原（逆）命题、原（逆）定理优秀教案范文

17.2

勾股定理的逆定理

【教学目标】

知识与技能:

1.理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系.

2.会用勾股定理的逆定理判断直角三角形.

过程与方法:

经历探索勾股定理的逆定理的过程,发展学生的推理能力和有条理的表达能力,培养学生的综合能力.

情感态度与价值观:

通过小组合作与交流,培养学生团结协作的精神和探索精神,有助于塑造他们挑战困难,挑战生活的勇气和信心.

【重点难点】

重点:理解并掌握勾股定理的逆定理,并会应用. 难点:勾股定理的逆定理的证明.

【教学过程】

一、创设情境,导入新课

小明做了一个长为40 cm,宽为30 cm的长方形模型,高兴地交给了老师,老师接过小明的模型,用刻度尺度量了模型的长宽所在的对角线,量得对角线的长为56 cm,然后老师指着模型对小明说:“这个角不是直角,你做的模型不合格.”小明不高兴地问老师:“老师,只通过直尺度量就能判断一个角不是直角吗?”

同学们有这样的疑问吗?老师通过直尺度量判断直角有没有根据?带着这些问题,我们学习本节知识.

二、探究归纳

活动1:互逆命题、互逆定理

1.问题1:下面几组数分别是一个三角形的边长a、b、c(单位:cm).

①3、4、5;②4、7、9;③6、8、10.

(1)这三组数都满足a+b=c吗?(2)尺规作图:分别以每组数为三边长作出三角形.(3)用量角器量一量,它们是直角三角形吗? 提示:(1)①③满足a+b=c,②不满足

(2)略

(3)①③是直角三角形,②不是直角三角形.

2.思考:根据上面的几个例子,你能提出一个数学命题吗? 3.归纳:如果一个三角形的三边长a,b,c满足_________________,那么这个三角形是___________

.

- 1 - 222222

答案:a+b=c

直角三角形

4.问题2:阅读,命题1 : 如果一个三角形是直角三角形,两直角边长为a,b,斜边长为c,那么a+b=c.

命题2 :如果一个三角形的三边长a,b,c满足a+b=c,那么这个三角形是直角三角形. (1)观察命题2与命题1,你有什么发现? 发现:两个命题的______、______正好相反,命题1的____是命题2的______;命题1的______是命题2的222222222______.我们把像这样的两个命题叫做________.如果把其中一个叫______,那么另一个叫做它的________.

(2)你能举出互逆命题的例子吗? (3)如果原命题正确,那么逆命题也正确吗?举例说明.

提示:(1)题设

结论

题设

结论

结论

题设

互逆命题

原命题

逆命题

(2)略

(3)不一定

略

5.思考:一个三角形各边长数量应满足怎样的关系时,这个三角形才是直角三角形呢? 提示:三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2时,

这个三角形是直角三角形.

活动2: 1.问题:已知△ABC中,BC=3,AC=4,AB=5,求证△ABC是直角三角形.

证明:如图,画一个Rt△A′B′C′,使B′C′=______,A′C′= ______,∠C′= ______°.

∵BC=3,AC=4,∴BC=______=3 ,AC=______=4,

由勾股定理,得A′B′2=B′C′2+A′C′2=______+______=______,

∴A′B′=______,

∵AB=5,∴AB=______ ,

在△ABC和△A′B′C′中, ∵

∴△ABC≌△A′B′C′(

) ∴∠C′= ______= ______°

∴△ABC是直角三角形.

- 2 -

提示:BC AC 90

B′C′

A′C′ 34

25

5

A′B′

BC=B′C′,AC=A′C′,AB= A′B′

SSS

∠2 2 C 90 2.思考:若△ABC的三边不是3、4、5,而是a,b,c,但同样满足a+b=c,你能证明△ABC是直角三角形吗? 提示:略

3.思考:如果一个定理的逆命题经过证明是正确的,那么它也是一个定理吗? 提示:是

归纳:1.如果三角形的三边长是a,b,c,满足a+b=c,那么这个三角形是直角三角形,是真命题,可以用来判定直角三角形,我们把它称为勾股定理的逆定理.

2.一般地,如果一个定理的逆命题经过证明是正确的,那么它也是一个定理,称这两个定理“互为逆定理”.

活动3:勾股数

思考:我们知道3、4、5是一组勾股数,那么3k、4k、5k(k是正整数)也是一组勾股数吗?一般地,如果a、b、222222c是一组勾股数,那么ak、bk、ck(k是正整数)也是一组勾股数吗? 提示:是

6.应用举例

【例1】

下列四个命题中:①对顶角相等;②同旁内角互补;③全等三角形的对应角相等;④两直线平行,同位角相等,其中是假命题的有________(填序号).

分析:要说明一个命题的正确性,一般需要推理、论证,而判断一个命题是假命题,只需举出一个反例即可.

解:①对顶角相等是真命题; ②同旁内角互补是假命题; ③全等三角形的对应角相等是真命题; ④两直线平行,同位角相等是真命题; 故是假命题有②.

