2.1.2 向量的几何表示教学设计第一课时

平面向量

一．向量概念

1．向量定义：既有大小又有方向的量叫做向量。

2．向量的表示方法：（1）用有向线段表示；

（2）用字母表示：a

说明：（1）具有方向的线段叫有向线段。有向线段的三要素：起点、方向和长度；

（2）向量AB的长度（或称模）：线段AB的长度叫向量AB的长度，记作|AB|．

3．单位向量、零向量、平行向量、相等向量、共线向量的定义：

（1）单位向量：长度为1的向量叫单位向量，即|AB|1；

（2）零向量：长度为零的向量叫零向量，记作0；

（3）平行向量：方向相同或相反的非零向量叫平行向量，记作：a//b//c；

（4）相等向量：长度相等，方向相同的向量叫相等向量。即：ab；

（5）共线向量：平行向量都可移到同一直线上。平行向量也叫共线向量。

说明：（1）规定：零向量与任一向量平行，记作0//a；

（2）零向量与零向量相等，记作00；

（3）任意二个非零相等向量可用同一条有向线段表示，与有向线段的起点无关。

B

A

【典例分析】

O

C

F

例1 如图1，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别

（图1）

写出图中与向量OA，OB，OC相等的向量。

D

E

例2 如图2，梯形ABCD中，E，F分别是腰AB、DC

D

A

的三等分点，且|AD|2，|BC|5，求|EF|．

E

F

（图2）

B

C

例3 在直角坐标系xoy中，已知|OA|5，OA与x轴正方向所成的角为30，与y轴正方向所成的角为120，试作出OA．

例4．已知O点是正六边形ABCDEF的中心，则下列向量组中含有相等向量的是（

）

（A）OB、CD、FE、CB

（B）AB、CD、FA、DE

A

B

（C）FE、AB、CB、OF

（D）AF、AB、OC、OD

C

O

F

E

D

二．向量的加法

1．向量的加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法。表示：ABBCAC．

规定：零向量与任一向量a，都有a00aa．

说明：①共线向量的加法：

a

b

ab

A

B

C

②不共线向量的加法：如图（1），已知向量a，b，求作向量ab. 作法：在平面内任取一点O（如图（2）），作OAa，ABb，则OBab

.

b

A

O

a

（1）

（2）

B

2．向量加法的法则：

（1）三角形法则：根据向量加法定义得到的求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则。

表示：ABBCAC．

（2）平行四边形法则：以同一点A为起点的两个已知向量a，b为邻边作ABCD，则以A为起点的对角线AC就是a与b的和，这种求向量和的方法称为向量加法的平行四边形法则。

D

C

a

a

b

B

Ab

3．向量的运算律：

交换律：abba．

结合律：(ab)ca(bc)．

说明：多个向量的加法运算可按照任意的次序与任意的组合进行：

例如：(ab)(cd)(bd)(ac)；abcde[d(ac)](be)．

【典例分析】

例1 如图，一艘船从A点出发以23km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2km/h，求船实际航行速度的大小与方向（用与流速间的夹角表示）。

