探究与发现 利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质优秀教学实录

探究与发现

利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质

武威第十五中学数学教研组 尹尚智

一、

教材分析

（一）

教材地位、作用

《探究与发现; 利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质》是高中数学人教A版必修4第一章三角函数1.4三角函数的图像与性质之后的选学探究内容，教学安排是1课时。本节内容是在学习完第一章三角函数的情况下进行教学的。在此之前已经掌握了任意角的三角函数的概念和诱导公式，了解了三角函数线的几何意义及其作法并且利用三角函数线做出了正弦函数、余弦函数的图像，并借助图像研究了正弦函数和余弦函数的周期、奇偶性，单调性等的性质。

在三角函数的教学中，三角函数线（正弦线、余弦线、正切线）一直是与三角函数图像并驾齐驱的两大解题法宝，是数形结合思想的完美体现。但学生往往重后者而疏前者，因此老师们在“三角函数线的解题功能”方面有较多的探讨。如今，随着新课程改革三角函数定义的单位圆化，给了三角函数线更宽的舞台，在三角函数这一章节知识的展开中，三角函数线起到了前所未有的作用。最主要的是使学生学会用联系的观点看三角函数，数形结合地研究三角函数的定义、公式、图象与性质，明白单位圆与三角函数线可以研究什么问题、怎样研究这些问题，动态地分析问题。

（二）教材处理：

一、学情分析：

认知分析：学生已经掌握了正、余弦函数的相关性质和概念，通过对任意角的三角函数内容的学习，对三角函数线有一定的了解，有了知识方面的准备。

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能力分析：学生基础相对比较薄弱，知识迁移能力、知识运用实践能力、独立思考的意识与能力、分析运算、解决问题能力欠缺；

情感分析：学生基础一般，部分学生依赖性较强，积极参与研究、合作交流意识方面有待加强。但师生之间，学生之间情感融洽，学习氛围良好。

二、三维目标

1、知识与能力目标：

（1）加深对三角函数线的认识，学会利用三角函数线解决问题；增强分析问题，解决问题的能力。

（2）培养自主学习的能力和数形结合探求新知识的能力；

（3）进一步明确

单位圆与三角函数线可以研究什么问题、怎样研究这些问题，动态地分析问题，为学生自己探索研究三角函数的性质提供有效的工具和方法。

2、过程与方法目标：

通过自主学习和协作学习培养主动学习与思考能力，以及对图形反馈的信息进行整理和加工的能力，培养归纳总结和实验探究的能力。

3、情感态度与价值观目标：

通过图形抽象的函数结论的统一，一维函数线与二维函数图像的对比，培养了对立统一的辨证唯物主义思想观；在研究的过程中，通过同学之间的讨论与协作，培养的合作精神和协作精神。

三、

教学重点与难点

重点：探究角大小的变化与三角函数线（即相关的三角函数值）变化之间的变化规律。

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难点：分析出三角函数性质变化之后，进一步探究三角函数在某范围上的图像。

四、教法与学法分析

教法分析：根据内容特点，本堂课的教学策略是引导学生自主学习的探索研究式。对于教材提出的几个问题，在课前进行思考的基础之上，利用多媒体课件演示，观察并解决问题。以此发展学生思维能力的独立性与创造性，使学生真正成为学习的主体，从“被动学会”变成“主动会学”。

学法分析：每个学生都有自己的感官，自己的头脑，自己的性格，自己的知识和思想基础，自己的行动规律。教师不能代替学生感知、观察、分析、思考，只能让学生自己感受事物，明白事理，掌握事物发展变化的规律，教师要尊重其个性发展，引导其自主探究学习。学生在教师创设的问题情景中，通过观察、思考、探究、概括、归纳和动手尝试相结合，体现了学生的主体地位，形成了实事求是的科学态度，增强了锲而不舍的求学精神。

教学过程：

问题探究

复习回顾：

1、三角函数的定义；

2、三角函数线;

师生活动

老师提问，学生回答。

设计意图

通过复老师：三角函数值的大小和点P的位置有没习回顾唤醒有关系？

学生记忆，学生：没有关系，三角函数值的大小只与角对本节课的学习做出有3、三角函数线的作的终边所在的位置。

法

老师：三角函数线是表示三角函数值的有向效的铺垫。

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线段，线段的方向表示了三角函数值的正负，线段的长度表示了三角函数值的绝对值。

