复习参考题第二课时教案

人教A版必修三“3.3.1几何概型”教学设计

邯郸市成安一中

李国强

一．教学内容分析：

几何概型是在古典概型基础上进一步的发展，是等可能事件的概念从有限向无限的延伸。几何概型的基本特点是：在每次随机试验中，不同的试验结果有无限多个，即基本事件有无限个；

在这个随机试验中，每个试验结果出现的可能性相等，即基本事件是等可能的。几何概型与古典概型的区别在于，几何概型是无限个等可能事件的情况，而古典概型中的等可能事件只有有限个。课本从两者的比较入手，通过分析两个简单的几何概型的例子入手引出几何概型的计算方法。

二．学情分析：

学生学习了概率的含义以及古典概型的计算方式，对概率有了一定的了解，对概率的求法也有了一定的方法。现在进行几何概型的学习，可以通过对比进行学习，通过分辨两种概型的区别与联系，可以达到学习几何概型。

三．教学目标：

1．知识与技能：

(1).通过具体实例正确理解几何概型的定义及与古典概型的区别；

并掌握几何概型的概率计算公式及能进行简单的计算与应用. (2)、从有限个等可能结果推广到无限个等可能结果，让学生经历概念的建构这一过程，进一步体会从特殊到一般的思想，感受数学的拓广过程，培养学生的数学抽象能力. (3)、通过实际应用，培养学生逻辑推理的能力，以及把实际问题抽象成数学问题的能力及数学建模能力。

2．过程与方法：

（1）发现法教学，通过师生共同探究，体会数学知识的形成，学会应用数学知识来解决问题，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力；

（2）通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯。

3．情感、态度与价值观：

1

通过对几何概型的教学，帮助学生树立科学的世界观和辩证的思想，养成合作交流的习惯，初步形成建立数学模型的能力。

四．教学重点与难点：

重点：（1）几何概型概率计算公式及应用。

（ 2）如何利用几何图形，把问题转化为几何概型问题。

难点：正确判断几何概型并求出概率。

五．教学策略与方法

教学方法：“学生为主体，教师为主导”的探究性学习模式。

六．教学资源与教学手段：

1．教学资源：计算机及多媒体教学．

2．教学手段：

发现教学法，通过师生共同探究，体会数学知识的形成，学会应用数学知识来解决问题，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力；

通过模拟试验，感知应用数学解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯。 七．教学过程：

【知识回顾】

古典概型的特点及其概率公式：

(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；1、古典概型的特点

 (2)每个基本事件出现的可能性相等。古典概型A包含基本事件的个数2、事件A的概率公式：P(A)基本事件的总数 

（一）

创设情境—导入新课

(赌博游戏)：甲乙两赌徒掷色子，规定掷一次谁掷出6点朝上则谁胜，请问甲、乙赌徒获胜的概率谁大？

1 3 5

2

学生分析：色子的六个面上的数字是有限个的，且每次都是等可能性的，因而可以利用古典概型；

p乙16

学生求解：

（转盘游戏）：图中有两个转盘.甲乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向B区域时,甲获胜,否则乙获胜.在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少? B N N B B N B N B N B

学生分析：

1、指针指向的每个方向都是等可能性的，但指针所指的位置却是无限个的，因而无法利用古典概型；

2、利用B区域的所对弧长、所占的角度或所占的面积与整个圆的弧长、角度或面积成比例研究概率；

学生求解：法一（利用B区域所占的弧长）：

(1)p(B)B所在扇形区域的弧长1B所在扇形区域的弧长3;(2)p(B).整个圆的弧长2整个圆的弧长5

法二（利用B区域所占的圆心角）：

3360B所在圆心角的大小1801B所在圆心角的大小53(1)p(B);(2)p(B);圆周角3602圆周角3605

法三（利用B区域所占的面积）：

(1)p(B)

