探究与发现 函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ）的周期名师教学视频（文字实录）

题目

第四章三角函数三角函数的图像与性质

高考要求

了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图，理解A.ω、φ的物理意义 知识点归纳

1.

正弦函数、余弦函数、正切函数的图像

y=sinx-4-7-32-52-2-3-2-2y1-1y--2-32-2o3222523724x

y=cosx-4-72-5-321-1o2322523724x

yyy=tanxy=cotx-32--2o232x--2o2322x

2.三角函数的单调区间：

ysinx的递增区间是2k，2k(kZ)，

22递减区间是2k2，2k3(kZ)；

2ycosx的递增区间是2k，2k(kZ)，

2k(kZ)，

递减区间是2k，

ytgx的递增区间是k，k(kZ)，

22yctgx的递减区间是k，k(kZ)。

（其中A0，0）3.函数yAsin(x)B

最大值是AB，最小值是BA，周期是T2，频率是，相位是x，初相是；其图象的对称轴是直线2xk(kZ)，凡是该图象与直线yB的交点都是该图2f象的对称中心。

4.由y＝sinx的图象变换出y＝sin(ωx＋)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换

利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现.无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少. 途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换) 先将y＝sinx的图象向左(＞0)或向右(＜0)平移｜｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的1倍(ω＞0)，便得y＝sin(ωx＋)的图象

途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换

先将y＝sinx的图象上各点的横坐标变为原来的1倍(ω＞0),再沿x轴向左(＞0)或向右(＜0＝平移||个单位，便得y＝sin(ωx＋)的图象

5.

由y＝Asin(ωx＋)的图象求其函数式：

给出图象确定解析式y=Asin（ωx+）的题型，有时从寻找“五点”中的

第一零点（－，0）作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个零点的．．位置. 6.对称轴与对称中心：

ysinx的对称轴为xk，对称中心为(k,0) kZ；

2ycosx的对称轴为xk，对称中心为(k；

2,0)对于yAsin(x)和yAcos(x)来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。

7. 求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A、的正负。利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间；

8. 求三角函数的周期的常用方法：

经过恒等变形化成“yAsin(x)、yAcos(x)”的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和定义法。

9.五点法作y=Asin（ωx+）的简图：

五点取法是设x=ωx+，由x取0、对应的y值，再描点作图. 题型讲解

π3π、π、、2π来求相应的x值及22例1 把函数y=cos（x+偶函数，则的最小值是

4π）的图象向左平移个单位，所得的函数为3π4π2π5π

B.

C.

D.

3333解：先写出向左平移4个单位后的解析式，再利用偶函数的性质求解. A.向左平移个单位后的解析式为y=cos（x+则cos（－x+cosxcos（4π+），

34π4π+）=cos（x++），

334π4π4π4π+）+sinxsin（+）=cosxcos（+）－sinxsin（+）. 33334π+）=0，x∈R. 3∴sinxsin（∴4π4π+=kπ.∴=kπ－＞0. 3342π.∴k=2.∴=. 33答案：B ∴k＞

π1例2

试述如何由y=sin（2x+）的图象得到y=sinx的图象. 33π1解：y=sin（2x+）

331π2倍

横坐标扩大为原来的ysin（x）纵坐标不变33π图象向右平移个单位13ysinx

纵坐标不变33倍纵坐标扩大到原来的ysinx

横坐标不变另法答案：

ππ11（1）先将y=sin（2x+）的图象向右平移个单位，得y=sin2x3633的图象；

1（2）再将y=sin2x上各点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），31得y=sinx的图象；

31（3）再将y=sinx图象上各点的纵坐标扩大为原来的3倍（横坐标不3变），即可得到y=sinx的图象. 做到例3

求函数y=sin4x+23sinxcosx－cos4x的最小正周期和最小值；并写出该函数在［0，π］上的单调递增区间. 解：y=sin4x+23sinxcosx－cos4x

=（sin2x+cos2x）（sin2x－cos2x）+3sin2x

=3sin2x－cos2x

=2sin（2x－π）. 6π故该函数的最小正周期是π；最小值是－2；单调递增区间是［0，］，3［5π，π］. 6点评：把三角函数式化简为y=Asin（ωx+）+k（ω＞0）是解决周期、

