探究与发现 利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质全国优秀课堂实录

课题

数学4第一章1．4．2正弦函数和余弦函数的性质（2）

（章节）

教学目标

1．知识与技能：

进一步理解正弦函数、余弦函数的性质；

能运用性质解决问题. 2．过程与方法：

通过观察图象回顾正弦函数、余弦函数的性质；

进一步体会数形结合思想在解题中的应用．

3．情感、态度与价值观：

进一步体会数形结合的思想，化归思想．

教学重点

正、余弦函数性质的应用．

教学难点

正、余弦函数最值求法及单调区间求法；

利用单位圆中的三角函数线研究正、余弦函数的性质．（选用）

课的类型

习题课

时间

教学时数

1 教具

多媒体、投影仪

板书设计

正弦函数和余弦函数的性质（表格形式复习）

（提纲）

例1．

结论：yAsin(x)B和yAcos(x)B求“取最值时相应x取值集合”时，通过整体代换，令zx，化归为yAsinzB的形式．

例2．利用三角函数单调性，比较下列各组数的大小：

方法：化到同一单调区间；化同名．

例3．求下列函数在指定范围内的单调区间：

例4．根据正弦函数图象，写出使不等式sinx32成立的x的取值集合．

利用单位圆中的三角函数线研究正、余弦函数的性质（选用）

教学过程

正弦函数和余弦函数的性质（2）

yy=sinx

1

-6-5-4-3-2-o-123456x

y

1y=cosx

-6-5-4-3-2--123456x

一．复习回顾：

根据正余弦函数的图象复习性质，学生填写下表，教师检查通过投影仪及时反馈．

函数

正弦函数

余弦函数

周期性

单调性

奇偶性

最大值与最小值

二．巩固深化，发展思维

例1．上节思考题：例2有其他变式吗?可自己改题,并尝试归纳函数

yAsin(x)B和yAcos(x)B的最值求法及取最值时相应x取值集合求法. 由学生给出一组变式进行探究，得出结论．

如：对（1）ycosx1进行变式：

①y3cosx1,xR；

②

y3cos(x3)1,xR；

③y3cos2x1,xR；

④y3cos(2x3)1,xR．

结论：在对函数yAsin(x)B和yAcos(x)B求“最值及取最值时相应x取值集合”时，通过整体代换，令zx，化归为yAsinzB的形式．

对于学生所给出的一组变式，可由学生用《几何画板》作图，来直观体会最值的取得．

引导：正、余弦函数单调性是非常重要的性质，下面看它解题中的应用。

例2．利用三角函数单调性，比较下列各组数的大小：

（1）sin(18)与sin(10)；

（2）cos(235)与cos(174)；

（3）sin(25)与cos(5)．

提问：我们应用哪一性质比大小？（单调性）

学生回答并解题．（1）利用三角函数单调性比较两个同名三角函数值的大小，学生容易解答．（2）教师可以作提示：先用诱导公式将已知角化为同一单调区间内的角，然后再比较大小．（3）教师可以作提示：比较两个不同名三角函数值的大小，可用诱导公式化为同名，再比大小．

总结方法：比较大小用单调性，化同名，再化到同一单调区间．

注意解题过程中注意培养学生数形结合思想方法的应用．

例3．例3．求下列函数在指定范围内的单调区间：

（1）ysin(1x23),x2,2；

（2）ysin(312x),x2,2．

（1）引导学生分析，得出解题思路：整体代换：令12x3，化归到ysinz，利用正弦函数的单调性，得出一个关于x的不等式，然后利用数轴求集合间交集得到所求单调区间。

（2）与（1）的求解思路一致，整体代换：令z312x，化归到ysinz，利用正弦函数的单调性，得出一个关于x的不等式，然后利用数轴求集合间交集得到所求单调区间。其间要特别注意的是：函数ysinz的减区间是原函数的增区间。函数ysinz的单调递减区间是22k,322k，(kZ)，将z312x带入之后求得的是ysin(132x)的单调递增区间。

思想方法：整体代换，化归思想。

例4．根据正弦函数图象，写出使不等式sinx32成立的x的取值集合．（习题1.4. B组1（1）.）

目的：由于B组题中出现此类题目，配以例题。

分析：本题考察学生读图能力，引导学生得出分析思路：观察正弦函数学图象，先找到等号成立的x值，再根据图象写出x的取值集合。

“探究与发现”：（选用）利用单位圆中的三角函数线研究正、余弦函数的性质．

v我们前边通过正余弦函数图像研究了性质，

P(u,v)xMuOA(1,0)还有没有其他办法来研究性质呢？

启发：前边学习中，我们提过有一个工具，

可以很好表现三角函数中自变量与函数值之间

的关系，说了后边有时间的话会研究。

学生思考后想到：单位圆三角函数线，教师说明：这是研究三角函数性质的好工具。

通过《几何画板》动态展示，学生观察并体会正、余弦线周而复始的变化规律：当角的终边绕原点从Ou轴的正半轴开始，按照逆时针方向旋转时，正弦线MP按照01010的规律周而复始的变化着；同时，余弦线OM按照10101的规律周而复始的变化着。

学生通过对正、余弦线变化规律的思考，把握正、余弦函数的性质：

（1）周期性：自变量每增加2（角x旋转一周），正弦函数值（MP）、余弦函数值（OM）重复出现；

（2）奇偶性：角x与角x对应的正弦线关于Ou轴对称，余弦线重合，因此正弦函数为奇函数，余弦函数为偶函数；

（3）单调性：

角x

22k2k22k

22k2k322k

正

弦

线

101

101

MP

sinx增函数

减函数

角x

2k22k22k

2k32k22k

2余

弦

线101

101

OM

cosx减函数

增函数

4．最大值、最小值：

角x

22k22k

角x

2k

2k

正弦线－1 最小值

1 最大值

余弦线OM

－1 最小值

1 最大值

MP

sinx

cosx

进一步探究：你能借助单位圆中的三角函数线，讨论一下诱导公式等三角函数的其他性质吗？

教师针对学生的回答给出评价。

三．课堂练习：课本40页练习3、4、5、6，教师及时检查反馈。

四．归纳整理，整体认识

教师逐个提出问题，学生总结：

1．本节课我们主要在做一件什么事？

2．本节课用到哪些思想方法？

五．承上启下，留下悬念 1．阅读作业：课本38－42页已学内容。

2．书面作业：习题1.4

A组2、3、4、5.

B组1.（2）

3．思考：前边的课中我们研究了正、余弦函数的图像、性质和简单应用，下节课我们该研究谁了呢？它的图像性质又怎样呢？

教学反思