2. 运动的合成与分解教案教学设计导入设计

1.2 运动的合成与分解

[学习目标定位] 1.知道什么是运动的合成与分解，理解合运动与分运动等有关物理量之间的关系.2.会确定互成角度的两分运动的合运动的运动性质.3.会分析小船渡河问题．

一、位移和速度的合成与分解

1．合运动和分运动：一个物体同时参与两种运动时，这两种运动是分运动，而物体的实际运动叫做合运动．

2．位移的合成与分解：一个物体同时发生两个方向的分位移与这个物体的合位移的效果可以相互替代．由分位移求合位移叫做位移的合成；由合位移求分位移叫做位移的分解．位移的合成与分解遵循矢量合成的平行四边形定则．

3．速度的合成与分解：物体同时发生的两个方向上的分速度与这个物体的合速度的效果也可以相互替代，速度的合成与分解也遵循平行四边形定则．

二、运动的合成与分解

已知分运动情况求合运动的情况叫运动的合成；已知合运动情况求分运动的情况叫运动的分解.

一、位移和速度的合成与分解

[问题设计] 1．如图1所示，小明由码头A出发，准备送一批货物到达河对岸的码头B.他驾船时始终保持船头指向与河岸垂直，但小明没有到达正对岸的码头B，而是到达下游的C处，此过程中小船参与了几个运动？

图1 答案

小船参与了两个运动，即船垂直河岸的运动和船随水向下的漂流运动．

2．如图2所示，在一张白纸上，让铅笔沿尺边横向移动的同时让直尺沿纵向移动，研究笔尖的横向位移、纵向位移与笔尖的实际位移三者有什么关系？

图2 答案

笔尖横向位移、纵向位移与笔尖的实际位移之间满足平行四边形定则．

[要点提炼] 1．位移和速度的合成与分解都遵循平行四边形定则．

2．合运动与分运动的关系

(1)等时性：合运动与分运动经历的时间相等，即同时开始，同时进行，同时停止．

(2)独立性：一个物体同时参与了几个分运动，各分运动独立进行、互不影响，因此在研究某个分运动时，就可以不考虑其他分运动，就像其他分运动不存在一样．

(3)等效性：各分运动的相应参量叠加起来与合运动的参量相同．

3．合运动性质的判断

分析两个直线分运动的合运动的性质时，应先根据平行四边形定则，求出合运动的合初速度v0和合加速度a，然后进行判断．

(1)判断是否做匀变速运动

①若a＝0时，物体沿合初速度v0的方向做匀速直线运动．

②若a≠0且a恒定时，做匀变速运动．

③若a≠0且a变化时，做非匀变速运动．

(2)判断轨迹的曲直

①若a与速度共线，则做直线运动．

②若a与速度不共线，则做曲线运动．

二、小船渡河问题

小船渡河问题一般有渡河时间最短和航程最短两类问题：

图3 1．关于最短时间，可根据运动等时性原理由船对静水的分运动时间来求解，由于河宽一定，当船对静水速度v1垂直河岸时，如图3所示，垂直河岸方向的分速度最大，所以必

d有tmin＝. v1

图4 2．关于最短航程，一般考察水流速度v2小于船对静水速度v1的情况较多，此种情况船的最短航程就等于河宽d，此时船头指向应与上游河岸成θ角，如图4所示，且cos θ＝v2v2v1；若v2＞v1，则最短航程s＝d，此时船头指向应与上游河岸成θ′角，且cos θ′＝. v1v1v2三、关联物体速度的分解

绳、杆等连接的两个物体在运动过程中，其速度通常是不一样的，但两者的速度是有联系的(一般两个物体沿绳或杆方向的速度大小相等)，我们称之为“关联”速度．解决此类问题的一般步骤如下：

第一步：先确定合运动，物体的实际运动就是合运动．

第二步：确定合运动的两个实际作用效果，一是沿牵引方向的平动效果，改变速度的大小；二是沿垂直于牵引方向的转动效果，改变速度的方向．

第三步：按平行四边形定则进行分解，作好运动矢量图．

第四步：根据沿绳或杆牵引方向的速度相等列方程．

例如，小车通过跨过滑轮的绳牵引小船B，某一时刻绳与水平方向的夹角为θ，如图5所示．

图5 小船速度vB有两个效果(两个分运动)：一是沿绳方向的平动，二是垂直绳方向的转动．将vB沿着这两个方向分解，其中v1＝vBcos θ＝vA，v2＝vBsin θ.

一、运动的合成与分解

例1

质量m＝2 kg的物体在光滑水平面上运动，其分速度vx和vy随时间变化的图线如图6(a)、(b)所示，求：

图6 (1)物体所受的合外力；

(2)物体的初速度；

(3)t＝8 s时物体的速度；

(4)t＝4 s内物体的位移．

Δvy解析

(1)物体在x方向：ax＝0；y方向：ay＝＝0.5 m/s2

Δt根据牛顿第二定律：F合＝may＝1 N，方向沿y轴正方向．

(2)由题图可知vx0＝3 m/s，vy0＝0，则物体的初速度为v0＝3 m/s，方向沿x轴正方向．

2(3)由题图知，t＝8 s时，vx＝3 m/s，vy＝4 m/s，物体的合速度为v＝v2x＋vy＝5 m/s，设4速度方向与x轴正方向的夹角为θ，则tan θ＝，θ＝53°，即速度方向与x轴正方向的夹3角为53°. 1(4)t＝4 s内，x＝vxt＝12 m，y＝ayt2＝4 m. 2物体的位移l＝x2＋y2≈12.6 m 设位移方向与x轴正方向的夹角为α，则

y11tan α＝＝，所以α＝arctan

x331即位移方向与x轴正方向的夹角为arctan . 3答案

(1)1 N，沿y轴正方向

(2)3 m/s，沿x轴正方向

(3)5 m/s，与x轴正方向的夹角为53°

1(4)12.6 m，与x轴正方向的夹角为arctan

3二、小船渡河问题

例2

已知某船在静水中的速率为v1＝4 m/s，现让船渡过某条河，假设这条河的两岸是理想的平行线，河宽为d＝100 m，河水的流动速度为v2＝3 m/s，方向与河岸平行．试分析：

