2.3.1 变量之间的相关关系教学目标设计

2.3.1

变量之间的相关关系

学习目标

1.了解变量间的相关关系，会画散点图；2.根据散点图，能判断两个变量是否具有相关关系；3.了解线性回归思想，会求回归直线的方程．

知识点一

变量间的相关关系

思考1

粮食产量与施肥量间的相关关系是正相关还是负相关？

答案

在施肥不过量的情况下，施肥越多，粮食产量越高，所以是正相关．

思考2

怎样判断一组数据是否具有线性相关关系？

答案

画出散点图，若点大致分布在一条直线附近，就说明这两个变量具有线性相关关系，否则不具有线性相关关系．

梳理

1．相关关系的定义

变量间确实存在关系，但又不具备函数关系所要求的确定性，它们的关系是带有随机性的，那么这两个变量之间的关系叫做相关关系，两个变量之间的关系分为函数关系和相关关系．

2．散点图

将样本中n个数据点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)描在平面直角坐标系中得到的图形叫做散点图．

3．正相关与负相关

(1)正相关：如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值也由小变大，这种相关称为正相关．

(2)负相关：如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值由大变小，这种相关称为负相关．

知识点二

两个变量的线性相关

思考

任何一组数据都可以由最小二乘法得出线性回归方程吗？

答案

用最小二乘法求线性回归方程的前提是先判断所给数据是否具有线性相关关系(可利用散点图来判断)，否则求出的线性回归方程是无意义的．

梳理

回归直线的方程

(1)回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．

(2)线性回归方程：回归直线对应的方程叫做回归直线的方程，简称回归方程．

(3)最小二乘法：

^^^求线性回归方程y＝bx＋a时，使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法．



x－xy－yxy－n

x

yb＝＝，

x－xx－nxa＝y－bx，nn^i＝1iii＝1iini＝1i2ni＝12i2^^^^

其中，b是线性回归方程的斜率，a是线性回归方程在y轴上的截距．

类型一

相关关系的判断与应用

命题角度1

判断两个变量的相关性

例1

为了研究质量对弹簧长度的影响，对6根相同的弹簧进行测量，所得数据如下：

质量(g)

弹簧长度7.25

(cm)

判断它们是否有相关关系，若有，判断是正相关还是负相关．

解

散点图如图：

8.12

8.95

9.90

10.90

11.80 5

10

15

20

25

30

由散点图可以看出两个变量对应的点大致分布在一条直线附近，因此可以得出结论：质量与弹簧长度这两个变量具有相关关系，且它们是正相关关系．

反思与感悟

在研究两个变量之间是否存在某种关系时，必须从散点图入手，对于散点图，可以作出如下判断：

(1)如果所有的样本点都落在某一函数曲线上，那么就用该函数来描述变量之间的关系，即变量之间具有函数关系；

(2)如果所有的样本点都落在某一直线附近，那么变量之间就有线性相关关系；

(3)如果散点图中的点的分布几乎没有什么规律，那么这两个变量之间不具有相关关系，即两个变量之间是相互独立的．

跟踪训练1

下表是某地的年降雨量与年平均气温的统计表，判断两者是否具有相关关系，求线性回归方程有意义吗？

年平均气温(℃)

年降雨量(mm)

12.51

748

12.74

542

12.64

507

13.69

813

13.33

574

12.84

701

13.05 432

解

以x轴为年平均气温，y轴为年降雨量，可得相应的散点图如图．

因为图中各点并不在一条直线的附近，所以两者不具有线性相关关系，没必要用回归直线进行拟合，即使用公式法求出线性回归方程也是没有意义的．

命题角度2

函数关系与相关关系的区别与联系

例2

下列关系中，是相关关系的是________．

①正方形的边长与面积之间的关系；

②农作物的产量与施肥量之间的关系；

③人的身高与年龄之间的关系；

④降雪量与交通事故的发生率之间的关系．

答案

②④

解析

①中，正方形的边长与面积之间的关系是函数关系；②中，农作物的产量与施肥量之间不具有严格的函数关系，但具有相关关系；③中，人的身高与年龄之间的关系既不是函数关系，也不是相关关系，因为人达到一定年龄后，身高就不发生明显变化了，所以它们不具有相关关系；④中，降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系．

