复习参考题名师教学视频（文字实录）

专题:概率与统计

1.某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30 之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是(

) A.

B.

C.

D.

2.已知x与y之间的一组数据:

x

0

y

m

1

2

3

5.5

3

7

已求得关于y与x的线性回归方程为=2.1x+0.85,则m的值为(

) A.1 B.0.85 C.0.7 D.0.5 3.某市2016年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如下:

则这组数据的中位数是(

) A.19 B.20 C.21.5 D.23 4.某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度(支持与不支持)的关系,运用2×2列联表进行独立性检验,经计算K2=7.069,则认为“学生性别与支持该活动有关系”犯错误的概率为(

) 附:

P(K2≥k0)

0.100

0.050

0.025

0.010

0.001

k0

2.706

3.841

5.024

6.635

10.828

A.0.999 B.0.99 C.0.01 D.0.001 5.为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系,随机调查了该社区5户家庭,得到如下统计数据表:

收入x(万元)

8.2

8.6

10.0

11.3

11.9

支出y(万元)

6.2

7.5

8.0

8.5

9.8

根据上表可得回归直线方程15万元家庭的年支出为(

) A.11.4万元

x+,其中=0.76,.据此估计,该社区一户年收入为

B.11.8万元

C.12.0万元

D.12.2万元

6.

如图,点A的坐标为(1,0),点C的坐标为(2,4),函数f(x)=x2.若在矩形ABCD内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于

.

7.有一个底面圆的半径为1,高为2的圆柱,点O为这个圆柱底面圆的圆心,在这个圆柱内随机取一点P,则点P到点O的距离大于1的概率为

.

8.(2017江苏,3)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件.为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取

件.

10.某工厂36名工人的年龄数据如下表:

工人编年工人编年工人编年工人编年号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

龄

号

40

10

44

11

40

12

41

13

33

14

40

15

45

16

42

17

43

18

龄

号

36

19

31

20

38

21

39

22

43

23

45

24

39

25

38

26

36

27

龄

号

27

28

43

29

41

30

37

31

34

32

42

33

37

34

44

35

42

36

龄

34

39

43

38

42

53

37

49

39

(1)用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本,且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44,列出样本的年龄数据; (2)计算(1)中样本的均值和方差s2; (3)36名工人中年龄在-s与+s之间有多少人?所占的百分比是多少(精确到0.01%)?

11.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(单位:t)与相应的生产能耗y(单位:吨标准煤)的几组对照数据.

x

3

4

5

6

y

2.5

3

4

4.5

(1)请画出上表数据的散点图; (2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程x+; (3)已知该厂技术改造前生产100 t甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据(2)求出的线性回归方程,预测生产100 t甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤? (参考数值:3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5)

思维提升训练

12.(2017全国Ⅲ,理3)某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图.

根据该折线图,下列结论错误的是(

) A.月接待游客量逐月增加

B.年接待游客量逐年增加

C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月

D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳

13.某产品在某零售摊位的零售价x(单位:元)与每天的销售量y(单位:个)的统计资料如下表所示:由表可得回归直线方程(

)

x

16

17

18

19

y

50

34

41

31

x+中的=-4,据此模型预测零售价为15元时,每天的销售量为

A.51个

B.50个

C.49个

D.48个

14.(2017山东,理8)从分别标有1,2,…,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次,每次抽取1张.则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是(

) A.

B.

C.

D.

15.从区间[0,1]随机抽取2n个数x1,x2,…,xn,y1,y2,…,yn,构成n个数对(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其中两数的平方和小于1的数对共有m个,则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为(

) A.

B.

C.

D.

16.如图,在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆,则它落到阴影部分的概率为

.

17.记集合A={(x,y)|x2+y2≤4}和集合B={(x,y)|x+y-2≤0,x≥0,y≥0}表示的平面区域分别为Ω1和Ω2,若在区域Ω1内任取一点M(x,y),则点M落在区域Ω2的概率为

.

