4.5一次函数与一次方程优质课教案

一次函数与一元一次方程

教学目标：

知识与技能：1.理解一次函数与一元一次方程的关系。

2.会用函数的方法求解一元一次方程。

过程与方法：经历探索一元一次方程与一次函数的内在联系的过程，体会数形结合的数学思想。

情感态度与价值观：

通过教学活动，让学生学会从不同角度认识事物本质的方法，建立自信心，提高学生自主合作探究学习的意识和能力，激发学生学习的兴趣，让学生体验数学的价值。

教学重点：对一次函数与一元一次方程的关系的理解；

应用函数求解一元一次方程。

教学难点：对一次函数与一元一次方程的关系的理解。

教学过程：

一、自学探索 自学指导

（自学课本对应的内容，并完成下表）

第一列

第

二

列

原一元题一次方号

程

的形式

ax+b=0第

三

列

写成方程的一次函数解

数

值

x的值

交点的横第

四

列

第

五

列

第

六

列

函自变量与 x 轴第

七

列

第

八

列

函数图像

坐标．

⑴

2x+1=3 2x-2=0 x=1 y=2x-2 0 x=1 1 -0.5 -1 ⑵

2x+1=0 2x+1=0 x=-0.5 y=2x+1 0 x=-0.5 ⑶

2x+1=-1 2x+2=0 x=-1 y=2x+2 0

二、合作探究

讨论交流（小组合作）

1、重点观察表中第三列至第七列，你发现了什么？

x=-1 解一元一次方程ax+b=0

(a

≠0)可以转化为：当某个一次函数y=ax+b的函数值为0时，求自变量x的值。

2、重点观察表中第三、四、八列，你发现了什么？

从图象上看，这相当于已知直线y=ax+b，确定它与x轴交点的横坐标的值。

三、实践应用

1、填表说明以下的一元一次方程与一次函数是同一问题

一元一次方程问序号

题

当x为何值时，

1

解方程 2x+1=0

y=2x+1的值为0?

解方程 2

8x-3=0

___________的值当x为何值时，

一次函数问题

为0?

解3

方程当x为何值时，

y=-7x+2的值为0?

当x为何值时，

___________

解方程 4 8x-3=2

为0?

2、如图函数y=2x+20的图象与x轴交与点（-10,0），则方程2x+20=0的解为x=_____。

___________的值

四、课堂小结

一次函数与一元一次方程的关系

五、课外延伸（作业） 画出函数y=-2x+1的图象，利用图象回答问题：

（1）求x=-1当时，

y的值；

（2）求当y=-1，对应的x值； （3）求方程-2x+1=0的解； （4）求方程-2x+1=3的

解

一次函数与一元一次方程------说课稿 一、教材分析

（一）教材所处的地位和作用

《一次函数与一元一次方程》

是人教版八年级（上）第十四章第三节第一课时的内容。本节的主要知识点是探究一次函数与一元一次方程之间的内在联系。本节课涉及到的方程和函数学生在以前已经学习过，但本节并不是对以前所学知识进行简单的复习回顾，而是从另一个全新的角度把这两者融合在一起。用函数的观点来看一元一次方程，同时一次函数的问题也可以转化成一元一次方程来解决。所以在本节课的教学中，要注重知识间的相互联系，是新旧知识的融会贯通。体现函数的重要性，加大分析问题的深度。通过本节课的学习，让学生更加深刻的感受到函数建模思想的重要性及数形结合在数学中的广泛运用。

（二）教学目标

知识技能：1.了解一次函数与一元一次方程之间的联系。

2.用函数地观点重新审视一元一次方程。

数学思考：1.通过函数与方程之间的相互转化，培养学生数形结合的思想。

2.培养学生用全面的观点处理局部问题的思想。

解决问题：一次函数与一元一次方程互相转化解决实际问题。

情感态度：在问题的探究过程中，培养小组合作意识，让学生通过自己的探索，获

得成功的体验。

（三）教学重难点

重点：理解一次函数与一元一次方程之间的内在联系。

难点：利用数形结合思想，多方位、多角度地分析问题，从而用不同方法解决实际问题。

二、教法分析

（一）教学方法

本节课是建立在学生所熟知的旧知上的，所以我将以学生的探究为主，教师引导为辅，给学生足够的时间与空间让他们自己去探索，去发现，去归纳。在此过程中，教师是一个引路人，在学生失去方向时点一盏指引路途的灯。