反思与感悟

相关关系与函数关系的区别与联系如表所示：

相同点

函数关系

相关关系

两者均是指两个变量之间的关系

是一种确定性关系

是两个变量之间的关系

是一种非确定性关系

①一个为变量，另一个为随机变量；

不同点

是一种因果关系

是一种理想的关系模型

跟踪训练2

下列图形中两个变量具有相关关系的是(

) ②两个都是随机变量

不一定是因果关系，也可能是伴随关系

是更为一般的情况

答案

C 解析

A是一种函数关系；B也是一种函数关系；C中从散点图中可看出所有点看上去都在某条直线附近波动，具有相关关系，而且是一种线性相关；D中所有的点在散点图中没有显示任何关系，因此变量间是不相关的．

类型二

回归直线的求解与应用

例3

一台机器按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点的零件的多少随机器运转速度的变化而变化，下表为抽样试验的结果：

转速x(转/秒)

每小时生产有缺点的11

零件数y(件)

(1)画出散点图；

(2)如果y对x有线性相关关系，请画出一条直线近似地表示这种线性关系；

516(3)在实际生产中，若它们的近似方程为y＝x－，允许每小时生产的产品中有缺点的零件最多为10件，那么机器707的运转速度应控制在什么范围内？

解

(1)散点图如图所示：

9

8

5 16

14

12

8

(2)近似直线如图所示：

516(3)由y≤10得x－≤10，解得x≤14.9，所以机器的运转速度应控制在14转/秒内．

707引申探究

1．本例(3)中近似方程不变，若每增加一个单位的转速，生产有缺点的零件数近似增加多少？

51651解

因为y＝x－，所以当x增加一个单位时，y大约增加. 707702．本例(3)中近似方程不变，每小时生产有缺点的零件件数是7，估计机器的转速．

516516解

因为y＝x－，所以当y＝7时，7＝x－，

707707解得x≈11. 反思与感悟

求线性回归方程的一般步骤

(1)收集样本数据，设为(xi，yi)(i＝1,2，…，n)(数据一般由题目给出)．

(2)作出散点图，确定x，y具有线性相关关系．

(3)把数据制成表格xi，yi，x2i，xiyi. (4)计算x，yn2，xi，xiyi. i＝1i＝1nxy－nx

yb＝，(5)代入公式计算b，a，公式为x－nxa＝y－bx.n^i＝1ii^^ni＝12i2^^^^^

(6)写出线性回归方程y＝bx＋a. ^^^跟踪训练3

(1)变量y与x满足线性回归方程y＝bx＋a，现在将y的单位由厘米变为米，x的单位由毫米变为米，则^^在新的线性回归方程y＝bx＋a中，b是b的____________倍．

(2)为了均衡教育资源，加大对偏远地区的教育投入，调查了某地区若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年教育支^*^*^*^出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年教育支出y具有相关关系，并由调查数据得到y对x的线性回归方程为y＝0.15x＋0.2.由线性回归方程可知，家庭年收入每增加1万元，年教育支出平均增加________万元．

答案

(1)10

(2)0.15 解析

(1)由回归系数公式知，当y的值变为原来的10－2倍，x的值变为原来的10－3倍时，b*的值应为原来的10倍．

^(2)回归直线的斜率为0.15，所以家庭年收入每增加1万元，年教育支出平均增加0.15万元．

^1．设有一个线性回归方程为y＝2－1.5x，则变量x增加1个单位时，y平均(

) A．增加1.5个单位

C．减少1.5个单位

答案

C 2．由三点(3,10)，(7,20)，(11,24)确定的线性回归方程为(

) ^^B．增加2个单位

D．减少2个单位

A.y＝1.75x－5.75

^B.y＝1.75x＋5.75 ^C.y＝－1.75x＋5.75

答案

B D.y＝－1.75x－5.75

^^^解析

设线性回归方程为y＝bx＋a，

x1y1＋x2y2＋x3y3－3xy则b＝

2222x1＋x2＋x3－3x^＝3×10＋7×20＋11×24－3×7×18

9＋49＋121－3×49＝1.75，

^^a＝y－bx＝18－1.75×7＝5.75. ^故y＝1.75x＋5.75，故选B. ^3．某地区近10年居民的年收入x与年支出y之间的关系大致符合y＝0.8x＋0.1(单位：亿元)，预计今年该地区居民收入为15亿元，则今年支出估计是________亿元．

答案

12.1 ^^解析

将x＝15代入y＝0.8x＋0.1，得y＝12.1. 4．某市居民2012～2016年家庭年平均收入x(单位：万元)与年平均支出y(单位：万元)的统计资料如表所示：

