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三角学和天文学

三角学诞生于古希腊。印度，阿拉伯，欧洲对于三角学都作出不少贡献。

在公元11世纪以前只是利用正多边形边长与外接圆半径的关系计算弧的长度等，并没有三角函数概念。

伊巴谷（Hipparcus，约180—125.BC）是三角学的开山鼻祖。他研究天文学时，坐了一个类似于三角函数表一样的“弦表”。据说，伊巴谷计算弦长的著作有12部，而且他知道sin和cos公（）（）式，三角形外接圆半径公式R=sin2+cos2=1。

abc（为三角形面积）和恒等式4

托勒密定理（后人命名的）：圆内接四边形对角线的积等于两组对边乘积的和。

如左图，ABCD为内接四边形，在AC上取一点F，使得ABFDBC则ABF∽DBC，CBF∽DBA

BD:DCBA:AF或BACDAFBD

BC:CFBD:DA或DABCCFBD

A B E O 两式相加即得ADBCABCDACBD

当AC,BD过圆心的时候托勒密定理可以得到正弦的两角和差公C D 图1

式

如图1AC,BD都是直径，ACB，ACE

由托勒密定理：

ACBEABCEBCAE就可以得到

ACDEADCEAECDsin()sincoscossin和cos()coscossinsin

公元50年左右，希腊数学家海伦在三角学方面有很多工作。他得到圆内接多边形面积Sn与边长an的关系：

S3=S6=13252122a3，S5=a5或a5，

303713243229281238a6，

S7=a7，S8=a8，

S9=a9或a2。

9612656三角学最早的系统性论著是希腊著名天文学家托勒密（C.Prolemy，100—178）的《数学汇编》（Almagest，又称《至大论》《大汇编》）

现在的三角函数的比值希腊数学家是没有用过的。他们只讲一个角的弦（chord of an angle），他们的弦是圆弧上对圆心角所张弧的长度。图2中弦2（弧上对着角2所张的长度）和我们现在讲的sin存在等价性；

chord2和sin是等价的。所以11托勒密着手建立以为间隔的从到2218012



图2 1之间所有角度的弦数表其实是以为4间隔的0到90的正弦表。值得注意的是这样把圆周分成360，半径分为60等份，每一份再60等分，以此类推。得到了现在的度、分、秒。

例如，若一个圆的内接正六边形，它的边就是60角的弦。这显然

等于半径。这个结果与sin30等价。

他还得出了正余弦两角和差公式，和A (1802)

2

图3 12一些恒等式。

例如,如图3可得：

C (chord2)2(chord(1802))2AC2AB21BC2而chord2等于sin，21chord(1802)等于sin(90)或2cos

B C B 

就可以得到sin2cos21

例如,如图4可得：A 

O D 图4 ACchordABchordBCchord()BDchord(180)CDchord(180)

由ACBDBCADABCD（托勒密定理）可知{chord()}{chord180}(chord){chord(180)}(chord){chord(180)}当然这无非就是sin(AB)的公式。

海伦（Heron，约公元一世纪）得到海伦公式：SABCs(sa)(sb)(sc)其中sabc2

如上图ABC其中OA、OB、OC为ABC的三条角平分线，O为内切圆的圆心，OD、OE、OF分别垂直于BC、AC、AB，作OL垂直BL垂直于BC垂足是B，于OC交BC于K，反向延长BC于H使AFBH。

AOF∽CLB

AF:FOCB:BL

BHAF

BH:FOCB:BLFODO

ODK∽LBK

BH:CBFO:BLDO:BLKD:BKBHCHKDDCBKCBKDBH11

则 2KDBHBDCHCHBDDCODKCDOOD2

则BDDC得到：CH2OD2CHBHBDCD

CHSABCabc

所以得到2s(sa)(sb)(sc)

其中sabc

2公元6世纪，印度的阿耶波对三角学的贡献巨大。他计算出第一象限内每隔345'的正弦长。同时，阿耶波把圆弧与弦长用同一单位来度量。他认为整个圆周21600个单位，半径就是3438个单位，这是弧度制的精髓。

7世纪到15世纪阿拉伯人创造出一系列三角函数，得到了一系列三角性质，给出了平面三角与球面三角的若干公式，三角学脱离天文学。8世纪土库曼学者阿尔·哈巴士（Al-Xaballi）提出正、余切，并给出了正、余切表。