B所在扇形的面积1B所在扇形的面积3;(2)p(B).整个圆的面积2整个圆的面积5

【问题猜想】

⑴两个问题概率的求法一样吗？若不一样,请问可能是什么原因导致的？

⑵你是如何解决这些问题的？

⑶有什么方法确保所求的概率是正确的？

学生对比分析：

⑴

(赌博游戏)：色子的六个面上的数字是有限个的，且每次投掷都是等可能性的，因而可以利用古典概型；

3

转盘游戏：指针指向的每个方向都是等可能性的，但指针所指的方向却是无限个的，因而无法利用古典概型。

⑵借助几何图形的长度、面积等分析概率；

⑶对转盘游戏进行模拟试验，确保所求的概率是正确的。

（二）实验探究—形成概念

问题1：一条长50米的电话线架于两电线杆之间，其中一个杆子上装有变压器.在暴风雨天气中，电话线遭到雷击的点是随机的.试求雷击点距离变压器不小于20米情况发生的概率.

1.教师引导学生从以下几个方面思考：

1）本题中基本事件是指什么？

2）基本事件的总数？

满足条件的基本事件个数？

设计意图：

1）.增强数学学习的趣味性，激发学生的学习兴趣；

2）.在思考问题的过程中感受基本事件的无限性，发现其与古典概型的不同. 3）.自然引入本节课课题—几何概型. 2.学生交流回答；教师板书课题. 问题2(撒豆子问题)：如图, 假设你在每个图形上随机撒一粒黄豆, 分别计算它落到阴影部分的概率. 1.

教师引导学生从以下几个方面思考：：

1）本题中基本事件是指什么？

2）基本事件的总数？

3）满足条件的基本事件个数？

4）上述两题中基本事件除了无限性外是否还等可能？

2.学生交流讨论，师生共同得出几何概型的特点. 3.教师提问：

那么我们应该如何来计算上述两问题的概率呢？

4.学生交流后回答

设计意图：

1）.把实际问题抽象成数学模型，是学生形成和掌握概念的前提，也是培养学生观察分析的重要一步.建立数学模型. 2）.紧扣几何概型的特点是公式推导的关键，让学生经历对事物从特殊到一般的认识过程，促使学生的认知结构不断完善.

培养学生的数学抽象能力及数学建模能力。

3）在概念的形成环节中设计了两个不同的引例分别与长度及面积有关，让学生感受不同背景下的几何概型.

4.利用动画增强趣味性和直观性便于学生接受.

4

问题3(取水问题)：有一杯1升的水, 其中含有1个细菌, 用一个小杯从这杯水中取出0.1升, 求小杯水中含有这个细菌的概率. 1.

教师引导学生从以下几个方面思考：：

5）本题中基本事件是指什么？

6）基本事件的总数？

7）满足条件的基本事件个数？

8）上述两题中基本事件除了无限性外是否还等可能？

2.学生交流讨论，师生共同得出几何概型的特点. 3.教师提问：

那么我们应该如何来计算上述两问题的概率呢？

4.学生交流后回答

设计意图：

1）.把实际问题抽象成数学模型，是学生形成和掌握概念的前提，也是培养学生建立数学模型的过程. 2）.紧扣几何概型的特点是公式推导的关键，让学生经历对事物从特殊到一般的抽象过程，促使学生的认知结构不断完善. 三个问题既联系了生活，又激发了学生的学习兴趣，涉及的情景比较多，但学生在学习了古典概型的基础上可以尝试解决每个问题，但解决的方法不易理解，关键的突破点是由有限向无限的转换，可以设计下面的问题，渗透到活动中.

追问：实验中的基本事件是什么？是等可能的吗？事件A包含的基本事件有多少？能否用古典概型的公式来解决？

这三个活动从面积、长度、体积等三个角度让学生感受几何图形测量的多样性，为建构几何概型的概念作好铺垫，下面进行探究：

探究1：几何概型与古典概型有何异同？

探究2：如何将古典概型中的“有限”过渡到几何概型中的“无限”？

探究3：如何求几何概型的概率？

从不同角度创设了活动式的情景，既有过程又有问题，有利于深刻理解几何概型概率计算公式中的几何图形的测度，让知识融于情景中，学生积极参与，发挥其主体性.这样的设计激发了学生抽象思维的发展，对数学素养的提升起到了积极的促进作用.

