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第十八章

平行四边形

小结与复习

要点梳理

考点讲练

课堂小结

课后作业

平行四边形

如果将一个三角形的两边分别平移,会得到什么图形？

颜色相同的两组对边，它们有怎样的位置关系呢？

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填一填：

角： 相等

边： 平行且相等

对角线： 互相平分

对称性： 中心对称

填一填：

角： 四个角都是直角.

边： 四条边相等.

对角线： 对角线相等且互相垂直平分. 对称性： 轴对称图形（4条对称轴）. A a D

a a B aC

矩形

活动：一个活动的平行四边形的一个内角进行改变,请同学们注意观察.

矩形

定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.

填一填

经过探究将矩形的性质填在下面横线上.

角：

四个角为90°

.

A

O

D B 对角线： 相等

. C

菱形

在平行四边形中，如果内角大小保持不变仅改变边的长度，就可以得到一个特殊的平行四边形

平行四边形

邻边相等

菱形

定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.

填一填

经过探究将菱形的性质填在下面横线上. B

四条边都相等

边：

A O

DC

.

平分一组对角

对角线：

互相垂直且

正方形

矩

形

邻边相等

正方形

发现：

一组邻边相等的矩形是正方形

菱

形

一个角是直角

发现：

正方形

一个角为直角的菱形是正方形

∟

正方形定义：

有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形.

填一填：

角： 四个角都是直角.

边： 四条边相等.

对角线： 对角线相等且互相垂直平分. 对称性： 轴对称图形（4条对称轴）. A a D

a a B aC

一、几种特殊四边形的性质

项目四边形

边

角

对角线

对称性

对边平行且相等

对边平行且相等

互相平分

中心对称图形

中心对称图形

轴对称图形

对角相等

四个角

都是直角

互相平分且相等

互相垂直且平分，每一条

中心对称图形

对边平行对角相等

且四边相等

轴对称图形

对角线平分一组对角

四个角对边平行且四边相等

都是直角

互相垂直平分且相等，每中心对称图形一条对角线平分一组对角

轴对称图形

二、几种特殊四边形的常用判定方法：

四边形

条件

1.定义：两组对边分别平行

3.两组对角分别相等

5.一组对边平行且相等

2.两组对边分别相等

4.对角线互相平分

平行四边形

矩形

菱形

1.

定义：有一个角是直角的平行四边形

2.

对角线相等的平行四边形

3.

有三个角是直角的四边形

1.

定义：一组邻边相等的平行四边形

2.

对角线互相垂直的平行四边形

3.

四条边都相等的四边形

1.

定义：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形

2.

有一组邻边相等的矩形

正方形

3.有一个角是直角的菱形

考点讲练

考点一

平行四边形的性质与判定

例1 如图，在▱ABCD中，∠ODA=90°，AC=10cm，

BD=6cm，则AD的长为（

A ）

A．4cm

B．5cm C．6cm D．8cm 解析：∵四边形ABCD是平行四边形，

AC=10cm，BD=6cm

∴OA=OC=

1 2 AC=5cm，OB=OD=

BD=3cm，

2

1∵∠ODA=90°，

∴AD=

OA-OD=4cm．

2 2

故选A．

方法总结

主要考查了平行四边形的性质，平行四边形的对角线互相平分，解题时还要注意勾股定理的应用.

针对训练

1.

如图，在▱ABCD中，对角线AC和BD 交于点O，AC=24cm，BD=38cm，

AD=28cm，则△BOC的周长是（

B ）

A．45cm C．62cm B．59cm D．90cm

例2 如图，已知▱ABCD中，AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，

分别交BC、AD于E、F．求证：AF=EC．

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠B=∠D，AD=BC，AB=CD，∠BAD=∠BCD，

∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，

1 1 ∴∠EAB=

∠BAD，∠FCD=

∠BCD，∴∠EAB= ∠FCD，

2

2

在△ABE和△CDF中

∠B＝∠D，

∴△ABE≌△CDF，∴BE=DF．

AB＝CD ，

∠EAB＝∠FCD，

∵AD=BC ，∴AF=EC．

方法总结

利用平行四边形的性质来证明线段或角相等是一种常用方法.

针对训练

2.

如图，四边形ABCD为平行四边形，延长BA至E，延长DC 至F，使BE=DF，AF交BC于H，CE交AD于G.

求证：∠E=∠F. 分析：四边形ABCD 是平行四边形

AB∥CD BE=DF，

AB=CD

E

AB∥CD，

AB=CD

AE∥CF，

AE=CF

B A G D C

F

H

四边形AFCE是

平行四边形

∠E=∠F

考点二

特殊平行四边形的性质与判定

例3 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，

过点A作AE∥BD，过点D作ED∥AC，两线相交于点E．

求证：四边形AODE是菱形；

证明：∵AE∥BD，ED∥AC，

∴四边形AODE是平行四边形. ∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，OA=OC=

1

AC，

OB=OD= 1 2

∴OA=OC=OD2 BD，

，

∴四边形AODE是菱形；

E A

DO

B

C

针对训练

3.

如图，O是菱形ABCD对角线的交点，作BE∥AC，CE∥BD，

BE、CE交于点E，四边形CEBO是矩形吗？说出你的理由. 解：四边形CEBO是矩形.

理由如下：已知四边形ABCD是菱形.

∴AC⊥BD.

∴∠BOC=90°. ∵DE∥AC,CE∥BD，

∴四边形CEBO是平行四边形.

∴四边形CEBO是矩形.

D A O

CB E

4.

如图，在四边形ABCD中, AB=BC ,对角线BD平分ABC ,

P 是BD上一点,过点P作PMAD ,

PNCD ,垂足分别为M、N. (1)

求证：ADB=CDB; (2)

若ADC=90,求证：四边形MPND是正方形.

证明：（1）∵AB = BC,BD平分∠ABC. ∴∠1=∠2. ∴△ABD≌△CBD (AAS). ∴∠ADB=∠CDB.

B 1 2

A P

C

MD N

（2）∵∠ADC=90°;

又∵PM⊥AD,PN⊥CD; A M

∴∠PMD=∠PND=90°. B P D

∴四边形NPMD是矩形. NC

∵∠ADB=∠CDB;

∴∠ADB=∠CDB=45°.

∴∠MPD=∠NPD=45°.

∴DM=PM,DN=PN.

∴四边形NPMD是矩形（有一组邻边相等的矩形是正方形）.

课堂小结

正

矩形

方

菱形形

平行四边形

四边形