4.1.2函数的表示法教学实录及点评

新课标(XJ)

数学

八年级下册

典案一

教学设计

课题

4.1.2

函数的表示法

授课人

1.会用列表法、图象法、公式法表示一些具体的函数．

知识技能

2．会根据具体条件求函数的表达式．

3．会在不同情境中用不同形式表示函数，并根据条件求函数的值.

数学思考

培养学生能根据实际问题正确地选择不同的函数表达方法去表达函数.

问题解决

情感态度

利用数形结合思想，提高学生根据具体情况选用适当方法解决问题的能力.

让学生养成积极思考的习惯，提高学生的归纳总结能力，激发学生的学习兴趣.

教

学

目

标

教学

认清函数的不同表示方法，知道各自的优缺点，能按具体情况选用适当的方法. 重点

教学

函数表示方法在实际中的应用.

难点

授课

类型

教具

新授课

课时

直尺、三角板(多媒体：PPT课件、几何画板)

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数学

八年级下册

(续表) 教学活动

教学

步骤

【课堂引入】

活动

一：

创设

情境

导入

新课

小明的哥哥是一名大学生，他利用暑假去一家公司打工，报酬按16元/时计算．设小明的哥哥这个月工作的时间为t时，应得报酬为m元，填写下表后回答下列问题：

工作时间t(时) 报酬m(元) 1

5

10

15

20

…

…

用学生比较熟悉的事情为背景设问引入，引起学生的专注，激发他们探求知识的热情. 师生活动

设计意图

(1)在上述问题中，哪些是常量？哪些是变量？

(2)能用含t的代数式来表示m的值吗？今天我们就要学习像上面那样用列表或式子的方法表示两个变量之间的关系．

【探究】

函数的三种表示方法

阅读教材第112页“说一说”，老师针对这三个问题进行分析. 提出：三种表示函数的方法各有哪些优缺点？

1.用公式法表示函数关系. 优点：简洁明了．能从表达式中清楚看到两个变量之间的全部相依关系，让学生明白根据具体情并且适合于进行理论分析和推导计算；缺点：在求对应值时，有时要做活动

二：

实践

探究

交流

新知

较复杂的计算. 2.用列表法表示函数关系. 优点：对于表格中自变量的每一个值，可以不通过计算，直接把函数值找到，查询时很方便；缺点：表格中不能把所有的自变量与函数对应值全部列出，而且从表格中看不出变量间的对应规律. 3.用图象法表示函数关系. 把抽象的函数概念形象化；缺点：从自变量的值常常难以找到对应的函数的准确值. 具体应用，见教材P113的“动脑筋”. (老师从构建函数等式的规律的角度去引导和推理，分析数据及其存在的规律)

【应用举例】

例1

[教材P114例2]

某天7时，小明从家骑自行车上学，途中因自活动

三：

开放

训练

体现

应用

图4－1－13 行车发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑行，按时赶到了学校．图4－1－反映了他骑车的整个过程，结合图象，回答下列问题：

况选用适当的方法表示两个变量之间的函数关系，并能弄清各自的优缺点，采用三种不同的方法表示两个变量之间的函数关系，可以利用图象数形结合地研究两化，有助于理解.

优点：形象直观，可以形象地反映出函数关系变化的趋势和某些性质，个变量之间的联系与变

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2

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数学

八年级下册

(续表) (1)自行车发生故障是在什么时间？此时离家有多远？

(2)修车花了多长时间？修好车后又花了多长时间到达学校？

(3)小明从家到学校的平均速度是多少？

变式一

小亮家距离学校8千米，昨天早晨，小亮骑车上学途中，自行车“爆胎”，恰好路边有“自行车”维修部，几分钟后车修好了，为了不迟到，他加快了骑车的速度．到校后，小亮根据这段经历画出如图所示的图象．该图象描绘了小亮行的路程s与他所用的时间t之间的关系．请根据图象，解答下列问题：

图4－1－14 (1)小亮行了多少千米时，自行车“爆胎”？修车用了几分钟？

(2)小亮到校路上共用了多少时间？

(3)如果自行车没有“爆胎”，一直用修车前的速度行驶，那么他比实际情况早到或晚到学校多少分钟(精确到0.1)? 活动

三：

开放

训练

体现

应用

380808÷＝(分)，30－≈3.3(分)，则他比实际情况早到学校3.3分钟．

1033变式二

假期，明明和爸爸开车去动物园，在去的路上，明明画出了汽车的速度随时间的变化情况．如图4－1－15所示：

解：(1)3千米；修车用了15－10＝5(分)．

(2)30分钟．

(3)小亮修车前的速度为3÷10＝3(千米/分)，按此速度到校共需时间为10从应用举例进行延伸、变式，突出函数图象与函数表达式之间的内在关系，让学生明确要求函数的值，必须要准确掌握或列出函数表达式．或通过图象建立对应的数据对应关系，让学生在变式中通过读、算、分析的三者结合，提高学生的应用能力.

