2.1.2 向量的几何表示ppt配套的教学设计方案

2.1.1

向量的物理背景与概念及向量的几何表示

教学目标：

1.

了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量. 2.

通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别. 3.

通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力. 教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.

教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系. 学

法：本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.学生可根据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念. 教学思路：

（一）

一、情景设置：

如图，老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去，设问：猫能否追到老鼠？（画图）

结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了. 分析：老鼠逃窜的路线AC、猫追逐的路线BD实际上

都是有方向、有长短的量. C A B D 引言：请同学指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？

二、新课学习：

（一）向量的概念：

。

（二）请同学阅读课本后回答：（7个问题一次出现）

1、数量与向量有何区别？（数量没有方向而向量有方向）

2、如何表示向量？

3、有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？

4、长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？

5、满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？

6、有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？

7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点O，这是它们是不是平行向量？

这时各向量的终点之间有什么关系？

（三）探究学习

1、数量与向量的区别：

1

2.向量的表示方法：

向量与有向线段的区别：

4、零向量、单位向量概念：

5、平行向量定义：

（四）理解和巩固：

例1 书本75页例1.

例2判断：

（1）平行向量是否一定方向相同？（不一定）

（2）与任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量）

（3）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（平行向量）

课堂练习：

书本77页练习1、2、3题

三、小结

：

1、

描述向量的两个指标：模和方向. 2、平面向量的概念和向量的几何表示；

2

3、向量的模、零向量、单位向量、平行向量等概念。

2.1.2

相等向量与共线向量

教学目标：1.掌握相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量. 2.通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别. 3.通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力. 教学重点：理解并掌握相等向量、共线向量的概念，教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系. 教学思路：一、情景设置：(一)、复习：

1、数量与向量有何区别？（数量没有方向而向量有方向）2、如何表示向量？3、有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？4、长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？5、满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？6、有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点O，这是它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系？

(二)、新课学习

1、有一组向量，它们的方向相同、大小相同，这组向量有什么关系？

2、任一组平行向量都可以移到同一直线上吗？这组向量有什么关系？

三、探究学习

1、相等向量定义：

2、共线向量与平行向量关系：

四、理解和巩固：

例1．如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与向量OA、OB、OC相等的向量. 变式一：与向量OA长度相等的向量有多少个？

变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？

3

变式三：与向量共线的向量有哪些？

例2判断：

（1）不相等的向量是否一定不平行？

（2）与零向量相等的向量必定是什么向量？

（3）两个非零向量相等的当且仅当什么？

（4）共线向量一定在同一直线上吗？（）

例3下列命题正确的是（

）ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c也共线

B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点

C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量

D.有相同起点的两个非零向量不平行

课堂练习：1．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由①向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；

②单位向量都相等；

③任一向量与它的相反向量不相等；

④四边形ABCD是平行四边形当且仅当AB＝DC

⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0；

⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同. 2．书本77页练习4题

三、小结

：1.描述向量的两个指标：模和方向. 2、平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比. 3、共线向量与平行向量关系、相等向量。

4

2.2.1

向量的加法运算及其几何意义

教学目标：1.掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；

2.会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力；

3.通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量.教学难点：理解向量加法的定义. 教学思路：一、设置情景：