18.A,B,C三个班共有100名学生,为调查他们的体育锻炼情况,通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间,数据如下表(单位:小时):

ABC6

6.5

7

7.5

8

班

6

7

8

9

10

11

12 班

3

4.5

6

7.5

9

10.5

12

13.5

班

(1)试估计C班的学生人数; (2)从A班和C班抽出的学生中,各随机选取一人,A班选出的人记为甲,C班选出的人记为乙.假设所有学生的锻炼时间相互独立,求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率; (3)再从A,B,C三个班中各随机抽取一名学生,他们该周的锻炼时间分别是7,9,8.25(单位:小时),这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为μ1,表格中数据的平均数记为μ0,试判断μ0和μ1的大小.(结论不要求证明) 19.某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查,在高三的全体1 000名学生中随机抽取了100名学生的体检表,并得到如下直方图:

(1)若直方图中前三组的频数成等比数列,后四组的频数成等差数列,试估计全年级视力在5.0以下的人数; (2)学习小组成员发现,学习成绩突出的学生,近视的比较多,为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系,对年级名次在1~50名和951~1 000名的学生进行了调查,得到如下数据:

年级名次

951~1 1~50

000

41

32

9

18

是否近视

近视

不近视

根据表中的数据,能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系? (3)在(2)中调查的100名学生中,按照分层抽样在不近视的学生中抽取了9人,进一步调查他们良好的护眼习惯,并且在这9人中任取3人,记名次在1~50名的学生人数为X,求X的分布列和数学期望.

附:

P(K2≥k0)

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

k0

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

K2=

,其中n=a+b+c+d.

20.心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关,某数学兴趣小组为了验证这个结论,从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学(男30女20),给所有同学几何题和代数题各一题,让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如下表:(单位:人)

男同学

女同学

几何代数总题

22

8

题

8

12

20

计

30

20

50

总计

30

(1)能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为视觉和空间能力与性别有关? (2)经过多次测试后,甲每次解答一道几何题所用的时间在5至7 min,乙每次解答一道几何题所用的时间在6至8 min,现甲、乙各解同一道几何题,求乙比甲先解答完的概率.

(3)现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究,记甲、乙两女生被抽到的人数为X,求X的分布列及数学期望E(X).

附表及公式

P(K2≥k0)

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

k0

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

K2=

,其中n=a+b+c+d.

参考答案

专题能力训练20

概率、统计与统计案例

能力突破训练

1.B

解析这是几何概型问题,总的基本事件空间如图所示,共40分钟,等车时间不超过10分钟的时间段为7:50至8:00和8:20至8:30,共20分钟,故他等车时间不超过10分钟的概率为P=,故选B.

2.D

解析由题意,得=1.5,得m=0.5.

3.B

解析由茎叶图可知,这组数据的中位数为=20.

(m+3+5.5+7)=,将()代入线性回归方程=2.1x+0.85,4.C

解析因为K2=7.069>6.635,所以P(K2>6.635)=0.010,所以说在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“学生性别与支持该活动有关系”.

5.B

解析=10,=8, -0.76=8-0.76×10=0.4.

=0.76x+0.4.

当x=15时,=0.76×15+0.4=11.8.

6

解析∵S阴影=(4-x2)dx=,S矩形ABCD=4, ∴P=

7

解析设“点P到点O的距离大于1”为事件A,则表示事件“点P到点O的距离小于或等于1”.在圆柱内以O为球心,以1为半径作半球,则半球的体积V半球=13=, 又V圆柱=π×12×2=2π,由几何概型,P()=故所求事件A的概率P(A)=1-P()=1-

8.18

解析抽取比例为,故应从丙种型号的产品中抽取300=18(件),答案为18.

9.解(1)当乘客P1坐在3号位置上,此时P2的位置没有被占,只能坐在2位置,P3位置被占,可选剩下的任何一个座位,即可选1,4,5;当P3选1位置,P4位置没被占,只能选4位置,P5选剩下的,只有一种情况;当P3选4位置,P4可选5位置也可选1位置,P5选剩下的,有两种情况;当P3选5位置,P4只可选4位置,P5选剩下的,有一种情况,填表如下:

乘客

P1

P2

P3

P4

P5

3

2

1

4

5

座位3

2

4

5

1

号

3

2

4

1

5

3

2

5

4

1

(2)若乘客P1坐到了2号座位,其他乘客按规则就坐,则所有可能的坐法可用下表表示:

于是,所有可能的坐法共8种.

设“乘客P5坐到5号座位”为事件A,则事件A中的基本事件的个数为4,所以P(A)=

所以乘客P5坐到5号座位的概率是

10.解(1)依题意知所抽取的样本编号是一个首项为2,公差为4的等差数列,故其所有样本编号依次为2,6,10,14,18,22,26,30,34,对应样本的年龄数据依次为44,40,36,43,36,37,44,43,37.

