探究与发现 函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ）的周期国家优质课一等奖

函数y=Asin（ωx+φ）（A>0、ω>0）的图象教学设计

一、教材分析 本节课所讲的内容是高中数学必修4第一章《三角函数》第五节的内容，三角函数是基本初等函数之一，它是中学数学的重要内容之一，也是学习高等数学的基础。三角函数作为描述周期现象的重要数学模型，与其他学科（特别是物理学、天文学）联系紧密。它的基础是几何中的相似形和圆，研究方法主要是代数中的式子变形和图形分析，因此三角函数的研究已经初步把几何与代数联系起来了。高等数学以及其他应用技术学科，都要经常用到三角函数及其性质，因此这些内容既是解决生产实际问题的工具，又是学习高等数学等学科的基础。本章第四节“三角函数的图象和性质”的内容中，教材通过正余弦曲线的形状特点的研究得到了正余弦函数的性质，本节将通过探究A对

y=Asinx图象的影响、ω对

y=sinωx图象的影响、φ对y=sin(x+φ)图象的影响进一步得出函数y=Asin(ωx+φ)的图象，由此揭示这类函数的图象和正弦函数曲线的关系以及A、ω、φ的物理意义，使学生根据A、ω、φ的意义，通过图象变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象，从而进一步掌握正余弦函数的性质。通过y=sinx的图像变换得到函数y=Asin(ωx+φ)的图象这一思维过程并不表示实际画图方法，但充分体现了由简单到复杂、特殊到一般的化归的数学思想，所以本节承载着三角函数这一章中的重要作用。三角函数中许多化简、求值题以及研究函数性质的问题都涉及到Asin(ωx+φ) 的形式，研究它的图象能使学生将已有的知识形成体系，有助于培养学生利用数形结合的思想解决问题。同时，本节课在教学中通过多媒体课件力图向学生展示整个变换过程，培养学生观察、归纳、类比、联想等数学思维能力。

二、学情分析

学生通过学习本章第八节“三角函数的图象和性质”，已掌握正余弦曲线的形状特点和正余弦函数的性质。而本节将进一步学习A对

y=Asinx图象的影响、ω对

y=sinωx图象的影响、φ对y=sin(x+φ)图象的影响，从而得出函数y=Asin(ωx+φ)的图象，由此揭示这类函数的图象和正弦函数曲线的关系以及A、ω、φ的物理意义，使学生根据A、ω、φ的意义，通过图象变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象，从而进一步掌握正余弦函数的性质。图像复杂，但相互之间又有联系，应用多媒体手段演示图像动态变化过程，是学生获得直观认识。整个教学过程贯穿自主探究式教学方法，使学生由易到难，主动参与知识的发生、发展过程，同时探究的过程中也激发学生的好奇心和创新意识。

三、教学目标分析 根据《新课改标准》关于本节课的教学要求，以贯穿创新意识和实践能力的培养为宗旨，以教材的特点和所教学生的实际为出发点，设定教学目标如下： 1. 知识与技能：

①掌握运用五点法画y=Asin(ωx+φ)图象以及φ、ω、Α的变化对函数图象的形状及位置的影响; ②进一步研究由φ变换、ω变换、Α变换构成的综合变换。

③

结合具体事例，了解y=Asin(ωx+φ的实际意义

2. 过程与方法：

①应用多媒体课件直观展示函数图象动态变化过程，进行数形结合思想的渗透；使学生直观的获得φ、ω、Α的变化对函数图象的形状及位置的影响; ②通过自主探究，培养学生自主学习能力、实践能力和分析问题、解决问题

的能力，归纳总结能力、逻辑思维能力。 3. 情感态度与价值观：

①多媒体课件的使用激发学生学习数学的兴趣。

②领会“由简单到复杂、由特殊到一般”的化归思想和辩证思想; 学习如何将一个复杂问题分解为若干简单问题的方法。

四、教学重点、难点

1. 重点：

参数Α、ω、φ对函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换的影响。

2. 难点：

①图象变换与函数解析式变换的内在联系。

②Α、ω、φ对y=Asin(ωx+φ)图象的影响。

五、

教学方法与策略

自主探究，多媒体课件动态演示图像变换过程，启发学生思维。

六、课前准备

1. 教具准备：电脑、投影仪。

2. 媒体准备：PPT课件，flash课件

七、教学流程图

探究y=Asinx的图象与y=sinx图象的关系，A的作用

探究y=sin(x+φ)的图象与y=sinx图象的关系，φ的作用

探究y=sinωx的图象与y=sinx图象的关系，ω的作用

简谐运动的振幅、周期、频率、相位、初相与y=Asin(ωx+φ)中Α、ω、φ的关系

函数y=sinx图像变为函数y=Asin(ωx+φ)的图像的变换方法

八

、教学过程设计 教学

教师活动

学生活动

设计意图

内容

教师讲授：在物理中,简谐运动启发学生思考：如何激发学生学习的中单摆对平衡位置的位移y与画函数兴趣．让学生明时间x的关系、交流电的电流yy=Asin(ωx+φ)（A、确理论是从实践与时间x的关系等都是形如ω、φ是常数）的中来，又回到实课的引入

y=Asin(ωx+φ) 的函数（其中图象？Α、ω、φ又践中去，使学生A, ω, φ都是常数），结论：分别对函数学习研究目的性从解析式来看，函数y=sinx就y=Asin(ωx+φ)的更加明确。