年份

收入x 支出y 2012

11.5

6.8

2013

12.1

8.8

2014

13

9.8

2015

13.3

10

2016 15 12 根据统计资料，居民家庭年平均收入的中位数是__________万元，家庭年平均收入与年平均支出有________线性相关关系．

答案

13

正

解析

考查中位数的定义，奇数个时按大小顺序排列后中间一个是中位数，而偶数个时需取中间两数的平均数．由统计资料可以看出，当年平均收入增多时，年平均支出也增多，因此两者之间具有正线性相关关系．

5．某5名学生的总成绩和数学成绩(单位：分)如表所示：

学生

总成绩x 数学成绩y (1)画出散点图；

(2)求y对x的线性回归方程(结果保留到小数点后3位数字)；

(3)如果一个学生的总成绩为450分，试预测这个学生的数学成绩．

解

(1)散点图如图所示：

A 428

78

B 383

65

C 421

71

D 364

64

E

362 61

(2)由题中数据计算可得

x＝391.6，y^^5133 548－5×391.6×67.82＝67.8，xi＝770 654，xiyi＝133 548.代入公式得b＝≈0.204，

770 654－5×391.62i＝1i＝15a＝67.8－0.204×391.6≈－12.086，

^所以y对x的线性回归方程为y＝－12.086＋0.204x. ^(3)由(2)得当总成绩为450分时，y＝－12.086＋0.204×450≈80，即这个学生的数学成绩大约为80分．

1．判断变量之间有无相关关系，一种简便可行的方法就是绘制散点图．根据散点图，可以很容易看出两个变量是否具有相关关系，是不是线性相关，是正相关还是负相关．

2．求线性回归方程时应注意的问题

(1)知道x与y成线性相关关系，无需进行相关性检验，否则应首先进行相关性检验，如果两个变量之间本身不具有相关关系，或者说，它们之间的相关关系不显著，即使求出线性回归方程也是毫无意义的，而且用其估计和预测的量也是不可信的．

^^^^(2)用公式计算a、b的值时，要先计算b，然后才能算出a. ^^^^^^3．利用回归方程，我们可以进行估计和预测．若回归方程为y＝bx＋a，则x＝x0处的估计值为y0＝bx0＋a

. 40分钟课时作业

一、选择题

1．某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，则其线性回归方程可能是(

) ^^A.y＝－10x＋200

^B.y＝10x＋200 ^C.y＝－10x－200

答案

A D.y＝10x－200 解析

x的系数为负数，表示负相关，排除B、D，由实际意义可知x＞0，y＞0，C中，散点图在第四象限无意义，故选A. 2．根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位：万吨)柱形图，以下结论中不正确的是(

)

A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著

B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效

C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势

D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关

答案

D 解析

由柱形图可知：A、B、C均正确，2006年以来我国二氧化硫年排放量在逐渐减少，所以排放量与年份负相关，所以D不正确．

3．对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1,2,3，…，10)，得散点图1；对变量u，v有观测数据(ui，vi)(i＝1,2,3，…，10)，得散点图2，由这两个散点图可以判断(

)

A．y与x正相关，v与u正相关

B．y与x正相关，v与u负相关

C．y与x负相关，v与u正相关

D．y与x负相关，v与u负相关

答案

C 解析

根据散点图直接进行判断．

4．已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数x＝3，y＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是(

) ^^A.y＝0.4x＋2.3

^B.y＝2x－2.4 ^C.y＝－2x＋9.5

答案

A D.y＝－0.3x＋4.4 解析

由变量x与y正相关知C、D均错，又回归直线经过样本点的中心(3,3.5)，代入验证得A正确，B错误．故选A.

5．已知x与y之间的一组数据：

x y ^^^0

1

1

3

2

5

3 7 若y与x线性相关，则y与x的回归直线y＝bx＋a必过(

) A．点(2,2)

C．点(1,2)

答案

D 0＋1＋2＋31＋3＋5＋7解析

∵x＝＝1.5，y＝＝4，

44∴回归直线必过点(1.5,4)．故选D. 6．已知x，y的取值如表所示：

x y ^^B．点(1.5,0) D．点(1.5,4) 2

6

3

4

4 5 ^13如果y与x线性相关，且线性回归方程为y＝bx＋，则b等于(

) 21A．－

21C．－

10答案

A 1B.

21D.