最值、单调区间问题的常用方法. 做到例4

已知电流I与时间t的关系式为IAsin(t)．

（１）右图是IAsin(t)（ω＞0，||）

2I300在一个周期内的图象，根据图中数据求IAsin(t)

的解析式；

（２）如果t在任意一段1秒的时间内，电流150-1900o1180tIAsin(t)都能取得最大值和最小值，那么ω的最-300小正整数值是多少？

解:本小题主要考查三角函数的图象与性质等基础知识，考查运算能力和逻辑推理能力．

（１）由图可知

A＝300．

11，t2＝， 900180111则周期T＝2（t2－t1）＝2（＋）＝．

180900752∴

ω＝＝150π． T11又当t＝时，I＝0，即sin（150π·＋）＝0，

180180设t1＝－而||，

∴

＝．

26故所求的解析式为I300sin(150t（２）依题意，周期T≤6)． 121，即≤，（ω>0）

150150*∴

ω≥300π＞942，又ω∈N，

故最小正整数ω＝943． 点评:本题解答的开窍点是将图形语言转化为符号语言．其中，读图、识图、用图是形数结合的有效途径．

例5 （1）y=cosx+cos（x+（2）y=2sin（3x－π）的最大值是_______；

3π）的图象的两条相邻对称轴之间的距离是_______. 4

31cosx－sinx

223331=cosx－sinx=3（cosx－sinx）

2222π=3sin（－x）. 3解：（1）y=cosx+所以ymax=3. （2）T=π2π，相邻对称轴间的距离为. 33π

3例6 （1）已知f（x）的定义域为［0，1），求f（cosx）的定义域；

（2）求函数y=lgsin（cosx）的定义域. 分析：求函数的定义域：（1）要使0≤cosx≤1，（2）要使sin（cosx）＞0，这里的cosx以它的值充当角. 答案：3

解：（1）0≤cosx＜12kπ－ππ≤x≤2kπ+，且x≠2kπ（k∈Z）. 22∴所求函数的定义域为{x｜x∈［2kπ－ππ，2kπ+］且x≠2kπ，k∈Z｝. 22（2）由sin（cosx）＞02kπ＜cosx＜2kπ+π（k∈Z）. 又∵－1≤cosx≤1，∴0＜cosx≤1. 故所求定义域为{x｜x∈（2kπ－ππ，2kπ+），k∈Z｝. 22点评：求三角函数的定义域，要解三角不等式，常用的方法有二：一是图象，二是三角函数线. 例7 求函数y=sin6x+cos6x的最小正周期，并求x为何值时，y有最大值. 分析：将原函数化成y=Asin（ωx+）+B的形式，即可求解. 解：y=sin6x+cos6x=（sin2x+cos2x）（sin4x－sin2xcos2x+cos4x）

=1－3sin2xcos2x=1－∴T=3253sin2x=cos4x+. 488π. 2当cos4x=1，即x=kπ（k∈Z）时，ymax=1. 2例8 判断下面函数的奇偶性：

f（x）=lg（sinx+1sin2x）.

分析：判断奇偶性首先应看定义域是否关于原点对称，然后再看f（x）与f（－x）的关系. 解：定义域为R，又f（x）+f（－x）=lg1=0，

即f（－x）=－f（x），∴f（x）为奇函数. 评述：

定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要（但不充分）条件. 例9

求下列函数的单调区间：

（1）y=1ππ2xsin（－）；（2）y=－｜sin（x+）｜. 244312πsin（x－）再求之. 234分析：（1）要将原函数化为y=－（2）可画出y=－|sin（x+解：（1）y=故由2kπ－π）|的图象. 41π12x2xπsin（－）=－sin（－）. 242433ππ2xπ≤－≤2kπ+