是y=Asin(ωx+φ)在A=1，图象有哪些影响

ω=1，φ=0时的情况

先用课件展示运用五点法画出y观察图像思考问题引导学生思考研＝sin x、y＝2sinx、

y＝1：如何由函数y＝究问题的方法，探究1：探究1/2sinx的图象的过程，强调这sin x的图象通过培养学生分析问y=Asinx的图象五个点应该是使函数取最大值、变换得到函数y＝题、观察和解决与y=sinx图象最小值以及曲线与X轴相交的2sinx、

y＝问题的能力，

的关系，A的作点；然后引导学生思考问题

；1/2sinx的图象？问用

最后当与学生一起讨论并归纳题2：函数

y=sinx

出函数

y=sinx图像是变换到图像是怎样变换到y=Asinx（A>0）图像的变换规律y=Asinx（A>0）图像

时，老师再次用计算机展示几个的？

函数图象的动态变换过程，验证结论是否正确。

探究2：探究学生在此问题中，认为简单，其自主探究用五点法独立探索合作交y=sinωx的图实很容易出错，并且在探究错因画出函数y＝sinx、流培养学生的合象与y=sinx图时，难于理解．因此引导学生先y=sin2x、y=sin1/2x作意识和自主探象的关系，ω的猜结果，老师再用多媒体展示几的图像，自主探讨三究能力。

作用

个函数的动态变换过程，验证结个函数y＝sinx、论是否正确。最后统一看法，得y=sin2x、y=sin1/2x出结论．分析一般规律时，引导的图像间的变换关学生着眼于x的变化，系学生一起讨论归把

ωx+φ

变形为ω( )，纳总结得出函因此，从y＝sin ωx到

y＝数

y=sinx图像是sin(ωx+φ)的变换过程就是把变换到y=sinωxx变成了（x+φ/ω）

，这就（ω>0）图像的变换是解决问题的关键点．

规律。

教师首先用多媒体展示y＝学生通过观察y＝让学生根据已有sinx、y=sin（x+π/3）y=sinsinx、y=sin经验独立研究φ（x-π/4）三个函数的动态变换（x+π/3）y=sin对函数过程，并让学生猜想出函（x-π/4）的图像的y=sin(x+φ)的数

y=sinx图像是变换到动态变换过程，猜图象的影响，进y=sin(x+φ)的图像的变换规想：函数

y=sinx一步熟悉研究方探究3：探究律，其次引导学生通过运用五点图像是变换到法，领会由简单y=sin(x+φ)的法作出三个函数图象，验证结论y=sin(x+φ)的图像到复杂、特殊到图象与y=sinx是否正确。

的变换规律。再用五一般的化归思图象的关系，φ点法画出三个函数想。

的作用

图象，验证结论是否

正确。学生小组讨论归纳总结得出函数

y=sinx图像是变换到y=sin(x+φ)的图像的变换规律。

作出函数y=3sin( 2x+π/3 )学生观察演示图象例题的完成过程的图象，并指出它的图象与的伸缩、左、右平移、进一步指导学生y=sinx的关系。

分析，从特殊到一运用五点法作图探究4：探究

利用课件演示演示图象的伸缩、般，从具体到抽象，时如何选取五y=sinx图像变左、右平移变化过程，通过观察、再次总结回顾点。教师用五点为函数分析从而揭示规律。

y=Asinx、y=sinωx、法作出函数图象y=Asin(ωx+φ)y=sin(x+φ)与变换过程，引导的图像的变换方y=sinx的图象之间学生观察变化过法

的联系。

程中的不变量得

出结论. 给学生搭建起一个动手探究、实践的平

台．激发他们强烈的好奇心和求知欲

建立与物理知识学生回顾相关的物的联系，了解常探究5：探究

讲解物理简谐运动中振幅、周理知识，解释振幅、数Α、ω、φ与y=Asin(ωx+φ)期、频率、相位、初相与Α、周期、频率、相位、简谐运动的某些的实际意义

ω、φ之间的关系

初相等概念

物理量的关系，回应课的引入

巩固用“五点学生做课后练习题法”作巩固应用

教师查看学生练习情况

第1题的①②③;口y=Asin(ωx+φ)答第2题的①③

的图像

1、学生思考、讨论、总结函数y=Asin(ωx+φ)的引导学生反思学习过程，概括出培养学生归纳总图像的变换规律。2、课堂小结

函数y=Asin(ωx+φ)的图像的结能力和发散性填写课本上由变换规律

思维能力

y=sinx的图象变为y=Asin(ωx+φ)的图象步骤

根据学生的不同层次分为必做进一步理解掌握布置作业

学生自主完成作业

和选做,由学生自主选择。

本节课知识

九、教学反思：

本节课采用多媒体教学动态展示函数图像变换过程，让三个参数“动起来”，激发学生学习数学的兴趣，融入数形结合思想，使学生更好地掌握函数y=Asin(ωx+φ)的图像的变换规律，成功突破难点；同时学生自主探究，小组合作、讨论、归纳总结，整个教学过程老师教得轻松，学生学得快乐。但本节课函数y=Asin(ωx+φ)图像变换途径不唯一，还需提出寻找不同变换途径的方法，由于时间关系，这个问题需在查漏补缺时完成。