二次根式应用教学内容分析

16.1二次根式

一、教学目标 1.核心素养：

通过学习二次根式的性质以及二次根式的化简，培养学生逻辑能力和推理能力．

2.学习目标

（1）理解a(a0)是一个非负数和(a)2a(a0)，并能利用它们进行计算和化简. （2）理解并掌握a2a(a0)，并能利用这一结论进行计算和化简. 3.学习重点

应用(a)2a(a0)和a2a(a0)进行计算和化简

4.学习难点

二次根式基本性质的灵活应用. 二、教学设计

（一）课前设计

1.预习任务

任务1 阅读教程P3-P4，思考：二次根式的性质有是什么？

任务2 如何对a2进行化简？

2.预习自测

1．(9)2 ；(2)2 . 2. (a)2 (a0)；a2 (a0). 3. 若x1y20，则xy的值为（ ）

A.1 B.2 C. 3 D. 0 预习自测

1.9；2 2. a；a 3.C （二）课堂设计

1.知识回顾

（1）如果一个正数的平方等于a，那么这个数叫做a的算术平方根，规定0的算术平方根为0. （2）形如a(a0)的式子叫做二次根式. （3）二次根式有意义的条件：被开方数为非负数.

2.问题探究

问题探究一 如何理解二次根式a(a0)的双重非负性和(a)2a(a0)？★

活动1 如何理解二次根式a(a0)的双重非负性？

根据二次根式的定义得知a0，依据算术平方根的意义可知一个非负数的算术平方根是非负数，因此a(a0)具有双重非负性. 例1.若x2y10，求

(xy)2016的值. 【知识点：二次根式的性质】

详解：∵x20，y10，x2y10.∴x20,y10.∴x2,y1.∴(xy)2016(21)20161. 点拨：二次根式和绝对值都具有非负性，而两个非负数的和为零，则说明它们各自为零. 活动2 如何理解(a)2a(a0)？

例2.（1）边长为2的正方形的面积为 .（2）半径为5的圆的面积为 . （3）(0.5)2 . （4）(22) .（5）(0)2 . 5【知识点：二次根式的性质 思想方法：从特殊到一般】

详解：（1）2.（2）5.（3）0.5. （4）. （5）0 点拨：根据算术平方根的意义可知，2是一个平方等于2的非负数，所以(2)22，也可理解为：面积为2的正方形的边长为2，因此(2)22. 25因此可以得到一般性的结论：(a)2a(a0)

问题探究二 如何对二次根式a2进行化简？▲

例3.化简：22，0.52，02，(2)2，()2

【知识点：二次根式的性质 思想方法：从特殊到一般】

详解：22=2，0.52=0.5，02=0，(2)2=2，()2121212

点拨：根据算术平方根的意义，因为224，4的算术平方根是2，所以22=2；同理可得0.52=0.5，02=0，(2)2=2，()2归纳总结：a2a(a0)；当a0时，a2a. 3.课堂小结

【知识梳理】

（1）二次根式a(a0)具有双重非负性. （2）二次根式的性质：(a)2a(a0)

；a2a(a0)

【重难点突破】

（1）(a)2(a0)与a2的不同点：①意义不同：(a)2(a0)表示非负数a的算术平方根的平方；a2表示a的平方的算术平方根.②运算顺序不同：(a)2(a0)是先求非负数a的算术平方根，再进行平方运算；a2是先求a的平方，再求a的平方的算术平方根. （2）善于发现题目中的隐含条件，轻松突破二次根式的性质运用．如：化简(3.14)21212. ，题目中就隐含了3.14<π的条件

4.随堂检测

1. 若x2y30

，则(xy)2016的值为 ( ) A.1 B.-1 C.2016 D. 0 【知识点：二次根式的性质】

【参考答案】A 【思路点拨】绝对值和算术平方根都具有非负性，由于两个非负数的和为零，则它们本身为零，因此，x2,y3，(xy)2016(23)20161.

2. 计算：(23)2的值为 ( ) A．43 B．12 C．6 D．43

【知识点：二次根式的性质和化简】 【参考答案】B 【思路点拨】利用积的乘方等于积里各个因式分别乘方的积，即(ab)2a2b2可以得到. 3.下列各式计算正确的是（ ）

A. (6)26 B. (7)249 C. (16)216 D. ()2【知识点：二次根式的性质和化简】

【参考答案】A 【思路点拨】上述各式不是某种单一的计算，因此注意运算顺序是预防出错的关键. 4. 计算(3)2的结果是（ ）

A．-3

B．3

C．9

D．-9 4545 【知识点：二次根式的性质和化简】

【参考答案】B 【思路点拨】(3)2中，(3)29，(3)293. 5.已知x2，则x24x4化简的结果是（

）

A．x2 B．x2 C．x2 D．2x 【知识点：二次根式的性质和化简】

【参考答案】D 【思路点拨】x24x4(x2)2，∵

x2，∴x20，∴x24x4(x2)22x