（二）教学手段

采用多媒体与传统黑板教学相结合的模式。多媒体手段可以更加形象直观地数、形结合，而黑板可以弥补多媒体逆转不方便的缺点，适当的记录课堂重点，便于学生及时回顾。

三、学法分析

（一）、学情分析

学生在前面的课程中已经较熟练地掌握了一次函数的相关概念，并能通过建立函数模型

来解决一些简单的实际问题。对一元一次方程的解法也很是熟悉。八年级学生这个年龄阶段活泼、好动，表现欲较强，思维也比较活跃。

但抽象思维能力还比较薄弱，有待提高。教师要给予合适的启发、引导，逐步渗透数形结合的思想。

（二）学法指导

首先从一个每位学生都能解决的问题着手，调动起学生学习的积极性，活跃了课堂气氛，也充分给了学生自信心。再让学生以小组合作的模式进行探究，充分弥补学生考虑问题不周全的缺陷。然后让学生对自己的发现进行归纳总结，培养学生的概括能力及语言表达能力。整堂课让学生经历观察、猜想、探究、归纳总结的过程，培养学生有条理思考问题的良好品质。

四、教学过程

(一)创设情境

导入新课

首先让学生自主举一个一次函数的例子，并快速的画出它的图像。

（比一比：谁既准确又迅速。）

（通过比赛活跃课堂气氛。同时设置悬念，自己的成果保留好，后面还用得着.）

接着随机选取一个学生给出的一次函数例子，如：y=4x+8 设疑：1.在函数中，我们把x、y叫做什么？

2.还有什么也是这样含有字母的等式？

（在学生思考、回答后，接着设疑：）

3.我们学过哪些方程？

4.函数与方程除了外观上有相似之处，还有其他的联系吗？

（初步感知函数与方程的联系，激起学生探究的欲望，自然引出课题：一次函数与一元一次方程。）

（二）尝试发现

探索新知

问题1：我们先来看下面两个问题有什么关系：

1.解方程2x+20=0；

2.当自变量x为何值时函数y=2x+20的函数值为0？

（通过对此问题的探究，更深入的感受一次函数与一元一次方程之间有着密不可分的联系。学生分小组讨论，培养学生与他人交流的意识，并在小组内听取他人意见，取长补短。）

以小组为单位进行结果汇报，教师在倾听的基础上总结：

问题1是解一元一次方程。

问题2是函数问题，但也就是考虑当函数值y=0时，所对应自变量x为何值，也是

可以通过解方程2x+20=0来解决的。

因此这两个问题实际上是同一个问题。

（在学生充分讨论和思考后，每个小组派代表汇报经过充分讨论所得到的结果。再通过倾听其他小组的意见发现自己的不足。在此过程中，教师要倾听，要给予每位敢于表达自己观点的学生予以鼓励性评价。）

问题2：你能从函数图像上进一步对两个问题的联系加以更形象的说明吗？

第2/4页

(从数向形转化，不仅让学生从另一角度感受一次函数与一元一次方程的联系，更重要是渗透了数形结合看问题的思想。) 一元一次方程2x+20=0的解就是直线y=2x+20与x轴交点横坐标的值。

总结：

从数的角度：

解一元一次方程求一次函数y=ax+b函数值为0时

(a、b是常数且a≠所对应自变量的值

从形的角度：

一元一次方程直线y=ax+b与x轴交点

(a、b是常数且a≠0）的解的横坐标的值

（从特殊到一般，培养学生的概括能力，将学生刚从实践中获得的体验升华成理论）

（三）应用迁移

巩固提高

例1：自变量满足什么值时，函数y=3x+8满足下列条件？

3 （2）当y=-7时，即3x+8=-7 解方程得x=-5.（1）y=0 （2） y=-7 8解：（1）当y=0时，即3x+8=0 解方程得x= （此题是将一次函数转化为一元一次方程的问题解决。大多数同学都能独立解决。）

例2：利用函数图像解x：（1） 4x+20=0 变式1: （2） 3x+8=5 变式2：（3） 5x-1=2x+5 （1）可以将方程的解看做是函数y=4x+20与x轴交点的横坐标的值。

（2）（3）都需要先将方程化成ax+b=0的形式。

（此例是将方程转化为一次函数的问题来解决，再次渗透数形结合的思想。）

例3：一个物体现在的速度是5米/秒，其速度每秒增加2米/秒，再过几秒它的速度为17 米/秒？

解法1：列方程：2x+5=17 解法2：函数 y=2x+5当y=17时，即2x+5=17,即2x-12=0 通过作图可以看出直线y=2x-12与x轴交点的坐标是（6,0），因此x=6.

