2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示教学设计实例

第四章

第三讲

A组基础巩固一、选择题

1．(2017·内蒙古赤峰二中高三上学期第三次模拟数学试题)已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k＝导学号

30071303(

C

) 9A．－

2C．3

B．0

15D．

2

[解析]

(2a－3b)⊥c，可得(2a－3b)·c＝0，解出即可．

解：

2a－3b＝(2k－3，－6)，

∵(2a－3b)⊥c，

∴(2a－3b)·c＝2(2k－3)－6＝0，

解得k＝3.故选C．

2．(2016·长沙雅礼中学月考)已知a，b为单位向量，其夹角为60°，则(2a－b)·b＝导学号

30071304(

B

) A．－1

C．1

B．0

D．2 [解析]

由已知得|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝60°，

∴(2a－b)·b＝2a·b－b2＝2|a||b|cos〈a，b〉－|b|2

＝2×1×1×cos60°－12＝0，故选B．

→→3．已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量AB在CD方向上的投影为导学号

30071305(

A

) 32A．

232C．－

2315B．

2315D．－

2→→AB·CD153→→→→→[解析]

AB＝(2,1)，CD＝(5,5)，|CD|＝52，故AB在CD上的投影为＝＝2．

2→52|CD|4．(2016·湛江模拟)若平面向量a＝(－1,2)与b的夹角是180°，且|b|＝35，则b坐标为导学号

30071306(

D

)

A．(6，－3)

C．(－3,6)

B．(－6,3)

D．(3，－6) －x＋2ya·b[解析]

设b＝(x，y)，由两个向量的夹角公式得cos180°＝－1＝＝，

|a|·|b|5×35∴x－2y＝15，①

∵x2＋y2＝35，②

由①②联立方程组并解得x＝3，y＝－6，

即b＝(3，－6)，故选D．

简解：由题意可知b＝λa(λ<0) |b|35∴|b|＝λ|a|即|λ|＝＝＝3，∴λ＝3，即b＝(3，－6)．

|a|55．(2017·重庆一中期中)已知向量a＝(1,2)，b＝(x，－2)，且a⊥b，则|a＋b|＝导学号

30071307(

A

) A．5

C．42

B．5

D．31 [解析]

由a⊥b知a·b＝0，即x－4＝0，∴x＝4∴a＋b＝(5,0)∴|a＋b|＝5，故选A．

6．(2017·甘肃省武威十八中高三上学期第三次月考数学试题)已知非零向量a，b满足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)则a与b的夹角为导学号

30071308(

C

) πA．

32πC．

3πB．

25πD．

6[解析]

由已知向量垂直得到数量积为0，于是得到非零向量a，b的模与夹角的关系，求出夹角的余弦值．

解：由已知非零向量a，b满足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，设两个非零向量a，b的夹角为θ，

12π所以a·(2a＋b)＝0，即2a2＋|a||b|cosθ＝0，所以cosθ＝－，θ∈[0，π]，所以θ＝；故23选C．

→→→→AB·BCBC·CA7．(2017·湖南省示范性高中高三上学期百校联考数学试题)在△ABC中，＝32→→CA·AB＝，则sinA：sinB：sinC＝导学号

30071309(

C

) 1A．C．53

B．D．5

3

[解析]

由条件利用两个向量的数量积的定义可得2a2＋2c2－2b2＝3a2＋3b2－3c2＝6b2＋6c2－6a2＝k，由此求得a、b、c的值，利用正弦定理可得sinA：sinB：sinC的值．

→→→→→→AB·BCBC·CACA·AB解：△ABC中，∵＝＝，

321→→→→AB·BC·cosπ－BBC·CA·cosπ－C∴＝

32→→CA·AB·cosπ－A＝

1即ac·cosBab·cosCbc·cosA＝＝，

321222222b2＋c2－a2aca＋c－baba＋b－c即·＝·＝bc，

32ac22ab2bc即

2a2＋2c2－2b2＝3a2＋3b2－3c2＝6b2＋6c2－6a2，

设2a2＋2c2－2b2＝3a2＋3b2－3c2＝6b2＋6c2－6a2＝k，

求得

a2＝5k，b2＝3k，c2＝4k，

∴a＝5k，b＝3k，c＝4k＝2k，

∴由正弦定理可得a：b：c＝sinA：sinB：sinC＝532，故选C．

[点拨]

