复习参考题教学实录与评析

正弦函数、余弦函数的图象·教学设计

【教学目标】

知识目标是：1．理解几何法作图原理；

2．掌握五点法作图；

3．了解三角函数图象的变换作图．

能力目标是：通过识记正、余弦曲线的形状特征，培养学生分析问题、解决问

题的能力；强化学生＂数形结合＂的数学思想．

发展目标是：教给学生灵活的思维方法，培养学生的学习兴趣和勇于探索、勇于创新的精神，提高综合素质．

【教学重点】

理解几何法作图原理

【教学难点】

掌握五点法作图

【教学过程】

一、复习准备

1．复习图象变换知识．

（1）平移变换

（2）对称变换

2．复习相关的诱导公式．

sin（α+2π）=sinα，

sin（x+π）=-sin x cos（α+2π）=cosα

cos（x+π）=-cos x 以上基础知识的复习为下面的新课教学做好了准备工作．

二、新课讲授

1．正弦函数图象的画法．

（1）（板书）画出y=sinx，x∈［0，2π］的图象．

师：画函数图象的步骤是：第一步列表；第二步，根据表中每组x，y的取值逐一在直角坐标系下找到相应的点；第三步，用平滑曲线将所描各点连接．

此题函数定义域为［0，2π］，所以表中自变量x可选择此范围

成列表．

（在完成此表时，当x∈［π，2π）时，也可使用诱导公式sin（π+α）=-sinα来计算．）

根据此表在直角坐标系下描出相应的点．再用平滑曲线连接．如图5．

在这里应该提醒学生注意以下两点：

（i）在建立直角坐标系时，x轴的刻度应以π为单位长取值，而y

由此可见，这种描点法是对函数值取近似值后画的函数图象，不是准确图象．这种画法也叫代数描点法．

（2）（板书）画出y=sinx的图象．

请学生比较（1）与（2）两个小题：

生：这两个题的定义域不同．第（1）题定义域为［0，2π］，第（2）题的定义域为R．

师：这一点非常重要，在函数三要素（即定义域，对应法则，值域）中，定义域是基础，是函数的决定因素之一．定义域不同，函数不同，函数图象也不同．但有区别也有联系．这种联系对函数图象的画法有什么影响呢？

学生：［0，2π］是R的真子集．所以第（2）题当x∈［0，2π］时的函数图象就是第一题的结果．所以面临的新问题实质上只需考虑x∈（-∝，0）∪（2π，+∝）时的函数图象即可．

师：对x∈（-∝，0）∪（2π，+∝）的函数图象的思考可以分为x∈（2π，+∝）和x∈（-∝，0）两部分．因为sin（x+2π）=sinx，所以x∈（2π，+∝）时，sinx=sin（x-2π），即y=sinx，x∈［2π，4π］的图象是把y=sinx，x∈［0，2π］的图象右移2π个单位长，y=sinx，x∈［4π，6π］的图象是y=sinx，x∈［2π，4π］右移2π个单位长的结果……依此类推下去，就可得到y=sinx（x≥0）时的函数图象．下面只需考虑x＜0时y=sinx的图象．（请学生思考．）

生：由于sin（-x）=-sinx，所以x≤0时，y=sinx的图象是y=sinx（x≥0）的图象关于原点中心对称的结果，它的理论根据是函数y=f（x）与y=-f（-x）之间图象变换的特点．

师：这样我们就得到了y=sinx，x∈R时的完整的图象．

（板书）

由此可见，画出y=sinx的图象关键是首先要画出y=sinx在［0，2π］内的图象．而y=sinx在［0，2π］的图象有这样五个点很重要：

分别是函数图象的最高、最低点．所以这五个点是确定y=sinx图象的基本点．

因此，代数描点法也可简称为“五点法”，以后再画y=sinx图象时，就可直接使用五点法了．

（板书）

（“五点法”作图往往是在精度要求不太高时的作函数简图的方法．）

下面再学习一种函数图象的画法——几何描点法．

请学生阅读课本P167，从第7行开始，边阅读边讲解．

师：几何描点法是利用单位圆中的三角函数线来作图．先建立一个直角坐标系，在x负半轴上取一点O1，以O1为心

每取到一个角的终边位置都将正弦线平移至右侧坐标系的相应位置后，就可得到正弦函数图象上的点．（如图8）

用平滑曲线将各正弦线的端点连结．便可得正弦函数图象．（如图9）

师：比较代数描点法与几何描点法的区别在于：代数描点法所取的各点的纵坐标都是近似值，不能描出对应点的精确位置，因此作出的图象不够准确；而几何描点法作图准确，但真正画图却较难实现．

2．余弦函数图象的画法．

师：正弦函数图象是我们遇到的第一个三角函数图象．所以对它的画法的研究需从最基本的描点法开始．而余弦函数图象是继正弦函数图象之后的第二个函数图象，对它的画法的研究可以借鉴正弦函数图象的画法．

