复习参考题ppt配套的教学设计及说课稿

三角函数及解三角形

[高考领航]——————————————摸清规律

预测考情

2014

全国卷

2015

2018 考情

2017 预测

2018 (Ⅰ卷) T2(三角函数) T7(三角函数性质) T16(解三角形应用) (Ⅱ卷) T14(三角函数变换与性质) T17(解三角形) (大纲卷) T2(三角函数的定义) T14(三角函数性质) T18(解三角形) (Ⅰ卷) T8(三角函数图象) T17(解三角形) (Ⅱ卷) T17(解三角形) (Ⅰ卷) T4(解三角形) T6(三角函数图象) T12(三角函数性质) (Ⅱ卷) T3(三角函数图象) T11(三角函数性质) T15(解三角形) (Ⅲ卷) T6(三角变换与求值) T9(解三角形) T14(三角函数图象) (Ⅰ卷) T8(三角变换、性质、图象) T11(解三角形) T15(三角变换与求值) (Ⅱ卷) T3(三角函数性质) T13(三角函数变换、性质) T16(解三角形) (Ⅲ卷) T4(三角变换与求值) T6(三角变换与性质) T15(解三角形) 通过对近5年全国高考试题分分值：10析，可以－17分．

预测：题型：选2018年择、填空、高考三解答．

角函数题量：2主要以至3个．

图象变难度：中换、单调档偏下．

性、奇偶考点：三性、周期角函数图性、对称象变换与性最值性质；三等为热角恒等变点，结合换与求三角恒值；运用等变正、余弦换．三角定理解三形以正、角形. 余弦定理为中心，求角求边、求面积

考点一

三角恒等变换与解三角形

kπkπ1．诱导公式都可写为sin2＋α或cos2＋α的形式．



根据k的奇偶性：“奇变偶不变(函数名)，符号看象限”．

2．公式的变形与应用

(1)两角和与差的正切公式的变形

tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)；

tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)．

(2)升幂公式1＋cos α＝2cos2；1－cos α＝2sin2. 1－cos 2α1＋cos 2α2(3)降幂公式sinα＝；cosα＝. 2222α2α(4)其他常用变形

cos2α－sin2α1－tan2α2sin αcos α2tan αsin 2α＝2＝；cos 2α＝2＝；

sinα＋cos2α1＋tan2αcosα＋sin2α1＋tan2α1－cos αα2ααsin αcos2；tan＝1±sin α＝sin2±21＋cos α＝sin α. abc13．三角形面积S＝4R(R为外接圆半径)；S＝2(a＋b＋c)r(r为内切圆半径)；

11. P＝a＋b＋cS＝2PP－aP－bP－c24．在△ABC中，a＞b⇔A＞B⇔sin A＞sin B. π5．(1)若△ABC为锐角三角形，则A＋B＞2，sin A＞cos B，cos A＜sin B，a2＋b2＞c2；

π(2)若△ABC为钝角三角形(假如C为钝角)，则A＋B＜2，sin A＜cos B，cos A＞sin B. 6．在△ABC中，ccos B＋bcos C＝a. B＋CA7．sin A＝sin(B＋C)，sin 2＝cos 2. a＋b＋cabc8.sin A＝sin B＝sin C＝. sin A＋sin B＋sin C

错题在现

定远中学大二轮·数学理求求B4高考探究·真题自测考点突破·题型精析专题突破·提分特训定远中学大二轮·数学理求5B考点突破·题型精析专题突破·提分特训高考探究·真题自测

定远中学大二轮·数学理a=2求b2c2最大值6高考探究·真题自测考点突破·题型精析专题突破·提分特训

类型一

三角恒等变换及求值

π3[典例1]

(1)(2016·高考全国卷Ⅰ)已知θ是第四象限角，且sinθ＋4＝5，π则tanθ－4＝________. πππ解析：通解：将θ－4转化为θ＋4－2. π3由题意知sinθ＋4＝5，θ是第四象限角，所以

