二次根式的混合运算教案2

16.3 二次根式的混合运算

学习目标、重点、难点

【学习目标】

1、同类二次根式的概念；

2、二次根式的加减；

3、二次根式的混合运算；

【重点难点】

1、同类二次根式；

2、二次根式的混合运算；

知识概览图

同类二次根式

二次根式的加减

二次根式的加减

二次根式的混合运算

新课导引

如图所示，要在圆形的花坛的中心种花，外围栽草，并使得两个圆为同心圆，种花、草的面积分别为6.28 cm2，18.84 cm2，求种草的宽度.（π取3.14）

【问题探究】

由于种植花、草的面积分别为6.28 cm2，18.84 cm2，所以花坛的大、小圆的面积分别为25.12 cm2，6.28 cm2，求得它们的半径分别为25.12和6.28，当π取3.14时，它们的值分别为8和2，这实际上是求82，那么如何计算82呢？

【解析】82222（2-1）22.

教材精华

知识点1

同类二次根式

定义：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.同类二次根式与同类项类似.例如：3xy2和-xy2是同类项，-23与33是同类二次根式，32xy与y2xy也是同类二次根式.又如：需要化简后再判断，因为1223,2733，所以12与2712与27，是同类二次根式.对12和18来说，因为1223,1832，它们的被开方数不同，所以12与18不是同类的二次根式. 拓展

对同类二次根式的理解应注意以下几点：

（1）判断几个二次根式是否是同类二次根式时，首先将二次根式化为最简二次根式，其次看被开方数是否相同. （2）几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数和根指数有关，与根号外的系数无关. 全并同类二次根式. 将同类二次根式的系数相加减，根指数与被开方数保持不变. 例如：

332311333233.合并同类二次根式的方法与222整式加减中合并同类项类似，利用合并同类项的法则把二次根式的加减运算转化为系数（有理数）的加减运算. 拓展（1）二次根式的系数就是这个二次根式根号外的因式（或因数），它包含前面的符号. （2）当二次根式的系数为带分数时，必须将其化为假分数. （3）不是同类二次根式，千万不要合并. 知识点2

二次根式的加减

二次根式的加减实质上就是合并同类二次根式. 即先将各个二次根式都化成最简二次根式；再把其中的同类二次根式进行合并. 对于没有合并的二次根式，一定不要丢弃，要抄下来，它们也是结果的一部分.

√二次根式的加减运算实质上是化成最简二次根式，再合并同类二次根式. 在运算过程中，与整式的加减类似.交换律、结合律以及乘法分配律，去括号法则在二次根式的加减中仍然适用. √二次根式的加减步骤：

（1）先将每一个二次根式都化为最简二次根式. （2）判断哪些根式为同类二次根式，把同类二次根式合并为一组. （3）合并同类二次根式. 例如：（1）5032182852423242

(5434)282.

（2）272345332335335.

拓展

二次根式的加减法与二次根式的乘除法的区别如下表所示：

运算

系数

二次根式的乘除法

系数相乘除

二次根式的加减法

系数相加减

被开方数不变

被开方被开方数相乘除

数

化简

结果化成最简二次先化成最简二次根式，再合并同类二根式

次根式

知识点3

二次根式的混合运算

二次根式的混合运算实质上是有理数与无理数的混合运算，是二次根式的加、减、乘、除、乘方法则的综合应用. 在进行二次根式的混合运算时，应注意：

（1）二次根式的混合运算顺序和实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号的，先算括号里面的（或者先去括号）. （2）乘法运算的运算律以及乘法公式在二次根式中的运用. （3）二次根式运算的结果要最简，不能含有能合并的同类二次根式. 拓展

在进行二次根式的运算时，能用乘法公式的要尽量使用乘法公式，有时还需要灵活逆用公式，这样可以使计算过程大大简化. 【规律方法小结】

我们在学习同类二次根式的概念、二次根式的加减法时

就是采用类比的方法，类比整式中同类项的概念、整式的加减法来学习和掌握的. 探究交流

“33545”是否正确？为什么？

点拨

不正确，因为3与35不是同类二次根式，不能合并，这与合并同类项一样，不是同类的不能合并. 课堂检测

基本概念题

1、下列二次根式中，哪些是同类二次根式？

a12712a31323227，，-，，，b，2243，ab，3.

318b5a3b27a9ab基础知识应用题

2、

下列二次根式中，能够与8合并的是（

）

A. 3、计算. (1)80205;(2)27

B. 18

C. 49

D. 5

31240.568;

ba33(3)3bab3ab(a0,b0);aba11(4)a4b2bb.a综合应用题

4、满足不等式2(x1)5218的最小整数解是（

）

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5 探索创新题

5、在化简aaba时，有下列两种不同的方法：

aab法1：原式=a(ab)ab(ab)(ab)(ab)(ab)

aba(ab)ab(ab)(ab)

ab.

a(ab)ab(ab)(ab) 方法2：原式=ab.a(ab)abab这两种方法都正确吗？若有错误，说明理由. 体验中考

1、如果(22)2ab2(a，b为有理数），那么ab等于（

）

A.2

B.3

2、下列计算正确的是（

）

A.233356 C.(a)4a2a2 学后反思

C.8

D.10 B.(2+1)(1-2)=12D.（xy）-111

2xy4xy