D

C

例2 已知矩形ABCD中，宽为2，长为23，ABa，BCb，ACc，

D

试作出向量abc，并求出其模的大小。

A

B

C

E

例3 一架飞机向北飞行200千米后，改变航向向东飞行200千米，

则飞行的路程为

；两次位移的和的方向为

，

大小为

千米．

三．向量的减法

1．相反向量：与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作a。

说明：（1）规定：零向量的相反向量是零向量。

（2）性质：(a)a；a(a)(a)a0．

2．向量的减法：求两个向量差的运算，叫做向量的减法。表示aba(b)．

3．向量减法的法则：

b

a

已知如图有a，b，求作ab．

（1）三角形法则：在平面内任取一点O，作OAa，OBb，则BAab．

ab

B

A

b

O

a

说明：ab可以表示为从b的终点指向a的终点的向量（a，b有共同起点）．

（2）平行四边形：在平面内任取一点O，作OAa

，BOb，

则BABOOAab．

C

B

b

O

A

a

思考：若a//b，怎样作出ab？

四.向量的数乘

1．实数与向量的积的定义：

一般地，实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度与方向规定如下：

（1）|a||||a|；

（2）当0时，a的方向与a的方向相同；

当0时，a的方向与a的方向相反；

当0

时，a0．

2．实数与向量的积的运算律：

（1）(a)()a（结合律）；

（2）()aaa（第一分配律）；

（a+b）=ab（第二分配律）（3）．

例1 计算：（1）(3)4a；

（2）3(ab)2(ab)a；

（3）(2a3bc)(3a2bc)．

3．向量共线的充要条件：

定理：（向量共线的充要条件）向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数，使得ba．

例2 如图，已知AD3AB，DE3BC．试判断AC与AE是否共线．

E

C

A

B

D

例3 判断下列各题中的向量是否共线：

21（1）a4e1e2，be1e2；

510（2）ae1e2，b2e12e2，且e1，e2共线．

例4 设e1,e2是两个不共线的向量，已知AB2e1ke2，CBe13e2，CD2e1e2，

若A，B，D三点共线，求k的值。

4．平面向量基本定理：

如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2．其中我们把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面所有向量的一组基底。

注：①e1，e2均非零向量；

②e1，e2不唯一（事先给定）；

③1，2唯一；

④20时，a与e1共线；10时，a与e2共线；120时，a0．

【典例分析】

2例5 已知向量e1，e2（如图），求作向量e13e2．

e

5e1

2

例6如图

的两条对角线相交于点M，且ABa，ADb，用a、b表示MA、MB、MCD

C

Mb

和MD．

A

a

B

例7 如图，OA、OB不共线，APtAB(tR)，用OA、OB表示OP．

P

B

O

A

例8已知在四边形ABCD中，ABa2b，BC4ab，CD5a3b，

求证：ABCD是梯形。

B

A

C

D

五．平面向量基本定理

1．向量的坐标表示的定义：

分别选取与x轴、y轴方向相同的单位向量i，j作为基底，对于任一向量a，axiyj，（x,yR），实数对(x,y)叫向量a的坐标，记作a(x,y)．

其中x叫向量a在x轴上的坐标，y叫向量a在y轴上的坐标。

a

说明：（1）对于a，有且仅有一对实数(x,y)与之对应；y

（2）相等的向量的坐标也相同；

A(x,y)

j

（3）i(1,0)，j(0,1)，0(0,0)；

x

O

i

（4）从原点引出的向量OA的坐标(x,y)就是点A的坐标。

例1 如图，用基底i，j分别表示向量a、b、c、d，

并求出它们的坐标。

y

A2

b

a

A

A1

x

O

d

c

2．平面向量的坐标运算：

问题：已知a(x1,y1)，b(x2,y2)，求ab，ab．

y

A(x1,y1)

解：ab(x1iy1j)(x2iy2j)(x1x2)i(y1y2)j

B(x2,y2)

即abx1x2,y1y2．

x

O

同理：ab(x1x2,y1y2)．

结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。

3．向量的坐标计算公式：

归纳：（1）一个向量的坐标等于表示它的有向线段的终点坐标减去始点坐标；

（2）两个向量相等的充要条件是这二个向量的坐标相等。

4．实数与向量的积的坐标：

已知a(x,y)和实数，求a(xiyj)xiyj(x,y)