ππcosθ＋4>0，所以cosθ＋4＝π41－sinθ＋4＝5. 2π4cosθ＋45πππ14tanθ－4＝tanθ＋4－2＝－＝－＝－＝－ππ33. tanθ＋4sinθ＋45ππ优解：由题意知θ＋4为第一象限角，设θ＋4＝α，

ππππ. θ－α－－α∴θ＝α－4，∴tan＝tan＝－tan2423如图，在Rt△ACB中，不妨设∠A＝α，由sin α＝5可得，

π4BC＝3，AB＝5，AC＝4，∴∠B＝2－α，∴tan B＝3，

π4∴tanθ－4＝－tan B＝－3. 4答案：－3

3(2)(2016·高考全国卷Ⅲ)若tan α＝4，则cos2α＋2sin 2α＝(

) 64A.25

C．1

48B.25

16D.25

2cosα＋2sin 2α1＋4tan α32解析：通解：弦化切tan α＝4

，则cosα＋2sin 2α＝＝cos2α＋sin2α1＋tan2α64＝25. sin α3优解：猜想sin α及cos α的值．根据勾股数3,4,5及tan α＝cos α＝4

34可猜得sin α＝5，cos α＝5

423464∴cosα＋4sin αcos α＝5＋4×5×5＝25，故选A. 2答案：A 1＋sin βππ(3)设α∈0，2，β∈0，2，且tan α＝cos β，则(

) πA．3α－β＝2

πC．2α－β＝2

πB．3α＋β＝2

πD．2α＋β＝2

1＋sin βsin α1＋sin β解析：通解：由tan α＝cos β得cos α＝cos β，即sin αcos β＝cos α＋sin ππβcos α，所以sin(α－β)＝cos α，又cos α＝sin2－α，所以sin(α－β)＝sin2－α，πππππππ又因为α∈0，2，β∈0，2，所以－2＜α－β＜2，0＜2－α＜2，因为α－β＝2π－α，所以2α－β＝2，故选C. α1－cos α优解一：∵tan 2＝sin α，

1＋sin β由tan α＝cos β知，α、β应为2倍角关系，A、B项中有3α，不合题意，πC项中有2α－β＝2.

π1＋sin2α－21＋sin βπ把β＝2α－2代入cos β＝π

cos2α－21－cos 2α＝sin 2α＝tan α，题设成立．故选C. π＋β1－cos1＋sin βπβ2优解二：cos β＝＝tan4＋2

πsin2＋βππππββ∴tan α＝tan4＋2

又∵α∈0，2，β∈0，2，∴2∈0，4，

πβπππβ∴4＋2∈4，2，∴α＝4＋2，

ππ∴2α＝2＋β，∴2α－β＝2.故选C. 答案：C [母题变式] 在本例(2)中，求sin2α＋2cos 2α的值．

92－1623sin2α＋2cos2α－sin2α2－tan2α2解析：sinα＋2cos 2α＝＝2＝9＝25. sin2α＋cos2αtanα＋11＋16

1．三角函数恒等变换“四大策略”

(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45°等；

(2)项的分拆与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等；

(3)降幂与升幂：正用二倍角公式升幂，逆用二倍公式降幂；

(4)弦、切互化：切化弦，弦化切，减少函数种类．

2．解决条件求值问题的三个关注点

(1)分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角来表示未知角．

(2)正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示．

(3)求解三角函数中给值求角的问题时，要根据已知求这个角的某种三角函数值，然后结合角的取值范围，求出角的大小．

[自我挑战] 1．已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos2α的值是________．

解析：由sin α＋2cos α＝0得tan α＝－2. 22sin αcos α－cosα2tan α－12×－2－1－52∴2sin αcos α－cosα＝＝2＝＝5＝sin2α＋cos2αtanα＋1－22＋1－1. 答案：－1 π7272．已知sinα－4＝10，cos 2α＝25，则sin α等于(

) 4A.5

3C．－5

4B．－5

3D.5

π72解析：选D.(1)由sinα－4＝10，

ππ72得sin αcos4－cos αsin4＝10，

7即sin α－cos α＝5，①

7722又cos 2α＝25，所以cosα－sinα＝25，

7即(cos α＋sin α)·(cos α－sin α)＝25，

1因此cos α＋sin α＝－5.②

3由①②得sin α＝5，故选D.

