阅读与思考 三角学与天文学国家获奖教案

1.1.1任意角

教案

一、

教材分析

1、本节教材的地位和作用：

本课是数学必修4第一章三角函数中第一节的第一课时。三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型。这一节中包括任意角、终边相同的角的表示方法和象限角三个内容。角的概念的推广正是这一思想的体现之一，是初中相关知识的自然延续。为进一步研究角的和、差、倍、半关系提供了条件，也为今后学习解析几何、复数等相关知识提供有利的工具，所以学生正确的理解和掌握角的概念的推广尤为重要。

2、教学目标：

知识与技能目标

：

（1）推广角的概念，理解并掌握正角、负角、零角的定义；

（2）理解任意角以及象限角的概念；

（3）掌握所有与角a终边相同的角（包括角a）的表示方法； 过程与方法目标

：

（1）提高学生的计算能力,归纳概括能力和类比思维能力；

（2）通过画图和判断角的象限，培养学生数形结合的思想方法；

情感态度与价值观目标：

（1）创设问题情景，激发分析探求的学习态度，强化参与意识；

（2）学会运用运动变化的观点认识事物. 3、教学重点、难点：

重点：理解任意角中正角、负角和零角和象限角的定义。

难点: 终边相同的角的表示方法。

二、学生情况分析

学生在初中就已经学过角的定义。从学生学过的东西出发，结合实际生活中的例子，将任意角的范围扩展到大于360度，可以引发学生的的认知冲突，激发学生的求知欲望，为这节课的顺利进行提供了有利的条件。

三、教法学法

教法分析：

探索与发现新知识是教学的重点。所以在教学中主要采用以问题驱动、层层铺垫，从特殊到一般启发学生获得新知识。

学法指导：

建构主义学习理论认为，学习是学生积极主动的建构知识的过程，学习应该与学生熟悉的知识背景相联系。

在教学中，采用自主探索与合作交流的学习方式，让学生在问题情境中，经历知识的形成和发展，通过观察、操作、归纳、思考、探索、交流、反思参与学习，认识和理解数学知识，学会学习，发展能力。

四、教学过程

环节

教学内容设计

设计意图

师生双边互动

从今天开始我们要学习必修四上的内容了，第一章是什么？高中三角函数实际上是对初中的三角函前言

数的推广。在学习三角函数推广之前首先要对角的概念进行推广。今天就来学习第一章第一节中的任意角。

必修1和必修四进行衔接。 老师提问，学生根据让学生大体了解实际情况回答。

下必修四第一章的内容是什么。

学生：针对上述问题，组织学生进行问题。但在回答后面一个问题是会发现问题，从而引起认知冲突。

教师：[取出一个钟表,实际操作]我们发现，分针需要顺时针或逆时针旋转，有时转不到一周，有时转一周以上,这就是说角已不仅仅局限于0360之间。

实际上，在初中角的定义下，生活中很多角是不能被描述的。那怎么办呢？

思考：初中角的定义是什么？

创设情境，引发兴趣

一、

（模拟时钟上时钟旋转角导入

度学生观察所表述的状态，并且回答问题）

提出问题，引发学生的认识冲突，说明角的概念扩展的必要性。

衔接

今天我们就来解决这个问题，在今后的数学中，角的概念是由旋转形成的。

1．任意角概念的引入

（旋转成角）

⑴.

二、教

学内

容

教师：提出问题

学生：回答问题

结合具体的教师：角可以看成平面内实例，感受角的一条射线绕着端点从一个概念推广的必要位置旋转到另一个位置所性。

成的图形.如图1.1-1。

教师：提供一个例子进行 演示。

让学生认识学生：组织讨论

到刻画这些角不教师：引导学生从旋转量、仅要用旋转量，旋转方向这两个方面进行还要用旋转方思考。

向。

教师：定义角的正角、负

角和零角的概念。

利用新概念学生：观察图1.1－2,1.1重新认识问题。

—3，1.1——4进一步认

识正角、负角、零角。

通过尝试探 学生：画图探究，讨⑵.举出不在0360的角究，由学生感受论、交流，任意角是怎么的实例，学生自己尝试画图正角、负角的形表示的。

探究。

成过程，进一步

 -750º

理解感念。

 420º

教师进行总结：角的旋转量决定角的大小，选装方向决定角的正负。

2．终边相同的角表示

教师：提问画图过程中发思考：角的始边都一样OA。

现“终边相同”的两个角以OB为终边的角有几个？

的关系。

（1）

学生思考这两个角是否一

样大，有什么共同点。

α

α

α

α

β

β

β

β

（2）与α终边相同的角的表示方法.

S={β׀β=α+360ºk,kZ}

（3）探究

思考：锐角是第几象限角，第一象限角一定是锐角吗？

试想：都有哪些角的终边与30度角的终边相同？

3.例题讲解

例1：做出下列各角。

 -75º

 780º

例2.在0~360度范围内，找出与850度角终边相同的角。

例2.在0~360度范围内，找出与850度角终边相同的角。

探究终边相同的角之间的关系，理解并掌握终边相同的角之间的关系。

从特殊到一般，从两个终边相同的角的关系延伸到所有终边相同的角的关系。利用列举找到规律的方法来探究终边相同的角之间的关系，直观展现。

进一步理解终边相同的角的含义。

学生：探究

教师：问题驱动

学生：口答

教师：通过任务驱动的形式引导学生探索规律，找到答案。

通过终边相同的角的含义的学习学生探究这个问题，并且说清楚理由。

通过例题和练习，进一步理解任意角、象限角和终边相同的角。将抽象的问题具体化，便于学生理解。

教师：分析，板书。

讲解例1第1小题，画出始边，用正确的方向画出角的大小，画出终边。标清始边、终边、旋转方向和角度的大小。

学生：自己练习第二小题。

教师：详细讲解例2.例3.

1．做出390º角。

2.

在在0~360度范围内，找三、

出与下列各角终边相同的尝

角。

试

-510º

练

1140º

习

-45º

通过练习，掌握角的表示、终边相同的角的表示方法。

学生：尝试独立完成练习

教师：巡视，个别辅导

学生：回答结果

教师：给出评价

让学生复习1. 本节主要内容，四、

2. 完善学生的认知回顾

结构，体会数学小结

思想方法。

作业：教科书P5练习第5关注学生的能力题

差异

学生：回答，讨论交流，补充

教师：归纳总结，突出重点知识；

解决学生的疑惑点。

五、教学反思

1.学生在初中已经接触到角的定义，角的范围仅限于 0--360 。结合实际生活中的例子，由教材的“思考”出发，引发学生的的认知冲突，激发学生的求知欲望，让学生体会角的推广的必要性。(让学生利用类比和数形结合的思想，在动态的过程中（借助几何画板）体会“既要知道旋转量，又要知道旋转方向”才能准确的刻画角的形成过程的道理。) 2．“终边相同的角之间的关系”的学习，可以从特例出发，通过填空的方式，使学生经历由具体数值到一般的k值的抽象过程，学生易于接受。(建立适当的直角坐标系，画出任意角，并测出角的大小，同时旋转角的终边，让学生观察角的变化规律，从而将数与形联系起来，使角的几何表示和集合表示相结合。)