答案:②

总结:要判断一个命题是假命题,只需举出一个反例即可.

【例2】

观察以下几组勾股数,并寻找规律:①4,3,5;②6,8,10;③8,15,17;④10,24,26;…,根据以上规律的第⑦组勾股数是(

) A.14、48、49 C.16、63、65

B.16、12、20 D.16、30、34 分析:根据前面的几组数可以得到每组勾股数与各组的序号之间的关系,如果是第n组数,则这组数中的第一个数是2(n+1),第二个是:n(n+2),第三个数是:(n+1)+1.根据这个规律即可解答.

- 3 - 2

解:选C.根据题目给出的前几组数的规律可得:这组数中的第一个数是2(n+1),第二个数是n(n+2),第三个数是(n+1)+1,故可得第⑦组勾股数是16,63,65.

总结:勾股数满足的条件

只要三个整数中,满足较小两个整数平方的和等于较大整数的平方,那么这三个整数就是一组勾股数.

【例3】

如图四边形ABCD是一块草坪,量得四边长AB=3 m,BC=4 m,DC=12 m,AD= 13 m,∠B=90°,求这块草坪的面积.

2

分析:连接AC,可以把四边形分割成两个三角形,由勾股定理及逆定理说明△ACD为直角三角形,利用三角形面积公式可求四边形ABCD的面积.

解:连接AC,在Rt△ABC中,AB=3 m,BC=4 m,∠B=90°,由勾股定理得AB+BC=AC,∴AC=5 m. 在△ADC中,AC=5 m,DC=12 m,AD=13 m ∵AC+DC=169,AD=169,∴AC+DC=AD , ∴△ACD为直角三角形,即∠ACD=90°. 所以四边形的面积=SRt△ABC+SRt△ADC

=AB×BC+AC×DC=×3×4+×5×12=36(m) 即这块草坪的面积是36 m.

22222222222

总结:应用勾股定理的逆定理判断三条线段能否构成直角三角形的方法

1.排序:把三条线段按由小到大排列; 2.计算:看较小两条线段边的平方和是否等于最大线段的平方; 3.结论:判断能否构成直角三角形.

三、交流反思

这节课我们学习了互逆命题(定理),探索了勾股定理的逆定理,掌握了直角三角形的判别条件(即勾股定理的逆定理),并能进行简单应用,理解勾股定理和勾股定理的逆定理之间的区别.

四、检测反馈

1.下列各组数中,是勾股数的为(

)

- 4 -

A.1,2,3

B.4,5,6

C.3,4,5

D.7,8,9 2.分别有下列几组数据:①6、8、10

②12、13、5

③7、8、15

④40、41、9.其中是勾股数的有(

) A.4组

B.3组

C.2组

D.1组

2223.把命题“如果直角三角形的两直角边长分别为a、b,斜边长为c,那么a+b=c”的逆命题改写成“如果……,那么……”的形式: __________________.

4.下列命题中,其逆命题成立的是________.(只填写序号)

①同旁内角互补,两直线平行; ②如果两个角是直角,那么它们相等; ③如果两个实数相等,那么它们的平方相等; ④如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.

5.叙述下列命题的逆命题,并判断逆命题是否正确.

(1)如果a3>0,那么a2>0; (2)如果三角形有一个角小于90°,那么这个三角形是锐角三角形; (3)如果两个三角形全等,那么它们的对应角相等; (4)关于某条直线对称的两条线段一定相等.

6.如图在△ABC中,AB=13,BC=10,BC边上的中线AD=12.求: (1)AC的长度; (2)△ABC的面积.

7.如图是一块地的平面图,AD=4 m,CD=3 m,AB=13 m,BC=12 m,∠ADC=90°,求这块地的面积.

五、布置作业

教科书第34页习题17.2第1,2,5题

六、板书设计

17.2

勾股定理的逆定理

一、互逆命题(定理)

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二、勾股数

三、勾股定理的逆定理

四、例题讲解

五、板演练习

七、教学反思

勾股定理的逆定理这节课的教学,我采用了体验探究的教学方式.在课堂教学中,我首先创设情境,提出问题;再让学生通过画图、测量、判断、找规律,猜想出一般的结论;然后由学生想、画、剪、叠,去验证结论……使学生自始至终感悟、体验、尝试到了知识的生成过程,品尝到成功的乐趣.这不仅使学生学到获取知识的思想和方法,同时也体会到在解决问题的过程中与他人合作的重要性,而且为学生今后获取知识以及探索、发现和创造打下了良好的基础,更增强了学生敢于实践、勇于探索、不断创新和努力学习数学知识的信心和勇气.对互逆命题,原命题,逆命题,互逆定理,逆定理等概念的讲解可随题点化,而详细讲解、随堂练习可做为第二课时的重点,挤出更多时间来做勾股定理逆定理的相应练习,特别是应加大有灵活度和难度的生活习题的练习,拓宽学生知识面,提高学生的发散思维能力.

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