10世纪天文学家阿尔·巴塔尼（Al-Battani，850~929）利用半弦代替全弦，运算采用代数法，得到弦与切的关系，而且给出了余弦定理的结果，还给出了球面三角形ABC的公式：cosAcosBcosCsinBsinCcosA。10世纪阿布·瓦发（Abu’lWefa,940~998）首次把正切作为独立的函数，造出每隔15'的正弦和正切表。他还知道以下关系：tan:1sin:cos，cot:1cos:sin，sec1tan2，

csc1cot2。并没有给出正、余割的名称。

1250年左右，塔吉克著名天文学家阿尔·徒思发表三角学著论《论四边形》。书中区别了平面三角形和球面三角形，建立完整三角学体系，从基本概念和比例开始，并首次给出了解斜三角形的方法。

1533年，德国数学家雷格蒙塔努斯（Regiomontanus，1436~1476）出版了《论各种三角形》（De triangulis omnimodis）这是第一部欧洲独立的三角学著作，全书5卷。它有效的把平面三角形，球面几何，球面三角性结合起来；形成现代三角学的雏形。

德国数理天文学家雷提库斯（G.L.Rhaeticus，1514~1576）出版了《三角学理论》（Canon doctrinae triangulorum）六个三角函数以角作为定义而不是弧长。提出过cosncos(n2)2sinsin(n1)

他开始编写10'的三角函数表。他的学生鄂图（V.Otho，1550？~1605）

才完成。1613年德国的比蒂克斯（PIticscus，1561~1613）修订了雷梯库斯的三角函数表，至此精密三角函数表完成。

法国数学家弗朗索瓦·韦达（Francois Viete）在1579年《数学原理》（Canon Mathematics）中提出三角函数的六个关系1:seccos:1sin:cos，csc:seccot:11:tan，1:csccos:cotsin:1

他首次研究了n倍角正、余弦公式，给出了积化和差的证明，提出一些三角恒等式。sinsin(60)sin(60)，csccotcot，

21ABab2csccottan，

12abtanAB2tan以下公式均是韦达所得到的：

sin33cos2sinsin3，cos33sin2coscos3

2cos2(2cos)22

2cos3(2cos)33(2cos)

2cos4(2cos)44(2cos)22

2cos5(2cos)55(2cos)35(2cos)2cos6(2cos)66(2cos)49(2cos)222cos7(2cos)77(2cos)514(2cos)37(2cos)2cos8(2cos)88(2cos)620(2cos)416(2cos)222cos9(2cos)99(2cos)727(2cos)530(2cos)39(2cos)2cos10(2cos)1010(2cos)835(2cos)650(2cos)425(2cos)22

韦达还得到

2nsinn2sinnn(2sin2)n1n(n1)(n2)(2sin)4(2sin2)n33!n(n1)(n2)(n3)(n4)

·····(2sin)8(2sin2)n5·5!韦达的和差化积几何证明：

A 设两个单位圆的圆心角AOC，BOC其中都是锐角，A、E、G三点共线AEO E F C 和BF都与OC垂直，BD与EG垂直。

D B 图5 G 2于是sinsinAEBFABcosDAB

而DAB，2AB2sin

2因此sinsin2sincos2

1702年瑞士数学家雅各·伯努利研究cosn和sinn的一般公式

135sinnCncosn1sinCncosn3sin3Cncosn5sin5...

024cosnCncosnCncosn2sin2Cncosn4sin4...

1707年法国数学家棣莫弗将1引入三角学，棣莫弗公式(cosAisinA)cos

1n2kA2kAisin(k0,1...n1)

nn

还得到

英国物理学家、数学家牛顿得到arcsinx和sinx的幂级数展开

arcsinxx133511xx... sinxxx3x5...

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得到n倍角正、余弦公式。

18世纪，法国数学家德拉尼（T.-F.de Lagny，1660~1734）第一个推导n倍角正切和正割公式，并提出三角函数周期性。

1748年，瑞士数学家莱恩哈特·欧拉（1707~1783）发表著作《无穷分析引论》（Introdnctio in Analysin Infinitorum）使三角学从静态研究三角形解法中解放出来，去反映现实世界一切可用三角函数来反映的运动和变化过程。

首先欧拉提出三角函数是对应的函数线与圆半径的比值。其次，欧拉引入弧度制：如果圆的半径是一个单位，那么半圆的周长就是。把度量直线段和圆弧的单位统一起来，大大简化三角公式计算量。其次，欧拉彻底解决三角函数在四个象限的符号问题，把三角函数一般化。最后，欧拉发明了著名公式eicosisin，把三角函数同指数函数联系起来，使三角学成为分析学的一支。

鉴于欧拉提出的三角公式之多，就不列举了。