24233kπ－由2kπ+3π9π≤x≤3kπ+（k∈Z），为单调减区间；

88π3π2xπ≤－≤2kπ+

24239π21π≤x≤3kπ+（k∈Z），为单调增区间. 883π9π，3kπ+］，

883kπ+∴递减区间为［3kπ－递增区间为［3kπ+（2）y=－|sin（x+间为［kπ－9π21π，3kπ+］（k∈Z）. 88ππ3π）|的图象的增区间为［kπ+，kπ+］，减区444ππ，kπ+］. 445-43-4-4yo4345474x

6cos4x5cos2x1例10已知函数f（x）=，求f（x）的定义域，判cos2x

断它的奇偶性，并求其值域. 剖析：此题便于入手，求定义域、判断奇偶性靠定义便可解决，求值域要对函数化简整理. 解：由cos2x≠0得2x≠kπ+πkππ，解得x≠+（k∈Z）. 224kππ+，k∈Z}. 24因为f（x）的定义域关于原点对称，且

所以f（x）的定义域为{x|x∈R且x≠6cos4（x）5cos2（x）1f（－x）=

cos（－2x）6cos4x5cos2x1==f（x），

cos2x所以f（x）是偶函数. 又当x≠kππ+（k∈Z）时，

246cos4x5cos2x1（2cos2x1）（3cos2x1）f（x）===3cos2x－1，

cos2xcos2x11或＜y≤2}. 22评述：本题主要考查三角函数的基本知识，考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力.

小结：

1.数形结合是数学中重要的思想方法，在中学阶段，对各类函数的研究都离不开图象，很多函数的性质都是通过观察图象而得到的. 2.作函数的图象时，首先要确定函数的定义域. 3.对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时只要作出一个周期的图象，就可根据周期性作出整个函数的图象. 4.求定义域时，若需先把式子化简，一定要注意变形时x的取值范围不能发生变化. 5.求三角函数式的最小正周期时，要尽可能地化为只含一个三角函数，且三角函数的次数为1的形式，否则很容易出现错误. 6.函数的单调性是在定义域或定义域的某个子区间上考虑的，要比较两三角函数值的大小一般先将它们化归为同一单调区间的同名函数再由该函数的单调性来比较大小. 7.判断y=－Asin（ωx+）（ω＞0）的单调区间，只需求y=Asin（ωx+）的相反区间即可，一般常用数形结合.而求y=Asin（－ωx+）（－ω＜0）所以f（x）的值域为{y|－1≤y＜单调区间时，则需要先将x的系数变为正的，再设法求之.

学生练习

1.在（0，2π）内，使sinx＞cosx成立的x的取值范围是

A.（C.（ππ5π，）∪（π，）

424B.（π，π）

4ππ3π5π5π，）

D.（，π）∪（，）

44244答案：C 2.如果函数f（x）=sin（πx+θ）（0＜θ＜2π）的最小正周期是T，且当x=2时取得最大值，那么

A.T=2，θ=解析：T=π

2B.T=1，θ=π

C.T=2，θ=π

D.T=1，θ=π

22π=2，又当x=2时，sin（π·2+θ）=sin（2π+θ）=sinθ，要ππ. 231，最小值是－，22使上式取得最大值，可取θ=答案：A 3.设函数f（x）=A+Bsinx，若B＜0时，f（x）的最大值是则A=_______，B=_______. 3AB，2解析：根据题意，由可得结论. 1AB2答案：1