（用两种方法来解这道题，充分运用本节课所学知识，同时培养学生从多角度思考问题

的习惯。）

下面的问题根据情况需要，教师临时选择是否提出：

对于刚才例3的函数图像：

x轴上方和下方各表示什么意义？请同学们课后思考。 (根据需要提出，让学生带着问题走出课堂，

也为下节课的不等式作下铺垫。) 第3/4页

(四) 反思小结

理清脉络

本节课你有哪些收获？还有什么困惑？

让学生畅所欲言，互相补充。最后教师进行总结。

1.知识方面：分别从“数”和“形”两方面来阐述了一次函数与一元一次方程之间的关系。

2.思想方面：数形结合

用全面的观点处理局部的问题。

（通过总结，使学生的知识更加系统化，条理化。同时培养学生的概括和语言表达能力。）

（五）布置作业

课后反馈

1.必做：课本129页习题14.3 1 ， 2 2.选做：还记得刚上课时让同学们自主写下的一次函数和函数图像吗？现在有用了哦！

针对你的函数编一道应用题，并给出正确解答。

（通过必做题反馈学习效果，即时发现并解决问题。选做题培养学生的创造意识。分层作业充分发展每位学生的能力。）

（六）板书设计

见ppt。

(及时记录课堂重点，便于学生及时回顾。) 五、设计理念

本节课的设计遵循学生的认知规律，让学生通过动手、动脑、动口的自主探究，经历知识的产生、发展、形成与应用的过程，重在培养学生的观察、分析、抽象概括的思维能力。

本节课体现学生主体、教师主导的地位，多数时间让学生自己去探究，当学生敢于表述自己的观点时，及时的予以鼓励性的评价。

教学反思

今天学习了一次函数与一元一次方程，本节课的学案设计共分自主学习、合作交流、问题初探、达标演练四部分，第一部分（一）自主学习，让学生在3—4分钟时间内完成：

1、一元一次方程2X+20=0的解是______. 2、自变量X为______时Y=2X+20的值为0. 3、直线Y=2X+20与X轴交点的横坐标是______. 然后老师根据学生完成情况带领学生纠错，第一部分学生完成得很好。

接下来完成第二部分，让学生用4—5分钟时间合作交流以下问题：

1、一元一次方程2X+20=0的解就是一次函数Y=2X+20的值为____时，相应的______的值。也是直线Y=2X+20与X轴交点的____坐标。

2、一元一次方程ax+b=0（a、b为常数，且a=0）可以看是一次函数__________的值为0时的一种特例。

3、一元一次方程与一次函数联系

（1）、从“数”的角度看：一元一次方程的解，就是某个一次函数的值为_____时，相应的_________的值。

（2）、从“形”的角度看：一元一次方程ax+b=0的解就是直线y=ax+b与____轴的交点的_______。

在学生交流这段时间，老师巡回个别指导，最后由各小组汇报交流情况，因为学生要完成由特殊抽象到一般的知识归纳，所以在处理这部分内容时感到比较吃力，课堂用时较长。

第三部分问题初探：先让学生自学课本P例1.然后完成以下问题

：

（1）、当自变量X取值满足什么条件时，函数Y=5X+17的值满足下列条件：

1、Y=0

2、Y=-7

3、Y=20

（2）、根据下列图像，你能直接写出相应一元一次方程的解吗？

由四位学生分别板演后，再由其他四位学生上台评价、纠错，学生完成得很好。

最后让学生就本节课的学习给予总结，接下来进行课堂

达标演练，时间4—5分钟：(1、2、3、4题必做，第5题选作) 1、直线Y=3X+9与X轴的交点坐标是_____. 2、直线Y=KX+3与X轴的交点是（1，0），则K的值为_____. 3、一次函数Y=-4X+5与X轴的交点坐标是（，0），则方程-4X+5=0的解为______

4、已知方程3X+2=8的解是_____,则函数Y=3X+2在X=____时函数值为8。

5、已知关于X的方程mx+n=0的解是2，则直线Y=mx+n与X轴的交点坐标是_____ 本课从内容上看，没有难做之处，甚至还有点多此一举，但是在解题方法和教材意图上确是难以真正理解的。因此，本课的教学就是要学生理解用图象法求一元一次方程的解更加直观和形象；体会数学的转换思想和数学的联想精神（求方程的解等价于求自变量为何值时相应的函数值为零，求方程的解或者求自变量为何值时相应的函数值为零的“数的问题”又等价于求函数的图象与X轴的交点的横坐标的“形的问题”）。

在学案第一部分自主学习中设置几个问题时，就注意问题的转化，在学生回答问题后总结，第2小题等价于求方程2X+20=0的解，第3小题等价于求方程2X+20=0的解，第三题等价于求方程4x+3=0的解。这样为第二阶段小组合作交流归纳总结一次函数与一元一次方程及方程的解的关系奠定了基础，这样就能顺利的归纳出一次函数y=ax+b与坐标轴的交点与相应方程ax+b=0的解的转化关系。

问题初探中的三个问题在小组互帮、学生展示、老师指导下完成之后，大部分学生都做得较好，基本上完成了本节课的学习任务，为反馈教

学情况，以便更好的查漏补缺，接下来进行达标演练，从而使学生能够更好地理解这一课所涉及的转化。

本课还可以更多地进行画图训练，还可以补充一些图形结合训练题，从多角度理解数与形的联系、体会转化思想的应用。