102＋3＋46＋4＋5解析

∵x＝＝3，y＝＝5，

33∴回归直线过点(3,5)，

13∴5＝3b＋，

21∴b＝－，故选A. 2二、填空题

^^^7．为了研究某种细菌在特定环境下随时间变化的繁殖规律，得到了下表中的数据，计算得回归方程为y＝0.85x－0.25.由以上信息，可得表中c的值为________. 天数x 繁殖数量2.5

y(千个)

答案

6 3＋4＋5＋6＋72.5＋3＋4＋4.5＋c14＋c14＋c解析

x＝＝5，y＝＝，代入回归方程中得＝0.85×5－0.25，解得c5555＝6. 3

4

4.5

c

3

4

5

6

7

8．如图所示的五组数据(x，y)中，去掉________后，剩下的四组数据相关性增强．

答案

(4,10) 解析

去掉点(4,10)后，其余四点大致在一条直线附近，相关性增强．

9．在一次试验中测得(x，y)的四组数据如下：

x y ^^16

50

17

34

18

41

19 31 根据上表可得线性回归方程y＝－5x＋a，据此模型预报当x＝20时，y的值为________．

答案

26.5 16＋17＋18＋1950＋34＋41＋31解析

x＝＝17.5，y＝＝39，

44∴回归直线过点(17.5,39)，

^∴39＝－5×17.5＋a，

^∴a＝126.5，

∴当x＝20时，y＝－5×20＋126.5＝26.5. 10．某工厂对某产品的产量与成本的资料分析后有如下数据：

产量x(千件)

成本y(万元)

^^^^2

7

3

8

5

9

6 12 由表中数据得到的线性回归方程y＝bx＋a中b＝1.1，预测当产量为9千件时，成本约为________万元．

答案

14.5 ^^解析

由表中数据得x＝4，y＝9，代入线性回归方程得a＝4.6，∴当x＝9时，y＝1.1×9＋4.6＝14.5. 三、解答题

11．某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：

第x年

需求量y(万吨)

^^^1

3

2

6

3

5

4

7

5 8 (1)利用所给数据求两变量之间的回归方程y＝bx＋a；

(2)利用(1)中所求出的回归方程预测该地第6年的粮食需求量．

解

(1)由所给数据得

x＝3，y＝5.8，

5^i＝1

xi－xyi－y＝1.1，

i＝1b＝

xi－x2^5^a＝y－bx＝2.5，

^∴y＝1.1x＋2.5. ^故所求的回归方程为y＝1.1x＋2.5. (2)第6年的粮食需求量约为

^y＝1.1×6＋2.5＝9.1(万吨)．

12．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi(单位：千元)与月储蓄yi(单位：千元)的数据资料，算得xi＝80，yi＝20，xiyi＝184，x2i＝720. i＝1i＝1i＝1i＝110101010(1)求月储蓄y(千元)关于月收入x(千元)的线性回归方程；

(2)若该居民区某家庭的月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．

1101解

(1)由题意知n＝10，x＝xi＝×80＝8，

ni＝1101101y＝yi＝×20＝2，

ni＝11022又x2i－nx＝720－10×8＝80，

i＝110i＝1xiyi－nx

y＝184－10×8×2＝24，

^1024由此得b＝＝0.3，

80^^a＝y－bx＝2－0.3×8＝－0.4，

^故所求线性回归方程为y＝0.3x－0.4. ^(2)将x＝7代入线性回归方程，可以得到该家庭的月储蓄约为y＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．

13．为了分析某高三学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议，现对他前7次考试的数学成绩x、物理成绩y进行分析．下面是该生7次考试的成绩(单位：分).

数学成绩x 物理成绩y 88

94

83

91

117

108

92

96

108

104

100

101

112 106 (1)他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定？并说明理由；

(2)已知该学生的物理成绩y与数学成绩x是线性相关的，若该生的物理成绩达到115分，请你估计他的数学成绩大约是多少分，并请你根据物理成绩与数学成绩的相关性，给出该生在学习数学、物理上的合理建议．

－12－17＋17－8＋8＋12解

(1)x＝100＋＝100，

7－6－9＋8－4＋4＋1＋6y＝100＋＝100，

72s2数学＝142，s物理＝2502，因为s2数学＞s物理，

7所以他的物理成绩更稳定．

^^(2)由于x与y之间具有线性相关关系，经计算得b＝0.5，a＝100－0.5×100＝50. ^所以线性回归方程为y＝0.5x＋50. 当y＝115时，x＝130. 估计他的数学成绩是130分．

建议：进一步加强对数学的学习，提高数学成绩的稳定性，将有助于物理成绩的进一步提高．