类型二

正、余弦定理的简单应用

π1[典例2]

(1)(2016·高考全国卷Ⅲ)在△ABC中，B＝4，BC边上的高等于3BC，则sin A＝(

) 3A.10

5C.5

10B.10

310D.10

解析：通解：设BC边上的高为AD，则BC＝3AD，DC＝2AD，所以AC＝ACBC5AD3ADAD＋DC＝5AD.由正弦定理，知sin 45°＝sin A，即＝sin A，解得sin A2222310＝10，故选D. 优解：设出BC长度求边，用正弦定理求sin A. 设BC＝3，则高AD＝BD＝1，DC＝2. 23×2310∴AC＝5，∴sin A＝＝10. 5答案：D (2)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(2＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，则△ABC面积的最大值为________．

解析：通解：∵a＝2，又(2＋b)·(sin A－sin B)＝(c－b)sin C

可化为(a＋b)(a－b)＝(c－b)·c，∴a2－b2＝c2－bc，∴b2＋c2－a2＝bc. b2＋c2－a2bc1∴2bc＝2bc＝2＝cos A，又0＜A＜180°，

∴∠A＝60°.∵在△ABC中，4＝a2＝b2＋c2－2bc·cos 60°＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc(“＝”当且仅当b＝c时取得)，

113∴S△ABC＝2·bc·sin A≤2×4×2＝3.

a24优解：求出A＝60°，由sin A＝2R＝sin 60°＝可知，

3△ABC的外接圆大小确定，要使三角形面积最大，当且仅当顶点A到BC1的距离最大，即为等边三角形时，S＝2×22×sin 60°＝3. 答案：3

1．解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则考虑两个定理都有可能用到．

2．关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角恒等变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”．

[自我挑战] 1．在△ABC中，AC＝7，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于(

) 3A.2

3＋6C.2

33B.2

3＋39D.

4解析：选B.由余弦定理得AC2＝BC2＋AB2－2AB·BCcos B，即(7)2＝22＋AB2－2×2AB·cos 60°，即AB2－2AB－3＝0，得AB＝3，故BC边上的高是ABsin 60°33＝2. 2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知sin(B＋A)＋sin(Bπ－A)＝3sin 2A，且c＝7，C＝3，则△ABC的面积是(

) 33A.4

21C.3

73B.6

3373D.4或6

解析：选D.sin(B＋A)＋sin(B－A)＝3sin 2A，即2sin Bcos A＝6sin Acos A．当ππ211cos A＝0时，A＝2，B＝6，又c＝7，得b＝3.由三角形面积公式知S＝2bc73＝6；当cos A≠0时，由2sin Bcos A＝6sin Acos A可得sin B＝3sin A，根据正a2＋b2－c2a2＋9a2－7π1弦定理可知b＝3a，再由余弦定理可知cos C＝2ab＝＝cos26a3＝2，133可得a＝1，b＝3，所以此时三角形的面积为S＝2absin C＝4.综上可得三角形7333的面积为6或4，所以选D. 大题规范——学会踩点

规范解答

类型三

正余弦定理的综合应用

[典例3]

(本小题满分12分)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin C＝－3cos Acos B，tan Atan B＝1－3，c＝10. sin A＋sin B(1)求的值；

a＋b11(2)若a＋b＝1，求△ABC的周长与面积．

规范解答：(1)由sin C＝－3cos Acos B可得sin(A＋B)＝－3cos Acos B，

即sin Acos B＋cos Asin B＝－3cos Acos B，因为tan Atan B＝1－3，所以A，πB≠2，两边同时除以cos Acos B，得到tan A＋tan B＝－3，因为tan(A＋B)＝tan(πtan A＋tan B－3－C)＝－tan C，tan(A＋B)＝＝＝－3，所以tan C＝3，1－tan Atan B1－1＋33分

