小结第二课时教案

第二章章末小结

(一)基本概念

1.向量及其表示方法

(1)向量:既有

大小

又有

方向

的量.向量不能比较大小,但向量的

模

可以比较大小.

,|a|=| |;③坐标表示:a= ,点A(2)向量的表示方法:①图形表示:

有向线段

;②字母表示:

a= = (x,y)

;a= ,点A的坐标是(x1,y1),点B的坐标是(x2,y2),则a= = 的坐标是(x,y),则a= (x2-x1,y2-y2)

.

2.两个特殊的向量

(1)零向量:长度为

0

的向量,记作

0

,其方向是任意的,0与任意向量

平行

.

(2)单位向量:模为

1

个单位长度的向量.与非零向量a共线的单位向量

±

.

3.三种特殊的关系

(1)平行向量(共线向量):方向

相同或相反

的非零向量.

(2)相等向量:长度

相等

且方向

相同

的向量.

(3)相反向量:长度

相等

且方向

相反

的向量.

(二)平面向量的线性运算

运算

图形语言

符号语言

坐标语言

+ =

=

-

+ =

实数与

向量

的乘积

=(x1,y1),

= + 记 =(x2,y2),则

=(x1+x2,y1+y2),

= =(x2-x1,y2-y1)

- 加法

与

减法

=λa

(λ∈R)

=(x1,y1), =(x2,y2),则 + =(x1+x2,y1+y2)

记 = 记a=(x,y),

则λa=(λx,λy)

(三)平面向量基本定理

如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于该平面内任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,满足a= λ1e1

+ λ2e2

.

(四)共线向量定理

如果有一个实数λ使b=λa(a≠0),那么b与a是

共线

向量;反之,如果b与a(a≠0)是共线向量,那么

有且只有

一个实数λ,使

b=λa .

设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b⇔b=λa⇔

x2y2-x2y1=0

.

(五)平面向量的数量积

(1)数量积的定义

已知两个非零向量a与b,我们把数量

cos θ

叫作a与b的

数量积

(或内积),记作a·b,即a·b=

cos θ

,其中θ是a与b的夹角,其范围是

[0,π]

.

(2)数量积的几何意义

数量积a·b等于

a的长度

与b在a方向上的投影

cos θ

的乘积,或等于

b的长度

与a在b方向上的投影

cos θ

的乘积.

(3)数量积的性质

①a⊥b⇔a·b=0.

②当a与b同向时,a·b=

;当a与b反向时,

a·b=-

;特别地,a·a=

,或

=

=

.

③

≤

.

(4)数量积的运算律

已知向量a、b、c和实数λ,则: ①a·b=b·a; ②(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb); ③(a+b)·c= a·c+b·c .

(5)数量积的坐标表示

已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2.

由此可得:

①

=

+

或

=

; ②a⊥b⇔

x1x2+y1y2=0

; ③设θ为a,b的夹角,则cos θ=

=(六)平面几何中的向量方法

用向量法解决平面几何问题的“三步曲”: (1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题; (2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题; (3)把运算结果“翻译”成几何关系.

在上述步骤中,把平面几何问题转化为向量问题是解决问题的关键一步,转化方法大致有两种思路:第一,选取恰当的基向量;第二,建立坐标系.

(七)向量法在物理中的应用

向量有丰富的物理背景,向量的物理背景是位移、力、速度等,向量的数量积的物理背景是

力所做的功

.因此,用向量可以解决一些物理问题.向量在物理中的应用,实际上是把物理问题转化为向量问题,然后通过向量运算解决向量问题,最后再用所得的结果解释物理现象.用向量法解决物理问题时,应作出相应的图形,以帮助我们建立数学模型.

题型一:向量的概念

下列命题中正确的个数是

.

.

①向量就是有向线段;②零向量没有方向;③若向量a与b同向,且|a|>|b|,则a>b;④所有的单位向量都相 与 是共线向量,则A,B,C,D必在同一条直线上;⑥若a∥b,c∥b,则a∥c;⑦若λa=0,则λ=0.

等;⑤ 【方法指导】准确把握向量的有关概念,判断命题是否正确.

【解析】①有向线段是向量的一种表示方法,所以向量不是有向线段;②零向量的方向是任意的;③向量的模可以比较大小,但是向量不可以比较大小;④相等向量既要大小相等又要方向相同,而单位向量仅大小相等;⑤表示共线向量的有向线段所在直线可能重合也可能平行;⑥零向量与任意向量平行并且方向任意,所以a,c不一定平行;⑦根据实数与向量的乘积的定义,若λa=0,则λ=0或a=0.因此,正确命题的个数是0.

【答案】0 【小结】平面向量中的概念比较多,正确理解这些概念是解决平面向量问题的基础,对于这些概念都应该从“数”和“形”两个方面理解.

