小结第二课时教学实录

第二章

平面向量

（小结）

【活动设计】

能力发展目标：

1、通过自主梳理平面向量主干知识，能够构建主干知识体系。

2、通过回顾核心知识，能够解决有关平面向量的问题。

3、通过学习，培养分析问题和解决问题的能力。

知识与方法

向量知识，向量观点在数学.物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视. 数量积的主要应用：①求模长；②求夹角；③判垂直

学生活动预设：

一、

主干知识体系

【学生活动要求】抽学生回答，不完整的其余学生补充

二、重点知识：（速填）

1.五种常见的向量

(1)单位向量:模为__的向量. (2)零向量:模为__的向量. (3)平行(共线)向量:方向___________的向量. (4)相等向量:模相等、方向_____的向量

(5)相反向量:模相等、方向_____的向量

2.两个重要定理

(1)向量共线定理:向量________与b共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使______. (2)平面向量基本定理:如果e1,e2是同一平面内的两个___________,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使____________,其中e1,e2是一组基底. 3.两个非零向量平行、垂直的充要条件

若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则: (1)a∥b⇔a=λb(λ≠0)⇔__________. (2)a⊥b⇔a·b=0⇔__________. 4.平面向量的三个性质

(1)若a=(x,y),则|a|= = .

|=________________. (2)若A(x1,y1),B(x2,y2),则|

(3)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ为a与b的夹角,则cosθ=

5.向量的投影 (1)向量a在b方向的投影为__________. (2)向量b在a方向的投影为__________. 6.向量的运算律

(1)交换律:a+b=b+a,a·b=b·a.

(2)结合律:a+b+c=(a+b)+c,a-b-c=a-(b+c), (λa)·b=λ(a·b)=a·(λb). (3)分配律: (λ+μ)a=________,λ(a+b)=________, (a+b)·c=a·c+b·c.

(4)重要公式: (a+b)·(a-b)=_____,(a±b)2=____________.

标杆题展示

（一）平面

的线性运算及其运用

1、已知a=(5,-2),b=(-4,-3),c=(x,y),若a-2b+3c=0,则c= 2、如图,在平行四边形ABCD中,

=a,

=b,E,F分别是AB,BC的中点,G点使

= ,试以a,b为基底表示向量

与

.

【学生活动要求】

1、学生独立思考，寻找解题方法、思路；

2、小组交流讨论，并抽一个学生板演，其余做在草稿纸上，教师巡视讨论情况；

3、抽学生回答，做一个反思总结，其余学生补充，不断完善。

【方法技巧】向量线性运算的基本原则和求解策略

(1)向量是一个有“形”的几何量,因此在进行向量线性运算时,一定要结合图形,这是研究平面向量的重要方法与技巧. (2)字符表示下线性运算的常用技巧

首尾相接用加法的三角形法则,如

+

=

;共起点两个向量作差用减法的几何意义,如

-

=

. (3)平行向量(共线向量)、相等向量与相反向量、单位向量等,理解向量的有关概念并进行恰当地应用. (4)注意常见结论的应用.如△ABC中,点D是BC的中点,则

+

=2

. （二）平面向量数量积的运算

1、在平面直角坐标系xOy中,已知四边形ABCD是平行四边形, =(1,-2), =(2,1),则 · = (

) A.5

B.4

C.3

D.2 2、如图,在△ABC中,AD⊥AB,

=

,|

|=1,则

·

= (

)

A.2

B.

C.

D.

（三）平面向量的平行与垂直问题

若a=(1,2),b=(-3,0),（1）(2a+b)∥(a-mb), 求m的值；

（2）(2a+b)⊥(a-mb),求m的值.

【学生活动要求】

1、学生独立思考，寻找解题方法、思路；

2、小组交流讨论，并抽一个学生板演，其余做在草稿纸上，教师巡视讨论情况；

3、抽学生回答，做一个反思总结，其余学生补充，不断完善。

【方法技巧】1.证明共线问题常用的方法

(1)向量a,b(a≠0)共线⇔存在唯一实数λ,使b=λa. (2)向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)共线⇔x1y2-x2y1=0. (3)向量a与b共线⇔|a·b|=|a||b|. (4)向量a与b共线⇔存在不全为零的实数λ1,λ2,使λ1a+λ2b=0. 2.证明平面向量垂直问题的常用方法

a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0, 其中a=(x1,y1),b=(x2,y2). （四）平面向量的模、夹角

已知向量a,b满足:|a|=1,|b|=6,a·(b-a)=2,

(1)求向量a与b的夹角. (2)求|2a-b|. 【学生活动要求】

1、学生独立思考，寻找解题方法、思路；

2、小组交流讨论，并抽一个学生板演，其余做在草稿纸上，教师巡视讨论情况；

3、抽学生回答，做一个反思总结，其余学生补充，不断完善。

【方法技巧】1.解决向量模的问题常用的策略

(1)应用公式:|a|=

(其中a=(x,y)). (2)应用三角形或平行四边形法则. (3)应用向量不等式||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|. (4)研究模的平方|a±b|2=(a±b)2. 2.求向量的夹角

设非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),两向量夹角θ(0≤θ≤π)的余弦

cosab

a

bx1x2y1y2

x1y1x2y22222

三、

作业布置：

P119复习参考题A组： 7，8，9，10，12.

五、反思小结