图4－1－15 (1)汽车行驶了多长时间？它的最大速度是多少？

(2)汽车在哪个范围内保持匀速行驶？速度是多少？

(3)出发后8 min到10 min这段时间可能出现什么情况？

(4)用自己的语言描述这辆车的行驶情况．

解：(1)汽车行驶了16 min，最大速度为30 km/h.

(2)在2－6 min、12－16 min内保持匀速行驶，速度为30 km/h.

(3)答案不唯一，如汽车加油．

(4)先加速行驶，速度达到30 km/h，开始匀速行驶，然后减速行驶，最后停下加油，加油后又开始加速，后匀速，快到达目的地时开始减速，最后到达目的地.

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八年级下册

(续表) 【拓展提升】

例2

如图4－1－16，表示一骑自行车者与一骑摩托车者沿相同路线由甲地到乙地行驶过程的图象，两地间的距离是100千米，请根据图象回答或解决下面的问题．

图4－1－16 (1)谁出发的较早？早多长时间？谁到达乙地早？早到多长时间？

(2)两人在途中行驶的速度分别是多少？

(3)指出在什么时间段内两车均行驶在途中；在这段时间内，请分别指出在何时①自行车行驶在摩托车前面？②自行车与摩托车相遇？③自行车行驶在摩托车后面？

解：(1)由图可以看出，骑自行车者出发较早，早3个小时，骑摩托车者到达乙地较活动

早，早3个小时．

行驶的距离是100千米，耗时8个小时，所以其速度是100÷8三：

(2)对骑自行车者而言，开放

＝12.5(千米/时)；对骑摩托车者而言，行驶的距离是100千米，耗时2个小时，所2＝50(千米/时)．

训练

以其速度是100÷体现

(3)在3＜t＜5时间段内两车均行驶在途中．当3＜t＜4时，自行车行驶在摩托车前应用

面；当t＝4时，自行车与摩托车相遇；当4＜t＜5时，自行车行驶在摩托车后面．

例3

为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，各地采用价格调控等手段达到节约用水的目的，其中，某市规定如下用水收费标准：每户每月的用水量不超过6立方米时，水费按每立方米a元收费；超过6立方米时，不超过的部分每立方米仍按a元收费，超过的部分每立方米按c元收费．

该市今年3，4月份用水量和水费如下表所示：

月份

3 4 用水量(立方米) 5 9 水费(元)

7.5

27 通过对图表的分析与思考，培养学生全面掌握求函数表达式的方式与方法，并逐渐提高学生的数形结合分析能力. 设该市某户每月用水量为x(立方米)，应交水费y(元). (1)求a，c的值，并写出用水量不超过6立方米和超过6立方米时，y与x的函数表达式；

(2)该户5月份的用水量为8立方米，求该户5月份的水费是多少元. 解：(1)根据题意，可知当x≤6时，y＝ax；当x＞6时，y＝6a＋c(x－6)，由已知，得7.5＝5a①，27＝6a＋3c②，由①得a＝1.5.把a＝1.5代入②得c＝6，所以y＝1.5x(x≤6)，y＝9＋6(x－6)＝6x－27(x＞6). (2)将x＝8代入y＝6x－27(x＞6)，得y＝6×8－27＝21.故该户5月份的水费是21元.

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数学

八年级下册

(续表) 例4

若△ABC的底BC的长为6 cm，高AD为x cm. 活动

三：

开放

训练

体现

应用

(1)写出三角形的面积y与x之间的函数表达式；

(2)指出表达式中的自变量与函数；

图4－1－17 (3)当自变量x＝4时，三角形的面积为多少？

1解：(1)y＝×6x＝3x，所以三角形的面积y与x之间的函数表达式为2y＝3x.

(2)在表达式y＝3x中，x是自变量，y是x的函数．

(3)当x＝4时，y＝3×4＝12，即三角形的面积是12 cm2.