题型二:向量的线性运算

(1)已知平行四边形ABCD,则 - =

, + =

.

+

+ - =

.

(2)

(3)已知 =( + ),则点M是AB的

;若点A(2,-5),B(1,-7),则M的坐标为

.

(4)已知 =(1-) + ,则 =

.

=

,则点M的坐标为

.

(5)已知点A(2,1),B(-3,-2),

【方法指导】结合向量加减法的平行四边形法则和三角形法则作图解决(1)(2)题,并得出(3)(4)题中条件的几何意义.(5)中可以用待定系数法设出点的坐标,也可以用向量坐标的意义表示结果.

【解析】(1)在平行四边形ABCD中,由向量加法的平行四边形法则和减法的三角形法则,得 .

, - =

+ =

+

+ - = +(

+ )- = + + =3 .

(2)由向量加法的三角形法则,得

(3)由向量加法的平行四边形法则和 =( + )知,在平行四边形OACB中,M是对角线OC的中点,

所以M是对角线AB的中点.由中点坐标公式,得点M的坐标为(,-6).

=(1-

) +

,得 - =-

( - ).由向量减法的三角形法则,可得 =-

,即 =

.

(4)由

=(x-2,y-1), =(-5,-3).

(5)设点M的坐标是(x,y),因为A(2,1),B(-3,-2),所以

又因为 = ,所以(x-2,y-1)=(-5,-3),

即

-

-

-

-

解得

-

故点M的坐标是(-

,-1).

-

(2)3

(3)中点

(

,-6)

(4)

(5)(-

,-1)

【答案】(1)

【小结】在复习向量的线性运算时,巩固坐标运算和其相关的几何表示,并且要会结合在一起使用.

题型三:向量的模及夹角问题

已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61.

(1)求a与b的夹角θ; (2)求|a+b|的值; (3)若 =a, =b,求△ABC的面积.

【方法指导】解答此类问题,要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式,向量模、夹角的坐标运算公式.

【解析】(1)因为(2a-3b)·(2a+b)=61,所以4|a|2-4a·b-3|b|2=61.又|a|=4,|b|=3, 所以64-4a·b-27=61,所以a·b=-6.

所以cos θ=

-

==-.又

0≤θ≤π,所以θ=.

(2)|a+b|=

=

=

-

=

.

(3)因为 与 的夹角θ=,所以∠ABC=π-=.

|=|a|=4,| |=|b|=3, 又| || |sin∠ABC=×4×3×=3

.

所以S△ABC=|

【小结】要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式,向量模、夹角的坐标运算公式.

题型四:平面向量的坐标运算的应用

平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1),完成下列问题: (1)求3a+b-2c的坐标; (2)求满足a=mb+nc的实数m,n; (3)若(a+kc)∥(2b-a),求实数k.

【方法指导】(1)直接将坐标代入,利用坐标运算的法则进行运算即可;(2)可由给定的向量相等的条件得到关于m,n的方程组;(3)根据向量共线的条件得到关于k的方程即可.

【解析】(1)3a+b-2c=3(3,2)+(-1,2)-2(4,1) =(9,6)+(-1,2)-(8,2) =(0,6).

(2)由题意,得(3,2)=m(-1,2)+n(4,1)=(-m+4n,2m+n), 即

-

解得

(3)因为a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),且(a+kc)∥(2b-a),所以2×(3+4k)-(-5)(2+k)=0,即13k+16=0,解得k=- .

【小结】向量的坐标表示实际上就是向量的代数表示,在引入向量的坐标表示后,可以使向量的运算完全化为代数运算.这样就可以将“形”和“数”紧密结合在一起.因此,很多几何问题,特别是共线、共点等较难问题的证明,通过建立坐标系,设出点的坐标就可转化为坐标运算来解决.如:要证明两直线平行,只需要证相关向量共线;要证明两直线垂直,只需要证相关向量的数量积等于0.

题型五:向量的共线问题

设平面直角坐标系上有A,B,C三点,i,j分别是直角坐标系上x轴,y轴正方向的单位向量,若向量 =i-2j, =i+mj,则是否存在实数m,使A,B,C三点共线? 【方法指导】可以假设满足条件的m存在,由A,B,C三点共线可以得到 ∥ ,即存在实数λ,使 =λ ,从而建立方程来求解.又由于给出了i,j分别是坐标平面上x轴,y轴正方向的单位向量,也可以用坐标法表示.

【解析】(法一)设满足条件的m存在,由A,B,C三点共线,得 ∥ , =λ , 所以存在实数λ,使 即i-2j=λ(i+mj),

所以

所以m=-2.故当m=-2时,A,B,C三点共线.

