易联想到构成直角三角形可用勾股定理，和面积。在解三角形中学习了一种用一角和两边求面积的公式，思路可得。11b2c2a222bcsinBCAhaa，其中sinBCA1cosBCA1()，代222bc1(b2c2a2)2入可得ha。书本例题中出现了海伦公式求面积的式子，(bc)a4其实也就是本式的变形。

（2）如图1，ABC的三边分别为a,b,c，边BC边上的中线记为ma，应用余弦定理证明：ma12(b2c2)a2. 2分析：要使用余弦定理必须把边放在三角形中看，与中线ma有关的三角形为ABD和ADC，余弦定理必须有角，由图可知ADBADC1800，由此可构造两条余弦定理方程。

aac2()2ma22macosADB①

22aab2()2ma22macosADC②

2222ABa212(b2c2)a2。

图1

①+②可得bc2ma2整理可得ma22DC这种方法在于利用余弦定理列出式子，并且发现有两角互补从而可以消去其中的角的未知量。并适时向学生提出对于中线还能联想到什么知识点，可提示书本中余弦定理的证明使用了向量这一工具。那么从向量的角度来看，222111AD(ABAC)，AD(ABAC)2，ma2(ABAC2ABAC)，其244a中对于ABACma2()2，代入化简可得。在解题过程中发现，对于ABAC的2求解可分为两种计算方法。

c2b2a2c2b2a2a2ABACma()和ABACcbcosBACcb，两22cb224

式相等整理得到所证式子。

（3）如图2，ABC的三边分别为a,b,c，

BAC的角平分线记为na，请用a,b,c来表示na.

BA图2 DC分析：由题目条件类比（1）的求解，发现在ABD和ADC除了原有的互补的BDc，sinBADsinADBDCbBDccaba，可得BD,DC可得.从而又化归为sinDACsinADCDCbbcbc求中线的方法。构造两条余弦定理方程。

角外还有两角相等。从而使用正弦定理，cosBADc2na2(ca2)bc①

2cnacosDACb2na2(ba2)bc②

2bna222a2bc(cb)因为等式左边相等，可得(bc)nacbbc，化简得

2(bc)a2a222.综上nabc(1)（bc）当bc时，nac24(bc)22AFEa2C

nabc(1).

B

D

2(bc)图3 那么向量的方法行吗？如图3，过D作边的两条平行线交于两边与E,F两点。ADEDFD|ED|ABACbABcAC两边平|FD|cbbc分可得。

（4）（2015，全国）如图4，在ABC中，

D是BC上的点，

AD平分BAC，ABD面积是ADC面积的2倍.（1）求AsinB2D

C（2）若AD1,DC，求BD,AC的长.

B

sinC2图4 分析：第一问利用正弦定理可得，第二问利用角平分线关系，及余弦定理构造两式可得。

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效果评析：学生对于利用在两个三角形中分别使用余弦定理，得到两条方程而互补的角使得方程的消参变的简单的方程的思想开始时有点茫然，经过引导却能自然的想到。而向量的引入感到了出乎意料，在得到解答的简化后，学生感到很欣喜。使学生融汇使用中得到体悟。

4 回顾反思

对于解三角形知识的复习着眼于掌握原理以及与其他知识的交汇，即知己知彼，从而构建知识体系。而教学的实施需要一个较低的起点。因而设计时题组难度由易而难，并且充分挖掘教材中的交汇点。在实施中需要留有让学生充分思考和提出问题的空间，由代数至几何，由具体而抽象，由一种而至全类在学生不断运用类比，归纳时自然而然的调动了思维，培养了能力。数学中知识虽然重要，但是最重要的是数学思想方法的领悟，知识网络和体系的建立。

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