1、

复习：向量的定义以及有关概念

强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置

2、

情景设置：

（1）某人从A到B，再从B按原方向到C，

则两次的位移和：ABBCAC

（2）若上题改为从A到B，再从B按反方向到C，

则两次的位移和：ABBCAC

（3）某车从A到B，再从B改变方向到C，

则两次的位移和：ABBCAC

（4）船速为AB，水速为BC，则两速度和：ABBCAC

A

B

C C C C

A

B 二、探索研究：

A

B A

B １、向量的加法：

２、三角形法尾连”）如图，

a ａｂ

A a C b 5 a b a+b 则（“首尾相接，首已知向量a、ｂ.在平a+b a ｂ

B

面内任取一点A，作AB＝a，BC＝ｂ，则向量AC叫做a与ｂ的和，记作a＋ｂ，即

a＋ｂABBCAC，

规定：

a + 0-= 0 + a

探究：（1）两向量的和与两个数的和有什么关系？

两向量的和仍是一个向量；

什么时候时，

|a+b|<|a|+|b|；什么时候|a+b|=|a|+|b|，什么时候|a+b|=|a|－|b|，

（3）“向量平移”（自由向量）：

３．例一、已知向量a、b，求作向量a+b

４．加法的交换律和平行四边形法则

问题：上题中b+a的结果与a+b是否相同？

验证结果相同

从而得到：１）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）

２）向量加法的交换律：a+b=b+a

５．你能证明：向量加法的结合律：(a+b) +c=a+ (b+c)

吗？

6．由以上证明你能得到什么结论？

三、应用举例：

例二（P83—84）略

变式1、一艘船从A点出发以23km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行速度的大小为4km/h，求水流的速度. 变式2、一艘船从A点出发以v1的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为v2，船的实际航行的速度的大小为4km/h，方向与水流间的夹角是60，求v1和v2. a

6

练习：P84面1、2、3、4题

四、小结

1、向量加法的几何意义；２、交换律和结合律；３、|a+b| ≤

|a| + |b|，当且仅当方向相同时取等号. 五、思考：你能用向量加法证明：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形吗？

2.2.2向量的减法运算及其几何意义

教学目标：

1.

了解相反向量的概念；2.掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义；

3.通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物间可以相互转化的辩证思想. 教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图法.教学难点：减法运算时方向的确定. 教学思路：

一、

复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则，向量加法的运算定律：

例：在四边形中，CBBAAD

.

二、

提出课题：向量的减法

1．

用“相反向量”定义向量的减法

（1）

“相反向量”的定义：

（2）

规定：零向量的相反向量仍是零向量.(a) = a.

任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (a) = 0

如果a、b互为相反向量，则a = b，

b = a，

a + b = 0

（3）

向量减法的定义：

. 2．

用加法的逆运算定义向量的减法：

向量的减法是向量加法的逆运算：

若b + x = a，则x叫做a与b的差，记作a



b

3．

求作差向量：已知向量a、b，求作向量a



b

∵(ab) + b = a + (b) + b = a + 0 = a

作法：在平面内取一点O，

7 a b B b O ab

a

作OA= a，

AB= b

则BA= a



b

即a



b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.

注意：1AB表示a



b.

强调：差向量“箭头”指向被减数

2用“相反向量”定义法作差向量，a



b = a + (b)

4．

探究：

１）如果从向量a的终点指向向量b的终点作向量，那么所得向量是

２）若a∥b，

如何作出a



b

？

a b 三、

例题：

例一、（P86

例三）已知向量a、b、c、d，求作向量ab、cd.

例二、平行四边形ABCD中，ABa，ADb，

用a、b表示向量AC、DB.

变式一：当a，

b满足什么条件时，a+b与ab垂直？（|a| = |b|）

变式二：当a，

b满足什么条件时，|a+b| = |ab|？（a，

b互相垂直）

变式三：a+b与ab可能是相等向量吗？（不可能，∵

对角线方向不同）

8 例

3. 如图，

已知一点O到平行四边形ABCDB’

a O b B b b a B b A a+ (b)

a b ab O B A B’

O ab A B ab O A b B B ab O A 的三个顶点A、B、C的向量分别为a、b、c， 试用向量a、b、c表示OD.

