二次根式的混合运算优质课教案

7 二次根式

第1课时

二次根式的概念和性质

教学目标

【知识与技能】

1.了解二次根式及最简二次根式的概念.

2.会化简二次根式.

3.理解并掌握二次根式的性质.

【过程与方法】

经历观察、分析、讨论、归纳二次根式及最简二次根式的过程,发展学生的归纳概括能力和语言表达能力.

【情感、态度与价值观】

积极参与数学活动,感受数学活动充满了探索性和创造性,体会到数学学习的乐趣.

教学重难点

【重点】

理解并掌握二次根式及最简二次根式的概念,化简二次根式.

【难点】

化简二次根式.

教学过程

一、知识回顾,引入新课

师:同学们还记得平方根的概念吗?

生:记得.一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根.

师:什么叫做算术平方根呢?

生:正数的正的平方根以及零的平方根,统称算术平方根.

师:很好!非负数a的算术平方根用(a≥0)表示.一般地,例如(a≥0)的式子,我们叫做二次根式.这就是今天这节课我们要学习的内容.

二、讲授新课

师:请同学们观察下列代数式,你能发现它们有什么共同特征吗?

,,,,(其中b=24,c=25).

生:它们都含有开方运算,并且被开方数都是非负数.

师:很好!一般地,例如(a≥0)的式子,叫做二次根式,a叫做被开方数.那么二次根式具有什么性质呢?下面我们一起来探究一下.请同学们完成以下填空:

=

,×=

;

=

,×=

;

=

,×=

;

=

,÷=

.

学生独立完成填空,然后集体订正.并根据上面的猜想,估计下列式子是否相等,再借助计算器验证.

=

,÷=

.

师:请同学们比较左右两边的等式,你发现了什么?你能用字母表示你发现的规律吗?

学生分组讨论交流,然后由小组代表发言,教师予以补充完善.

师:通过刚才的探究,我们可以发现积的算术平方根的性质和商的算术平方根性质.即:

(1)积的算术平方根的性质:积的算术平方根,等于积中各因式的算术平方根的积(各因式必须是非负数),即=·(a≥0,b≥0);

(2)商的算术平方根的性质:商的算术平方根,等于被除式的算术平方根除以除式的算术

平方根.(被除式必须是非负数,除式必须是正数),即=(a≥0,b>0).

师:知道了二次根式的这些性质,下面我们来看几个例题,加深理解.

三、例题讲解

【例1】

化简:

(1);(2);(3).

【答案】

(1)=×=9×8=72;

(2)=×=5;

(3)==.

例1的化简结果5,中,被开方数中都不含分母,也不含能开得尽方的因数.一般地,被开方数不含分母,也不含能开得尽方的因数或因式,这样的二次根式,叫做最简二次根式.

化简时,通常要求最终结果中分母不含有根号,而且各个二次根式是最简二次根式.

【例2】

化简:

(1);(2);(3) .

【答案】

(1)==×=5;

(2)===;

(3)==.

判断最简二次根式的方法:通常将不含分母的被开方数分解因数或因式后,不含能开得尽方的因数或因式,即为最简二次根式.

【例3】

先化简,再求出下面算式的近似值(精确到0.01).

(1);(2);(3).

(合理应用二次根式的性质,可以帮助我们简化实数的运算.)

【答案】

(1)===·=12≈20.78;

(2)===≈1.01;

(3)===×=10-2×=0.01×≈0.02.

四、巩固练习

1.化简:

;(2);(3);(4)

【答案】

(1)165 (2)4 (3)

(4)

2.化简:-

【答案】

原式=-=.

3.若b>0,x<0,化简:-.

【答案】

原式=-=-=-=.

五、课堂小结

师

:通过这节课的学习,同学们有什么收获?能与大家分享一下吗?

学生发言,教师予以点评.