得分点①

π又0＜C＜π，所以C＝3.4分

得分点②

abc102根据正弦定理得sin A＝sin B＝sin C＝＝30，

332

22故a＝330sin A，b＝330sin B，5分

得分点③

故sin A＋sin Bsin A＋sin B30＝2＝.6分

得分点④

220a＋b330sin A＋330sin B222πa＋b－c(2)由(1)及余弦定理可得cos3＝2ab，

因为c＝10，所以a2＋b2－10＝ab，即(a＋b)2－2ab－10＝ab，8分

得分点⑤

11又由a＋b＝1可得a＋b＝ab，故(ab)2－3ab－10＝0，解得ab＝5或ab＝－2(舍去)，

此时a＋b＝ab＝5，所以△ABC的周长为5＋10，10分

得分点⑥

1π53△ABC的面积为2×5×sin3＝4，12分

得分点⑦

评分细则及说明：

①由已知条件及两角和正切公式推出tan C＝3得3分；

②由0＜C＜π得出角C得1分；

③由正弦定理推出a，b表达长得1分；

sin A＋sin B④求出的值得1分；

a＋bπ⑤利用(1)中C＝3及余弦定理推出(a＋b)2－2ab－10＝ab得2分；

11⑥由a＋b得a＋b＝ab等推出△ABC的周长得2分；

⑦求出△ABC的面积得2分．

1．注意利用第(1)问的结果：在题设条件下，如果第(1)问的结果第(2)问能用得上，可以直接用，有些题目不用第(1)问的结果甚至无法解决，如本题即是在第(1)问的基础上求解．

2．写全得分关键：在三角函数及解三角形类解答题中，应注意解题中的关键点，有则给分，无则不得分，所以在解答题时一定要写清得分关键点，如第(1)问中，没有将正弦定理表示出来的过程，则不得分；第(2)问中没有将面积表示出来则不得分，只有将面积转化为得分点⑦才得分．

类型四

三角形的交汇问题

3[典例4]

(2017·山东济南模拟)已知向量m＝(sin x，－1)，n＝cos x，2，函数f(x)＝(m＋n)·m

(1)求函数f(x)的单调递增区间；

π(2)将函数f(x)的图象向左平移8个单位得到函数g(x)的图象，在△ABC中，A6角A，B，C所对边分别为a，b，c，若a＝3，g2＝6，sin B＝cos A，求b的值．

1解：(1)由题意：m＋n＝(sin x＋cos x，2)，

1∴f(x)＝(m＋n)·m＝sin x＋cos x，2·(sin x，－1) 111＝sinx＋sin x·cos x－2＝2sin 2x－2cos 2x

2π2＝2sin2x－4，

πππ令2kπ－2≤2x－4≤2kπ＋2，k∈Z，

π3πkπ－8≤x≤kπ＋8，k∈Z，

π3π∴函数f(x)的单调递增区间为kπ－8，kπ＋8，k∈Z. 2ππ2(2)由题意知g(x)＝2sin2x＋8－4＝2sin 2x，

A263∴g2＝2sin A＝6，∴sin A＝3，



66∴cos A＝±3，∵在△ABC中，sin B＝cos A＞0，∴sin B＝3. 63×3abasin B由正弦定理：sin A＝sin B，∴b＝sin A＝＝32. 33

三角函数和平面向量是高中数学的两个重要分支，内容繁杂，且平面向量与三角函数交汇点较多，向量的平行、垂直

、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.不论是哪类向量知识与三角函数的交汇试题，都会出现交汇问题中的难点，对于此类问题的解决方法就是利用向量的知识将条件转化为三角函数中的“数量关系”，再利用三角函数的相关知识进行求解.

教学反思：在教学设计时,对教学的每一个环节都强调了学生的主体地位,无一不

是由学生亲自参与,合作完成的,教师只是充当了指导者和合作伙伴

的角色,形成了一个自由的、开放的课堂。并通过本节课的学习希望

同学可以进一步熟练掌握正余弦定理，使同学们对三角函数在高考

中如何考有进一步的了解。并对高考中的三角函数题有清晰的认识，

并能熟练的解决。