本题主要考查两个向量的数量积的定义，正弦定理，属于中档题．

→→→8．(2017·湖南长沙雅礼中学期中)在边长为2的正三角形△ABC中，设BC＝2BD，CA＝→→→3CE，则AD·BE导学号

30071310(

D

) A．－2

2C．－

38B．－

3D．－1 →1→→→2→→[解析]

由题意可知AD＝(AB＋AC)，BE＝AC－AB．

23

→→1→→→2→∴AD·BE＝(AB＋AC)(－AB＋AC) 2311→→2→2→＝(－|AB|2－AC·AB＋|AC|)＝－1，故选D．

233二、填空题

－29．(2016·全国卷Ⅰ)设向量a＝(x，x＋1)，b＝(1,2)，且a⊥b，则x＝.导学号

30071311

3

2[解析]

因为a＝(x，x＋1)，b＝(1,2)，a⊥b，所以x＋2(x＋1)＝0，解得x＝－．

310．(2016·北京)已知向量a＝(1，3)，b＝(3，1)，则a与b夹角的大小为π.导学号

30071312

6a·b233[解析]

a·b＝23，∴cos〈a，b〉＝＝＝，又〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉|a||b|2×22π＝．

611．已知a＝(－1，－2)，b＝(1,1)，且a与a＋λb的夹角为钝角，则实数λ的取值范围5为(－，0)∪(0，＋∞).导学号

30071313

3[解析]

∵a与a＋λb均为非零向量，且夹角为钝角，

∴a·(a＋λb)<0，即(－1，－2)·(1＋λ，2＋λ)<0．

∴(1＋λ)＋2(2＋λ)>0．

5∴λ>－．

3当a与a＋λb共线时，存在实数m，使a＋λb＝ma，

即(1＋λ，2＋λ)＝m(－1，－2)，

1＋λ＝－m，∴解得λ＝0．

2＋λ＝－2m，

即当λ＝0时，a与a＋λb共线，

5综上可知，实数λ的取值范围为(－，0)∪(0，＋∞)．

3三、解答题

12．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.导学号

30071314

(1)求a与b的夹角θ；

(2)求|a＋b|和|a－b|；

→→(3)若AB＝a，AC＝b，作△ABC，求△ABC的面积．

[答案]

(1)120°

(2)13，37

(3)33 [解析]

(1)由(2a－3b)·(2a＋b)＝61，

得4|a|2－4a·b－3|b|2＝61。

∵|a|＝4，|b|＝3，代入上式求得a·b＝－6．

－6a·b1∴cosθ＝＝＝－．

|a|·|b|4×32又θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°．

(2)可先平方转化为向量的数量积．

|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2

＝42＋2×(－6)＋32＝13，∴|a＋b|＝13．

同理，|a－b|＝a2－2a·b＋b2＝37．

(3)先计算a，b夹角的正弦，再用面积公式求值．

由(1)知∠BAC＝θ＝120°，

→→|AB|＝|a|＝4，|AC|＝|b|＝3，

1→→1∴S△ABC＝，|AC|·|AB|·sin∠BAC＝×3×4×sin120°＝33．

2213．(2016·南充模拟)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知向量m＝(c－2b，a)，n＝(cosA，cosC)且m⊥n.导学号

30071315

(1)求角A的大小．

→→(2)若AB·AC＝4求边BC的最小值．

[解析]

(1)∵向量m＝(c－2b，a)，

n＝(cosA，cosC)且m⊥n，

∴(c－2b)cosA＋acosC＝0，

∴sinCcosA＋sinAcosC＝2sinBcosA，

∴sin(A＋C)＝2sinBcosA，∴sinB＝2sinBcosA，

1π∴cosA＝.又∵A为三角形内角，∴A＝．

23→→(2)若AB·

AC＝4，即cb＝8．

由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2－bc．

≥2bc－bc＝bc＝8(当且仅当b＝c＝22时取等号) ∴即a≥22，所以边BC的最小值为22．

B组能力提升

1．(2016·大连模拟)若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a＋b与a－b的夹角是导学号