当堂训练：P115练习T1，T2，T3. 作业布置：P116习题4.1A组T2，T3，T4，T5，B组T7. 【知识网络】

当堂检测，及时反馈教学效果，便于分析学生对所学知识的掌握程度.

通过对图表的分析与思考，培养学生全面掌握求函数表达式的方式与方法，并逐渐提高学生的数形结合分析能力. 罗列三种函数表达方式的鲜明对边，便于学生区别并正确选择表达方式.

活动

四：

课堂

总结

反思

【教学反思】

①[授课流程反思]

本课通过上节课的图形与问题进行导入，借题发挥，从而表达出函数的数形结合性与数据分析性，为学生在对于图形类、表格类、规律类、几何问题类的综合探究做辅垫，让学生在导入中做到问题全面化、知识系统化．

②[讲授效果反思] 本课的重点在于求函数的表达式，而对于分段函数图象解决实际问题存在一定难度，因此在教学中要做到全局分析，在分析每段函数模型之后要注意书写自变量的取值范围，以突破难度，做到全面提高．

③[师生互动反思] 教学中师生必须要互动才能充分地将函数的三种模型展示，通过教学中的一起讨论、研究才能真正实现学生理解性的学、老师分析性的教．

④[习题反思] 好题题号__________________________________________ 错题题号__________________________________________

从教学理论中实现反思，突出教学特色，节节清堂，实施真正的有效教学.

典案二

导学设计

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4.1 函数和它的表示方法(2)

教案（导学案）

学习目标：1、通过具体问题进一步理解函数的意义，学会用不同的表示方法表示函数关系，

2、会用描点法画出函数图像。

3、通过具体问题感受函数自变量的取值范围。

4、能从一些函数图像上获得信息。

学习重点：会用描点法画出函数图像。

学习难点：从函数图像上获得信息。

教学过程：

一、知识反馈

1、什么是函数？函数值？常量？变量？

2、函数表示方法有哪些？

二、自主学习，合作交流

1、用边长为1的等边三角形拼成图形，如图所示,用Y表示拼成的图形的周长，用n表示其中等边三角形的数目，显然拼成的图形的周长y是n的函数。

（1）填写下表

n y

1

2

3

4

5

6

7

8

…

(2)你能用公式表示这个函数关系吗？其中n可取哪些值？

（3）利用公式求1000个这样的等边三角形拼成的图形的周长；

（4）如果用n表示横坐标，用y表示纵坐标，请用坐标表示这些点。

（5）你能用图像法表示这个函数关系吗？

（6）能否把这些点连接起来？为什么？

2、自变量取值范围

（1）分母可以为0吗？ （2）负数有算术平方根吗？

归纳：（1）当自变量出现在分母中，必须满足 （2）当自变量出现在偶次根式中，必须满足 （3）当自变量出现在整式中，自变量的取值范围可取 （4）对于实际问题中的函数，除使解析式有意义外，还要使实际问题有意义。

三、尝试运用

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数学

八年级下册

1.分别写出下列各问题中的函数关系式，并指出式中的自变量与函数以及自变量的取值范围：

(1)一个正方形的边长为3 cm，它的各边长减少x cm后，得到的新正方形周长为y cm．求y和x间的关系式；

(2)寄一封重量在20克以内的市内平信，需邮资0.60元，求寄n封这样的信所需邮资y（元）与n间的函数关系式；

(3)矩形的周长为12 cm，求它的面积S(cm2)与它的一边长x(cm)间的关系式，并求出当一边长为

2 cm时这个矩形的面积．

2、求下列函数中自变量x的取值范围：

2（1）

y＝3x－1；

（2）

y＝2x＋7；

（3）

y=1

；

x2

（4）

y＝x2．

四、巩固提高

3、一枝蜡烛长20厘米，点燃后每小时燃烧掉5厘米，则下列3幅图象中能大致刻画出这枝蜡烛点燃后剩下的长度h（厘米）与点燃时间t之间的函数关系的是（

）.

4、由于干旱，某水库的蓄水量随时间的增加而直线下降．若该水库的蓄水量V( 万米 )与干旱的时间t(天)的关系如图所示，则下列说法正确的是( )．

A．干旱开始后，蓄水量每天减少20万立方米 1200V/万米3B．干旱开始后，蓄水量每天增加20万立方米

1000800C．干旱开始时，蓄水量为200万立方米

600400D．干旱第50天时，蓄水量为1 200万立方米 200

O10402030

五、课后反思：这节课你学到了什么？

350t/天

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