(1)欲使船以最短时间渡过河去，船的航向怎样？最短时间是多少？到达对岸的位置怎样？船发生的位移是多大？

(2)欲使船渡河过程中的航行距离最短，船的航向又应怎样？渡河所用时间是多少？

解析

(1)根据运动的独立性和等时性，当船在垂直河岸方向上的分速度v⊥最大时，渡河所用时间最短．设船头指向上游且与上游河岸夹角为α，其合速度v与分运动速度v1、v2的矢量关系如图所示．河水流速v2平行于河岸，不影响渡河快慢，船在垂直河岸方向d上的分速度v⊥＝v1sin α，则船渡河所用时间为t＝. v1sin α

显然，当sin α＝1即α＝90°时，v⊥最大，t最小，此时船身垂直于河岸，船头始终垂直指向对岸，但船实际的航向斜向下游，如图所示．

d100渡河的最短时间tmin＝＝

s＝25 s v14222船的位移为l＝v21＋v2tmin＝4＋3×25 m＝125 m 船渡过河时到达正对岸的下游A处，其顺水漂流的位移为

x＝v2tmin＝3×25 m＝75 m.

(2)由于v1＞v2，故船的合速度与河岸垂直时，船的航行距离最短．设此时船速v1的方向(船头的指向)斜向上游，且与河岸成θ角，如图所示，则

v233cos θ＝＝，θ＝arccos . v144船的实际速度为

222v合＝v21－v2＝4－3

m/s＝7 m/s d1001007故渡河时间：t′＝＝

s＝

s. 7v合7答案

见解析

三、关联物体的速度分解问题

图7

例3

如图7所示，做匀速直线运动的汽车A通过一根绕过定滑轮的长绳吊起一重物B，设重物和汽车的速度的大小分别为vB、vA，则(

) A．vA＝vB

B．vA＜vB

C．vA＞vB

D．重物B的速度逐渐增大

解析

如图所示，汽车的实际运动是水平向左的运动，它的速度vA可以产生两个运动效果：一是使绳子伸长；二是使绳子与竖直方向的夹角增大，所以车的速度vA应有沿绳方向的分速度v0和垂直绳的分速度v1，由运动的分解可得v0＝vA

cos α；又由于vB＝v0，所以vA＞vB，故C正确．因为随着汽车向左行驶，α角逐渐减小，所以vB逐渐增大，故D正确．

答案

CD

1．(合运动与分运动的关系)对于两个分运动的合运动，下列说法正确的是(

) A．合运动的速度大小等于两个分运动的速度大小之和

B．合运动的速度一定大于某一个分运动的速度

C．合运动的方向就是物体实际运动的方向

D．由两个分速度的大小就可以确定合速度的大小

答案

C 解析

根据平行四边形定则，邻边表示两个分运动的速度，合运动的速度的大小和方向可由对角线表示，由几何关系知，两邻边和对角线的长短关系因两邻边的夹角不同而不同，当两邻边长短不变，而夹角改变时，对角线的长短也将发生改变，即合速度也将变化，故A、B、D错，C正确．

2．(合运动运动性质的判断)关于运动的合成，下列说法中正确的是(

) A．两个直线运动的合运动，一定是直线运动

B．两个直线运动的合运动，可能是曲线运动

C．两个互成角度的匀速直线运动的合运动，一定是匀速直线运动

D．两个互成角度的匀加速直线运动的合运动，一定是匀加速直线运动

答案

BC 解析

两个匀速直线运动的合成，就是其速度的合成，其合速度是确定的，等于两个分速度的矢量和，加速度为零，即合力为零，故合运动一定是匀速直线运动，C对；两个

分运动的合加速度方向与合速度的方向不一定在同一直线上，既有可能做曲线运动，也有可能做直线运动，不是“一定”，而是“可能”，故A、D错，B对．

图8 3．(关联物体速度的分解)如图8所示，中间有孔的物块A套在光滑的竖直杆上，通过滑轮用不可伸长的轻绳将物体拉着匀速向上运动．则关于拉力F及拉力作用点的移动速度v的下列说法正确的是(

) A．F不变、v不变

B．F增大、v不变

C．F增大、v增大

D．F增大、v减小

答案

D 解析

设绳子与竖直方向上的夹角为θ，因为A做匀速直线运动，在竖直方向上合力为零，有：Fcos θ＝mg，因为θ增大，则F增大．物体A沿绳子方向上的分速度v＝v物cos θ，因为θ增大，则v减小．D正确．

4．(小船渡河问题)小船在200 m宽的河中横渡，水流速度是2 m/s，小船在静水中的航速是4 m/s.求：

(1)要使小船渡河耗时最少，应如何航行？最短时间为多少？

(2)要使小船航程最短，应如何航行？最短航程为多少？

答案

(1)船头正对河岸航行耗时最少，最短时间为50 s. (2)船头偏向上游，与河岸成60°角，最短航程为200 m. 解析

(1)如图甲所示，船头始终正对河岸航行时耗时最少，即最短时间tmin＝＝50 s. (2)如图乙所示，航程最短为河宽d，即应使v合的方向垂直于河岸，故船头应偏向上游，与河岸成α角，有

v水21cos α＝＝＝，解得α＝60°. v船42d200＝

s4v船