30071316(

C

) πA．

62πC．

3[解析]

∵|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，

∴a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2＝4a2，

∴a⊥b，b2＝3a2，

πB．

35πD．

6

a2－b21∴cos〈a＋b，a－b〉＝＝－，

2|a＋b||a－b|2π∴向量a＋b与a－b的夹角是，故选C．

3→→→→→→→→→2．(2016·四川)在平面内，定点A，B，C，D满足|DA|＝|DB|＝|DC|，DA·DB＝DB·DC＝DC·DA→→→→＝－2，动点P，M满足|AP|＝1，PM＝MC，则|BM|2的最大值是导学号

30071317(

B

) 43A．

437＋63C．

449B．

437＋233D．

4→→→→→→→→→[解析]

由|DA|＝|DB|＝|DC|知，D为△ABC的外心．由DA·DB＝DB·DC＝DC·DA知，D为△ABC的内心，所以△ABC为正三角形，易知其边长为23.取AC的中点E，因为M是111749→→PC的中点，所以EM＝AP＝，所以|BM|max＝|BE|＋＝，则|BM|2＝，选B．

max222243．(2017·北京市朝阳区高三上学期期末统一考试数学试题)在Rt△ABC中，∠A＝90°，→→→→→点D是边BC上的动点，且|AB|＝3，|AC|＝4，AD＝λAB＋μAC(λ>0，μ>0)，则当λμ取得最大→值时，|AD|的值为导学号

30071318(

C

) 7A．

25C．

2B．3

12D．

5→→→→[解析]

点D是边BC上的动点，则B，C，D三点共线，满足BC＝xBD，所以AD－AB＝1→→→→→→→→x(AC－AB)，即AD＝(1－x)AB＋xAC，又AD＝λAB＋μAC，所以λ＋μ＝1，λ＋μ≥2λμ，λμ≤，41→当且仅当λ＝μ＝时，等号成立，此时D为BC的中点，|BC|＝25|＝.故选C．

24．(2016·天星大联考)如图所示，平行四边形ABCD中，AB＝2AD＝2，∠BAD＝60°，E→→为DC的中点，那么AC与EB所成角的余弦值为导学号

30071319(

C

) →→→1→|AB|2＋|AC|2＝5，|AD|＝|BC2

A．7

7B．－7

7

C．7

14D．－7

14→→→→2→→2→→→1→→→21→→[解析]

AC＝AB＋AD，|AC|＝|AB＋AD|＝7；EB＝AB－AE＝AB－AD，|EB|＝|AB－AD22→→→→1→→1|＝1.故AC·EB＝(AB＋AD)·(AB－AD)＝，222→→AC·EB7→→AC，EB＝＝.故选C．

14→→|AC||EB|

133353另解：如图建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2,0)，D(，)，E(，)，C(，)，2222223→13→5∴AC＝(，)，EB＝(，－) 2222→→AC·EB7→→∴cos〈AC·EB〉＝＝．

→→14|AC|·|EB|5．(2016·福建莆田一中月考)已知a＝(2cosx＋23sinx,1)，b＝(y，cosx)，且a∥b.导学号

30071320

(1)将y表示成x的函数f(x)，并求f(x)的最小正周期；

A(2)记f(x)的最大值为M，a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C对应的边长．若f()2＝M，且a＝2，求bc的最大值．

[解析]

(1)由a∥b得2cos2x＋23sinxcosx－y＝0，

即y＝2cos2x＋23sinxcosx＝cos2x＋3sin2x＋1 π＝2sin(2x＋)＋1．

6π所以f(x)＝2sin(2x＋)＋1．

62π2π又T＝＝＝π，

ω2所以函数f(x)的最小正周期为π．

(2)由(1)易得M＝3，

A于是由f()＝M＝3，

2ππ即2sin(A＋)＋1＝3，得sin(A＋)＝1．

66π因为A为三角形的内角，故A＝．

3

由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得4＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，解得bc≥4，

当且仅当b＝c＝2时，bc取最大值4．