【新知学习】

1.几何概型的定义：

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型. 2、几何概型的特点: (1)试验中所有可能出现的基本事件有无限多个. (2)每个基本事件出现的可能性相等. 3、几何概型求事件A的概率公式：

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P(A)构成事件A的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）

4、古典概型与几何概型的区别：

基本事件个数

古古典概型

几几何概型

有限个

无限个

基本事件的可能性

相等

概率公式

P(A)A包含基本事件的个数 基本事件的总数

相等

P(A)

构成事件A的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）例１：某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台整点报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率. 1.教师提出问题：

1）本题中基本事件是指什么？

2）全部结果构成的区域是什么？

3）构成事件的区域是什么？

2.学生计算，教师板书解题过程. 3.对学生中出现的不同解法给予表扬和点评.强调学生注意不管哪种解法都必须满足基本事件等可能性这个前提. 设计意图：

求解几何概型的概率，最关键就是分析基本事件的构成以及“测度”的寻找；通过组织学生观察、交流得出结果，完成感性认识到理性认识的转变.强化学生对概念及计算公式的理解.

（三）讨论研究—深化概念

【对比迁移】

下列概率问题中哪些属于几何概型？

⑴从一批产品中抽取30件进行检查,有5件次品，求正品的概率。

⑵随机地向四方格里投掷硬币50次，统计硬币正面朝上的概率。

⑶箭靶的直径为1m，其中，靶心的直径只有12cm，任意向靶射箭，射中靶心的概率为多少？ ⑷甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一

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人一刻钟，过时才可离去，求两人能会面的概率。

学生分析：对比古典概型和几何概型的特点，判断（1）（3）属于古典概型；（2）（4）属于几何概型。

（四）应用举例—巩固新知

【巩固应用】

运用1：如图，在边长

为2的正方形中随机撒一

粒豆子，则豆子落在圆内

的概率是____________。

运用2: 在500ml 的水中有一个草履虫，现在从中随机取出2 ml 水样ml放到显

微镜下观察，则发现草履虫的概率为( ) A.0.5 B.0.4 C.0.004 D.不能确定

ml 设计意图：

1）建立数学模型（将实际问题转化为数学问题）

2)巩固几何概型的概念和计算公式,感受不同情境下概率的数学计算. （五）梳理知识，归纳小结

回顾本节课的内容，谈谈本节课的收获与困惑.以下方面小结：

·

知识技能：概念计算公式

类比思想·

思想方法：转化思想

数形结合思想·

情感与价值：认识几何概

型在实际生活中的应用，同

时在解决问题的过程感受

与同伴合作的乐趣

设计意图:

1.学生利用教材资源回顾本节课的内容，在自我反思的基础上学会梳理知识，培养归纳总结能力.

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2.渗透数学思想方法，培养学生的建立数学模型数学素养. （六）任务后延—自主探究

设关于x的一元二次方程x22ax10若a是在区间[0,2]上任取的一个数求上述方程有实根的概率

设计意图: 1.由于我们的学生在解决书上例2时可能会遇到如下两个难点： 1）建立数学模型（将实际问题转化为数学问题）

2）含有二个变量的几何概率问题.故将例2换成了学生所熟悉的一元二次方程根的存在性问题作为背景并且设置同背景下从一个变量拓展到两个变量的几何概型问题，形成梯度分散难点.

2.在问题的解决过程中体验成功的喜悦.

八．板书设计：

3．3．1 几何概型

1．几何概型的概念：

2.几何概型特点. 3．概率公式。

九．教学反思：

运用一

运用二

几何概型在高考中必然要有所体现，但是大纲要求仅为了解、以及会简单的应用，所以会在填空或选择题中出现。而向这样的条件不清晰，甚至基本事件不是等可能的几何概型，需要讨论的情况一定要避免出现。

几何概型是新课程新增加的内容，我认为增加几何概型的原因有两个：一是使概率的公理化定义更完备，即概率的统计学定义、古典定义、几何定义；二是几何概型在这里只是要求了解，程度较低，所以学生可以接受；三是因为在今后的应用中能进一步体现数学建模的思想。

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