老师：如何做三角函数线：

学生：（1）让角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的始边与单位圆相交于点A,角的终边与单位圆相交于点P。

（2）过点P作轴的垂线，垂足为M。

（3）过点A作单位圆的切线，与角的终边或终边的延长线交于点T。

探究：正、余弦函数的老师：正弦函数和余弦函数的周期分别是多

启发学周期性

少? 学生:都是2

生由图像获取正余弦函老师：如何利用三角函数线来理解正、余弦数周期性的函数的周期性。

学生:观察图像--讨论--发言--归纳--总结

本质。利用三角函数线结论：自变量x每增加2

（角的终边旋转解释正余弦一周,回到原来的位置），正弦函数值（MP），函数的周期余弦函数值（OM）重复出现一次。

正弦曲线和余弦曲线图像以2为单位重复出现。

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性，加深学生理解。

探究：正弦函数和余弦老师：函数的奇偶性是如何定义的？

函数的奇偶性

学生：简单思考后回到。

老师：正余弦函数的奇偶性如何？

学生：正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数。

利用三角函数线解释正余弦函数的奇偶性。让学生从直观上认如何利用三角函数线判断正余弦函数识正余弦函的奇偶性？

老师引导学生观察—分析—思考—归纳—得出结论。

结论：角x与角-x的终边关于y轴对称，对应的正弦线关于x轴对称，余弦线重合，因此正弦函数为奇函数，余弦函数为偶函数。

探究：正弦函数和余弦

函数的单调性。

正弦函数：

老师：正余弦函数的单调性如何？

学生：简单思考后回答

启发学生由图像获取正余弦函数奇偶性的本质。

老师：如何利用三角函数线求正余弦函数的数周期性的单调性？

本质。利用老师引导学生观察—分析—思考—归三角函数线纳—得出结论。

余弦函数：

解释正余弦函数的单调结论：

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性，加深学生理解。

探究：正弦函数和余弦老师：正余弦函数的最值如何？

函数的最值。

利用三角函数线学生：最大值为1，最小值为-1

最值？

老师：如何用三角函数线求正、余弦函数的解释正余弦函数的最老师引导学生观察—分析—思考—归值。让学生纳—得出结论。

结论：

正弦函数当且仅当

x-2k,(kZ)2从直观上认识正余弦函数的最值。

时取得最小值-1,当且仅当

x2k,(kZ) 时取得最大值1; 余弦函数当且仅当

x2k,(kZ) 时取得最小值-1,当且仅当x2k,(kZ) 时取得最大值1。

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探究：三角函数线的简单应用

师生共同讨论，学生思考后得出结论。

通过练证明：在△OMP中，OP=1，OM=|cosα|, 习让学生进一步巩固本练习：

利用三角函数线MP=ON=|sinα|，

证明|sinα|+|cosα|≥1. 因为三角形两边之和大于第三边，所以

节所学内|sinα|+|cosα|≥1。

容，培养学生自主探究的习惯。

探究：你能借助单位圆老师：你能借助单位圆中的三角函数线，讨使学生中的三角函数线，讨论论一下诱导公式等三角函数的其他性质加深对三角一下诱导公式等三角函吗？

数的其他性质吗？

学生：思考--回答

老师：总结并和学生一起表述结论。

函数线解题的理解，并培养学生的自学能力。

课时小结：

在三角函数的学习中，一直是与三角函从整体数图像并驾齐驱的两大解题法宝，是数形结上评价三角合思想的完美体现。一旦掌握了三角函数线函数线的功7

的性质，就可以利用它来解决三角函数的有能，启发学关问题，可以把三角函数线看成敲门砖。

生扩大思维视野，培养学生主动思考的能力。

课后作业：

学生通过作业，及时反馈，巩

固所学知识

教学反思：

三角函数线在三角函数教学中具有非常重要的作用，但在平日的教学中由于学生的认知情况、教师对多媒体技术的掌握、和实际教学课时都限制了三角函数线在探究三角函数性质中的应用，在今后的教学中不妨尝试渗透三角函数线的应用。

本节课的教学总体上是成功的，但学生的互动较少，对多媒体技术的应用还不够到位。如果能用几何画板让学生亲自动手操作效果会更好。

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