方法1：代数描点法．（可由学生完成）

列表后描点，用平滑曲线相连得到y=cosx，x∈［0，2π］的图象．

再根据cosx=cos（x-2π），cos（-x）=cosx可得到完整的y=cosx的图象．

当精确度要求不很高时，也可用“五点法”画出y=cosx的简图．五

π，1），其中（0，1），（2π，1）为最高点，（π，-1）为最

方法2：几何描点法．基本思路同正弦函数图象．

方法3：平移变换法．

其中方法3表明了正弦函数与余弦函数图象之间的关系．

3．课堂练习．

画出下列函数的图象．

（1）y=2sinx （2）y=-cosx （3）y=sinx+1 （4）y=sinx+cosx，x∈［0，2π］

解答过程如下：

（1）y=2sinx．先用“五点法”画出y=sinx图象，再纵向伸至2倍．

（2）y=-cos是把y=cosx图象作关于x轴的对称变换．

（3）y=sinx+1的图象可将y=sinx图象向上平移1个单位．

师：此题y=sinx+cosx是否还有其它作法？

4．课堂小结．

这节课学习了正弦函数、余弦函数图象的画法．除了它们共同的代数描点法、几何描点法之外，余弦函数图象还可由平移交换法得出．

这节课讲授的“五点法”是比较常用的方法，应重点掌握．

通过学习正弦函数、余弦函数图象的画法，学生应学会遇到新问题时善于调动所学过的知识，较好地运用新旧知识之间的联系，才能提高分析问题、解决问题的能力．

作业：课本P169练习．P177练习第1～7题．

课堂教学设计说明

这节课的教学设计可概括为：

1．复习相关知识．

（1）以前学过的函数；

（2）图象变换知识；

（3）诱导公式．

2．新课．

（1）正弦函数图象（代数描点法、几何描点法）；（2）余弦函数图象（代数描点法、几何描点法、平移交换法）．

重点突出“五点法”．

3．小结．

这节课涉及到过去所学的知识较多，可利用这个机会对它们加以巩固复习．也可采用启发式教学，引导学生思考要解决的正弦函数图象的画法．先回顾我们以前所学到函数图象是如何得到的，引出描点法，而正弦函数是建立在角到角的正弦值之间的对应关系上，所以要解决y=sinx，x∈R时的图象可先从y=sinx，x∈［0，2

π］的图象研究起，即遵从从特殊到一般的认识规律，由y=sinx，x∈［0，2π］的图象，再根据sin（x+2π）=sinx得到y=sinx（x≥0）时的图象，体现了知识间的联系．而后得到的y=sinx，x∈R图象，是借用对称变换的知识．使学生看到一个新问题的解决并不是深不可测，关键在于我们能否较好地恰当地调动学过的旧知识．这种对知识的调动、迁移能力是需要学生在学习的过程中不断领悟、不断实践、不断提高的．在调动、迁移的过程中需要学生分析新旧知识的联系，利用旧知识解决新问题．

而余弦函数图象的画法的解决可以以y=sinx的图象为起点，利用

得到．这是利用旧知识解决新问题的又一很好的例证．

另外，这节课讲述了代数描点法，几何描点，它们都是通过描点得到函数图象．但又有所区别，这点应让学生给予注意．在解决数学问题时，既要有代数思想又要有几何思想，这种意识应在教学过程中加以培养．

本节课讲授了两个三角函数图象的画法．这两个图象不妨可以按如下方法加以比较：

同一个内容采用不同的方法加以比较，从不同角度去认识，一定可以帮助学生加深对知识的认识程度，培养灵活的思维方式．

本节课最后出了四个练习题，都是正弦函数、余弦函数图象与图象变换知识的综合题．既是为了巩固本节课的知识，使学生能较熟练地画出y=sinx，y=cosx图象，强化了“五点法”画图，又为后续课程讲正弦型曲线打下了基础．从开始画y=sinx，x∈［0，2π］的图象，到画出y=sinx，x∈R图象，再到这四个练习题，体现了从特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律．在这种螺旋式上升的过程中，学生不仅学到了本节课的知识，而且还提高了思维水平和认知能力．

这节课图形多，涉及的知识点多，尤其在复习时，学生对一次函数、二次函数掌握得较熟练，对指数函数．对数函数和幂函数可能记忆得不很准确，既然遇到了还是应该帮学生复习一下．为了节省时间，可课前写成投影片的形式．

对于函数图象的几何描点法，学生能理解，可不必在此耽误时间．“五点法”应是重点掌握的．

对于余弦函数图象的画法，基础好的学生可以直接用“五点法”画出y=cosx，x∈［0，2π］的图象，再利用cosx=cos（x-2π）和cosx=cos（-x）的性质得到出y=cosx，x∈R的图象．对于基础较差的学生最好是从基本的列表描点开始慢慢来，不要急于求成．

这节课所画的图象很多，能迅速准确地画出函数图象对初学者来说是一个较高的要求．通过画图可以培养学生的动手能力、模仿能力．开始时要慢些，尤其是“五点法”，每个点都要能准确找到，然后迅速画出图象．

最后，应向学生介绍今后在物理课上还要学习正弦函数、余弦函数图象的应用．提醒学生注意各学科相关知识间的联系．