－1 2π，0），则可以是

12π

12

D.4.已知函数y=tan（2x+）的图象过点（A.－π

6

B.π

6

C.－π

12ππ，0）代入原函数可得，tan（+）=0，再将A、B、C、D代126入检验即可. 答案：A 解析：将（5.函数y=sin（A.2π

π－2x）+sin2x的最小正周期是

3B.π

C.π

2

D.4π

解析：y=3311πcos2x－sin2x+sin2x=cos2x+sin2x=sin（+2x），T=π. 22223

答案：B 6.若f（x）sinx是周期为π的奇函数，则f（x）可以是

A.sinx

B.cosx

C.sin2x

答案：B 7.函数y=2sin（A.［0，D.cos2x

π－2x）（x∈［0，π］）为增函数的区间是

6B.［π］

3ππ7π5π，］

C.［，］

121236D.［5π，π］

6解析：由y=2sin（πππ－2x）=－2sin（2x－）其增区间可由y=2sin（2x－）666ππ3π≤2x－≤2kπ+，k∈Z. 262的减区间得到，即2kπ+∴kπ+π5π≤x≤kπ+，k∈Z.令k=0，故选C. 36答案：C π个单位，得到函数__________的图象；再把所3得图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，而纵坐标保持不变，得到函数__________的图象. 8.把y=sinx的图象向左平移解析：向左平移πππ个单位，即以x+代x，得到函数y=sin（x+），再把3331x代x，得到函数：2所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，即以y=sin（1πx+）. 23π1π）

y=sin（x+）

3239.函数y=lg（cosx－sinx）的定义域是_______. 答案：y=sin（x+解析：由cosx－sinx＞0cosx＞sinx.由图象观察，知2kπ－+3π＜x＜2kπ4π（k∈Z）. 43ππ＜x＜2kπ+（k∈Z）

44π］上的最小值2D.－3 答案：2kπ－10.

f（x）=2cos2x+3sin2x+a（a为实常数）在区间［0，为－4，那么a的值等于

A.4

B.－6

C.－4

解析：f（x）=1+cos2x+3sin2x+a=2sin（2x+∵x∈［0，π）+a+1. 6πππ7π］，∴2x+∈［，］. 26661）+a+1=－4.∴a=－4. 2∴f（x）的最小值为2×（－答案：C 11.函数y=sinx的定义域是_________. 3xxx≥0sin≤02kπ－π≤≤2kπ6kπ－3π≤x≤6k333π（k∈Z）. 答案：6kπ－3π≤x≤6kπ（k∈Z）

12.函数y=tanx－cotx的最小正周期为____________. 解析：－sin解析：y=答案：πsinxcosx－=－2cot2x，T=. 2cosxsinxπ

2sin4xcos4xsin2xcos2x13.求函数f（x）=的最小正周期、最大值和最小值. 2sin2x2（sin2xcos2x）sin2xcos2x解：f（x）=

22sinxcosx1sin2xcos2x111==（1+sinxcosx）=sin2x+，

（21sinxcosx）242所以函数f（x）的最小正周期是π，最大值是14.已知x∈［31，最小值是. 443π3π9,］，函数y=cos2x-sinx+b+1的最大值为,试求其最小值. 4281217）++b，

48解：∵y=－2（sinx+又－1≤sinx≤当sinx=21179，∴当sinx=－时，ymax=+b=b=－1；

248822时，ymin=－. 2215.求使1sin=2sin（π－）成立的θ的区间. 24

解：1sin=2sin（π－）

24（sin｜sin222cos）=2（sin－cos）

222222－cos｜=sin－cos

2222π5π（k∈Z）. sin≥cos2kπ+≤≤2kπ+22424π5π因此θ∈［4kπ+，4kπ+］（k∈Z）. 242116.关于函数f（x）=sin2x－（）|x|+，有下面四个结论，其中正确结论的321个数为①f（x）是奇函数

②当x＞2003时，f（x）＞恒成立

③f（x）的最231大值是

④f（x）的最小值是－

22A.1

B.2

C.3

D.4 解析：显然f（x）为偶函数，结论①错.对于结论②，当x=1000π时，x＞2003，121πsin21000π=0，∴f（1000π）=－（）1000＜，因此结论②错. 23221121cos2x又f（x）=－（）|x|+=1－cos2x－（）|x|，－1≤cos2x≤1，

32232113∴－≤1－cos2x≤. 222123故1－cos2x－（）|x|＜，即结论③错. 2322而cos2x，（）|x|在x=0时同时取得最大值，

3121所以f（x）=1－cos2x－（）|x|在x=0时可取得最小值－，

232即结论④是正确的. 答案：A 17.定义在R上的函数f（x）既是偶函数又是周期函数.若f（x）的最小正周π5π期是π，且当x∈［0，］时，f（x）=sinx，则f（）的值为