(2)由(1)可得其样本的均值

=40, 方差s2=[(44-40)2+(40-40)2+(36-40)2+(43-40)2+(36-40)2+(37-40)2+(44-40)2+(43-40)2+(37-40)2]=[42+02+(-4)2+32+(-4)2+(-3)2+42+32+(-3)2]=

(3)由(2)知s=, 所以-s=36+s=43

因为年龄在-s与+s之间共有23人, 所以其所占的百分比是63.89%.

11.解(1)由题设所给数据,可得散点图如图.

(2)由对照数据,计算得=86,=4.5(t),=3.5(t).

已知xiyi=66.5, 所以由最小二乘法确定的回归方程的系数为

=0.7, =3.5-0.7×4.5=0.35.

因此,所求的线性回归方程为=0.7x+0.35.

(3)由(2)的回归方程及技术改造前生产100 t甲产品的生产能耗,得降低的生产能耗为90-(0.7×100+0.35)=19.65(吨标准煤).

思维提升训练

12.A

解析由题图可知2014年8月到9月的月接待游客量在减少,故A错误.

13.C

解析由题意知=17.5,=39,代入回归直线方程得=109,即得回归直线方程=-4x+109,将x=15代入回归方程,得=-4×15+109=49,故选C.

14.C

解析从分别标有1,2,…,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次,每次抽取1张,共有不同情况.其中2张卡片上的数奇偶性不同的有(种)种情况,则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率P=故选C.

15.C

解析利用几何概型求解,由题意可知,,所以π=

16

解析∵S阴=2(e-ex)dx=2(ex-ex)=2,S正方形=e2,∴P=

17

解析作圆O:x2+y2=4,区域Ω1就是圆O内部(含边界),其面积为4π.

区域Ω2就是图中△OAB内部(含边界),且S△OAB=22=2.

由几何概型,点M落在区域Ω2的概率P=

18.解(1)由题意知,抽出的20名学生中,来自C班的学生有8名.根据分层抽样方法,C班的学生人数估计为100=40.

(2)设事件Ai为“甲是现有样本中A班的第i个人”,i=1,2,…,5, 事件Cj为“乙是现有样本中C班的第j个人”,j=1,2,…,8.

由题意可知,P(Ai)=,i=1,2,…,5;P(Cj)=,j=1,2,…,8.

P(AiCj)=P(Ai)P(Cj)=,i=1,2,…,5,j=1,2,…,8.

设事件E为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”.

由题意知,E=A1C1∪A1C2∪A2C1∪A2C2∪A2C3∪A3C1∪A3C2∪A3C3∪A4C1∪A4C2∪A4C3∪A5C1∪A5C2∪A5C3∪A5C4.

因此P(E)=P(A1C1)+P(A1C2)+P(A2C1)+P(A2C2)+P(A2C3)+P(A3C1)+P(A3C2)+P(A3C3)+P(A4C1)+P(A4C2)+P(A4C3)+P(A5C1)+P(A5C2)+P(A5C3)+P(A5C4)=15

(3)μ1<μ0.

19.解(1)设各组的频率为fi(i=1,2,3,4,5,6), 由前三组的频数成等比数列,后四组的频数成等差数列,可得前三组的频率成等比数列,后四组的频率成等差数列,则f1=0.15×0.2=0.03,f2=0.45×0.2=0.09,f3==0.27, 所以由=1-(0.03+0.09)得f6=0.17,所以视力在5.0以下的频率为1-0.17=0.83, 故全年级视力在5.0以下的人数约为1000×0.83=830.

(2)K2的观测值k=4.110>3.841.

因此在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系.

(3)依题意9人中年级名次在1~50名和951~1000名分别有3人和6人, X可取0,1,2,3, P(X=0)=;P(X=1)=,

P(X=2)=X的分布列为

;P(X=3)=

X

0

1

2

3

P

X的数学期望E(X)=0+1+2+3=1.

20.解(1)由表中数据得K2的观测值k=5.556>5.024.

所以根据统计,在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为视觉和空间能力与性别有关.

(2)

设甲、乙解答一道几何题的时间分别为x,ymin,则基本事件满足的区域为设事件A为“乙比甲先做完此道题”,则满足的区域为x>y, 故由几何概型P(A)=, (如图).

即乙比甲先解答完的概率为

(3)由题可知在选择做几何题的8名女生中任意抽取两人,抽取方法有两人没有一个人被抽到有=15种;恰有一人被抽到有=28种,其中甲、乙=1种, =12种;两人都被抽到有则X可能取值为0,1,2,P(X=0)=; P(X=1)=X的分布列为

;P(X=2)=

X

0

1

2

P

故E(X)=0

+1+2