结论：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。

归纳：（1）设点A(x1,y1)，B(x2,y2)，则AB(x2x1,y2y1)；

（2）a(x1,y1)，b(x2,y2)，则ab(x1x2,y1y2)，

ab(x1x2,y1y2)，a(x1,y1)；

(3)．向量a与非零向量b平行的充要条件是：ab(R,b0).例2 已知a(2,1)，b(3,4)，求ab，ab，3a4b的坐标．

解：ab=(2,1)(3,4)(1,5)；ab(2,1)(3,4)(5,3)；

3a4b3(2,1)4(3,4)(6,19)．

例2已知

ABCD的三个顶点A,B,C的坐标分别为(2,1)、(1,3)、(3,4)，求顶点D的坐标。

例3已知a(1,2)，b(3,1)，c(11,7)，且cxayb，求x，y．

六.平面向量的坐标运算

1．向量平行的坐标表示：

设a(x1,y1)，b(x2,y2)，（b0），且a//b，

则ab(R,b0)，∴(x1,y1)(x2,y2)(x2,y2). xx2∴1，∴x1y2x2y10. yy12归纳：向量平行（共线）的充要条件的两种表达形式：

①a//b(b0)ab(R,b0)；

②a//b(b0)且设a(x1,y1)，b(x2,y2)x1y2x2y10（x1,x2,y1,y2R）

【典例分析】

例1 已知a(4,2)，b(6,y)，且a//b，求y．

例2 已知A(1,1)，B(1,3)，C(2,5)，求证A、B、C三点共线．

例3 已知a(2,3)，b(1,2)，若kab与akb平行，求k．

例4已知点A(1,1)，B(1,3)，C(1,5)，D(2,7)，向量AB与CD平行吗？直线AB与直线CD平行吗？

七．向量的数量积

Bb



O

a

A

1．向量的夹角：

已知两个向量a和b（如图），作OAa，OBb，则

AOB（0180）叫做向量a与b的夹角。

当0时，a与b同向；

当180时，a与b反向；

当90时，a与b的夹角是90，我们说a与b垂直，记作ab．

2．向量数量积的定义：

已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，则数量|a||b|cos叫做a与b的数量积（或内积），记作ab，即ab|a||b|cos．

说明：①两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角

有关；

②实数与向量的积与向量数量积的本质区别：两个向量的数量积是一个数量；实

数与向量的积是一个向量；

③规定，零向量与任一向量的数量积是0．

3．数量积的几何意义：

（1）投影的概念：

如图，OAa，，过点B作BB1垂直于直线OA，垂足为B1，则OB1|b|cos．

O

Bb



a

Bb



a

Bb



B1

AB1

O

AO(

B1)

A|b|cos叫做向量b在a方向上的投影，当为锐角时，它是正值；当为钝角时，它

是一负值；当90时，它是0；当0时，它是|b|；当180时，它是|b|．

（2）ab的几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos的乘积。

【典例分析】

例1 ①已知|a|5，|b|4，a与b的夹角120，则ab ；

1

②已知|b|4，a在b上的投影是|b|，则ab ；

2

③已知|a|5，|b|4，ab32，则a与b的夹角

（3）数量积的性质：

设a、b都是非零向量，是a与b的夹角，则

①cosab；

|a||b|②当a与b同向时，ab|a||b|；当a与b反向时，ab|a||b|；

特别地：aa|a|2或|a|aa；

③|ab||a||b|；

④abab0；

若e是与b方向相同的单位向量，则

⑤eaae|a|cos．

【典例分析】

例2已知正ABC的边长为2，设BCa，CAb，ABc，求abbcca．

例3已知|a|3，|b|3，|c|23，且abc0，求abbcca．

4．向量数量积的坐标表示：设a(x1,y1),b(x2,y2)

，则ax1iy1j,bx2iy2j，

∴ab(x1iy1j)(x2iy2j)x1x2ix1y2ijy1x2jiy1y2jx1x2y1y2. 从而得向量数量积的坐标表示公式：abx1x2y1y2．

225．长度、夹角、垂直的坐标表示：

①长度：a(x,y) |a|2x2y2|a|x2y2；

②两点间的距离公式：若A(x1,y1),B(x2,y2)，则AB(x2x1)2(y2y1)2；

③夹角：cosab|a||b|x1x2y1y2xyxy21212222；

④垂直的充要条件：∵abab0，即x1x2y1y20

（注意与向量共线的坐标表示的区别）

【典例分析】

例4 设a(5,7),b(6,4)，求ab．

例5已知A(1,2),B(2,3),C(2,5)，求证ABC是直角三角形。

例6在RtABC中，AB(2,3)，AC(1,k)，求k值。

答案

一、1、OA=DO=CB=EF OB=EO=FA=DC2、EF=3 4、D 二、1、4km/h、方向与流速的夹角为60

2、8 3、400km、东偏北45、2002km 四、1、（1）-12a (2)5b (3)- a+5b-2c

2、共线

3、（1）共线 （2）共线

OC=FO=AB=ED

4、-8 6、MA=-（a+b）/2 MB=(a-b)/2 MC=（a+b）/2 MD=(b-a)/2 7、OP=t(OB-OA) 8、证明：AD=AB+BC+CD

=-8a-2b

=2(-4a-b) AD=2AB 即AD ABCD是梯形

五、1、a=2i+2j=（2,2） b=-2i+2j=(-2,2) c=-2i-2j=(-2,-2) d=2i-2j=(2,-2) 2、D（2,2）

3、x=2，y=-3 六、1、3 2、证明：AB=(2,4) BC=(1,2) AB3、k=35/5 4、平行、平行

七、1、○1-10 ○28 ○3arccos-32/20 2、-8 3、-3-93/2 4、-2 6、k=-2/3或11/3或313/2 AB

BC 即A、B、C三点共线