23A.－1

2

B.1

2

C.－3 2

D.3

2

解析：f（3πππ5π5π）=f（－2π）=f（－）=f（）=sin=. 233333答案：D 18.函数y=xcosx－sinx在下面哪个区间内是增函数

π3π3π5π，）

B.（π，2π）

C.（，）

D.（2π，3π）

2222答案：B 19.函数y=sin4x+cos2x的最小正周期为

A.（A.π

4

B.π

2

C.π

D.2π

解析：y=sin4x+cos2x=（21cos2x21cos2x）+

221cos4xcos2x33172==+=cos4x+. 44488故最小正周期T=2ππ=. 42答案：B 20.y=5sin（2x+θ）的图象关于y轴对称，则θ=_______. 解析：y=f（x）为偶函数. π（k∈Z）

221.函数y=xsinx+cosx在下面哪个区间内是增函数

答案：θ=kπ+π3π3π5π，）

B.（π，2π）

C.（，）

D.（2π，3π）

2222答案：C 22.为了使y=sinωx（ω＞0）在区间［0，1］上至少出现50次最大值，则ω的最小值是

A.（A.98π

解析：49答案：B 23.若f（x）具有性质：①f（x）为偶函数，②对任意x∈R，都有f（

B.197π

2

C.199π

2

D.100π

11972π197π×T≤1，即×≤1，∴ω≥. 442π－x）4π+x），则f（x）的解析式可以是_______.（只写一个即可）

4答案：f（x）=a或f（x）=cos4x或f（x）=|sin2x|等. =f（

24.给出下列命题：

①正切函数的图象的对称中心是唯一的；

②y=|sinx|、y=|tanx|的周期分别为π、③若x1＞x2，则sinx1＞sinx2；

④若f（x）是R上的奇函数，它的最小正周期为T，则f（－其中正确命题的序号是____________. 答案：④

25.当α∈（0，π）时，求y=1sin2－1sin2. 22解：y=（sincos）－（sincos）

π；

2T）=0. 2=｜sinα－cosα｜－｜sinα+cosα｜. （1）当α∈（0，π］时，有sinα＜cosα，sinα+cosα＞0，

4∴y=cosα－sinα－sinα－cosα=－2sinα. π3π，）时，sinα＞cosα，sinα+cosα≥0，

44∴y=sinα－cosα－sinα－cosα=－2cosα. （2）当α∈（3π，π）时，有sinα＞cosα，sinα+cosα＜0，

4∴y=sinα－cosα+sinα+cosα=2sinα. （3）当α∈（26.设x∈［0，的最大值. π］，f（x）=sin（cosx），g（x）=cos（sinx），求f（x）、g（x）2π］上，y=cosx是单调递减的，且cosx∈［0，1］，2而y=sinx是单调递增的，且sinx∈［0，1］，

∴f（x）=sin（cosx）∈［0，sin1］，g（x）=cos（sinx）∈［cos1，1］. ∴f（x）的最大值是sin1，g（x）的最大值是1. 27.若｜logcosαsinα｜＞｜logsinαcosα｜（α为锐角），求α的取值范围. 解：∵α为锐角，0＜cosα＜1，0＜sinα＜1，

∴logcosαsinα＞0，logsinαcosα＞0. ∴原式就是logcosαsinα＞logsinαcosα

logcossin＞1（logcosαsinα）2＞1 logsincos解：∵在x∈［0，

logcosαsinα＞1sinα＜cosα0＜α＜π. 4ππ，］. 4428.已知P（1，cosx），Q（cosx，1），x∈［－（1）求向量OP和OQ的夹角θ的余弦用x表示的函数f（x）；

（2）求θ的最值. 解：（1）∵OP·OQ=2cosx，

|OP|·|OQ|=1+cos2x，

∴f（x）=cosθ=（2）cosθ=2cosx1cos2x2. 22cosx1cosx=1cosxcosx，

2ππ，］，cosx∈［，1］. 2443222221∴2≤cosx+≤，≤f（x）≤1，即≤cosθ≤1. 233cosx22∴θmax=arccos，θmin=0.

3课前后备注

x∈［－