练习：1。Ｐ87面1、2题

2．在△ABC中，

BC=a，

CA=b，则AB等于(

A.a+b

B.-a+(-ba-b

D

C A

B

b-a

2.2.3向量数乘运算及其几何意义

教学目标：

（1）掌握向量数乘运算，并理解其几何意义； （2）培养数形结合解决问题的能力； （3）通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法

一、情境设计：

1.复习:向量的加法运算和减法运算定义以及有关概念. 2.情景设置：

二、探索研究：

探究1：阅读课本P8788，回答下列问题:

1.向量的数乘的定义： 2.向量数乘的几何意义：

3.向量的数乘满足的运算律： 探究2：（1）若b=a，a

与b有什么关系呢？

（2）若a

与b共线，能否得到a

与b的一个关系呢?

4．共线定理：

9

5.平面向量的线性运算

（1） 称为线性运算。

（2）对任意向量a,b,以及任意实数、1、2,恒有:

(1a2b)1a2b

三、例题：

例1、化简:

12(2a8b)4(4a2b)

12A C D B 练习：课本P88例5 O 例2、已知OA3e1，OB3e2，C、D是AB的三等分点，

求OC、OD.(见成才之路P48例4)

1例3、如图,在平行四边形ABCD中,点M是AB的中点,点N在BD上且BNBD.3

求证：M、N、C三点共线

DNC

AMB练习：已知向量a,b,且ABa2b,BC5a6b,CD7a2b,则一定共线的三点是( )(A)A,B,D (B)A,B,C

(C)B,C,D (D)A,C,D10

四、

小结：

向量答案：2.1.1

向量的物理背景与概念及向量的几何表示

（一）向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量。1、数量与向量的区别：

数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小. 2.向量的表示方法：①用有向线段表示；

②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB；④向量AB的大小―长度称为向量的模，记作|AB|. 3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度向量与有向线段的区别：（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，这两个向量就是相同的向量；（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.4、零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，记作0.

0的方向是任意的.

注意0与0的含义与书写区别.②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.5、平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.

向量与有向线段的区别：（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，这两个向量就是相同的向量；（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.4、零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，记作0.

0的方向是任意的.

注意0与0的含义与书写区别.②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.5、平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ. 例2（1）（不一定）（2）（零向量）（3）（平行向量）

11

2.1.2

相等向量与共线向量

1、相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关. ．．．．．．．．．．2、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）.说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位．．．．．．．．．．．置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. 变式一：11变式二：存在 变式三：CB,DO,FE例2判断：1.不一定2. 零向量3. 长度相等且方向相同4.不一定 例3解：由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以Ｄ不正确；对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若ａ与ｂ不都是非零向量，即ａ与ｂ至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有ａ与ｂ共线，不符合已知条件，所以有ａ与ｂ都是非零向量，所以应选C.

课堂练习：

解：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB、AC在同一直线上.②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的. ④、⑤正确.⑥不正确.如图AC与BC共线，虽起点不同，但其终点却相同. 2.2.1

向量的加法运算及其几何意义

１、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法。探索研究2. 当向量a与b不共线时，a+b的方向不同向，且|a+b|<|a|+|b|；当a与b同向时，则a+b、a、b同向，且|a+b|=|a|+|b|，当a与b反向时，若|a|>|b|，则a+b的方向与a相同，且|a+b|=|a|-|b|；若|a|<|b|，则a+b的方向与b相同，且|a+b|=|b|-|a|.（3）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n个向量连加3. 作法：在平面内取一点，作OAa

ABb，b a

12 O b a A b a B

则OBab

4. 验证结果相同6.多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行。

2.2.2向量的减法运算及其几何意义

1.解：CBBAADCAADCD“相反向量”的定义：与a长度相同、方向相反的向量.记作

a

向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差. 即：a



b = a + (b)

求两个向量差的运算叫做向量的减法.4 b  a.

例一解：在平面上取一点O，作OA= a，

OB= b，

OC= c，

OD= d，

作BA，

DC，

则BA= ab，

DC= cd

A B D

b d

a

c O C 例二、解：由平行四边形法则得：

AC= a + b，

DB= ABAD

= ab

13 2. B