- (法二)设满足条件的m存在,根据题意,可知i=(1,0),j=(0,1), 所以 =i-2j=(1,0)-2(0,1)=(1,-2), =i+mj=(1,0)+m(0,1)=(1,m), ∥ ,得

由A,B,C三点共线,即 1×m-1×(-2)=0,解得m=-2.

故当m=-2时,A,B,C三点共线.

【小结】向量共线定理给出的是个等价条件,一般利用向量解决三点共线问题的理论依据是共线定理.本题给出了i,j分别是坐标平面上x轴,y轴正方向的单位向量,可以用坐标形式表示向量共线定理.

题型六:对平面向量的综合考查

已知向量a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),且a,b满足关系式|ka+b|=

|a-kb|(k>0).

(1)求a与b的数量积(用k表示).

(2)a能否和b垂直?a能否和b平行?若不能,请说明理由;若能,请求出k相应的值.

(3)求a与b夹角的最大值.

【方法指导】本题主要考查平面向量的平行、垂直及数量积的运算,注意到|a|=|b|=1,(1)由|ka+b|=

|a-kb|平方可得;(2)由a与b平行或垂直的充要条件可判断;(3)由cos θ= ,表示出cos θ,再转化为函数最值问题求出cos θ的范围,并结合两个向量夹角的范围求解.

【解析】(1)由已知,可得|a|=|b|=1.

因为|ka+b|=

|a-kb|,所以(ka+b)2=3(a-kb)2, 所以k2|a|2+2ka·b+|b|2=3(|a|2-2ka·b+k2|b|2).

所以8ka·b=2k2+2.所以a·b=(2)因为

a·b= >0,所以

(k>0).

a与b不可能垂直.

若a∥b,由a·b>0知a,b同向,

所以a·b=|a||b|cos 0°=|a||b|=1,

即=1,解得

k=2±

.

故当k=2±

时,a∥b.

(3)设a与b的夹角为θ, 则cos θ=

=a·b=(k>0),

所以cos θ=(k+)=[(

)2+()2]

=

[(

-

)2+2], 所以当

=,即k=1时,cos θ取得最小值为.

又0°≤θ≤180°,所以a与b夹角的最大值为60°.

【小结】(1)在向量的模的运算中,经常使用a·a=a2=|a|2.

(2)在平面几何,解析几何及向量中证明两直线AC与BC垂直常用的方法有①勾股定理的逆定 · 理:AC2+BC2=AB2⇒AC⊥BC;②斜率公式:kAC·kBC=-1⇒AC⊥BC;③数量积:

=0⇒x1x2+y1y2=0⇒AC⊥BC(其

=(x1,y1), =(x2,y2)).

中 (3)平面向量中的最值问题一般转化为三角函数,二次函数的最值问题.

题型七:平面向量基本定理的应用

=b,试用a,b表示 在△ABC中,点M在BC边上,且满足CM=3MB,设 =a,

.

【方法指导】作图分析,将所要求的向量用向量加减法的三角形法则和平行四边形法则表示.

- 【解析】因为 =

=b-a,又CM=3MB,所以 = =(b-a),

所以 = + =a+(b-a)=b+a.

【小结】由平面向量的基本定理知:同一平面内的任一向量都可以表示为其他两个不共线向量的线性组合,利用向量加减法法则求解即可.

1.(2014年·陕西卷文T18第(1)问)在直角坐标系xOy中,已知点A(1,1),B(2,3),C(3,2),点P(x,y)在△ABC三边 (m,n∈R).若m=n=

,求| 围成的区域(含边界)上,且 =m +n

|.

=(2,1), 【解析】因为m=n=, =(1,2),

=(1,2)+(2,1)=(2,2), 所以 所以| |=

=2

.

2.(2014年·天津卷)已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=120°,点E,F分别在边BC,DC上,BE=λBC,DF=μDC.若 · =1,

·

=-

,则λ+μ=(

).

A.

B.

C.

D.

【解析】因为 = +λ , = +μ , 所以 · =( +λ )·( +μ ) = · +μ · +λ · +λμ ·

=2×2×(-

)+4μ+4λ+2×2×(-

)λμ

=-2+4(λ+μ)-2λμ=1.

所以2(λ+μ)-λμ=

. ①

因为

·

=(1-λ) ·(1-μ)

=(λμ-λ-μ+1) ·

=2×2×(-

)(λμ-λ-μ+1) =-2[λμ-(λ+μ)+1]=-

, 所以λμ-(λ+μ)+1=

,即λμ-(λ+μ)=-

. ②

由①②解得λ+μ=

.

【答案】C 3.(2014年·新课标全国Ⅱ卷)设向量a,b满足|a+b|=

,|a-b|=

,则a·b=(A.1 B.2 C.3 D.5 【解析】因为|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=10, |a-b|2=(a-b)2=a2-2a·b+b2=6, 将上面两式左右两边分别相减,得4a·b=4,所以a·b=1.

【答案】A

).