2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示优秀教学设计

平面向量的正交分解和坐标表示

白银市平川中恒学校 李先锋

一、内容和内容解析

向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，有其深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具。本节课是高中新课标必修④第二章向量中第三节平面向量基本定理基础上紧接着学习的内容，包括平面向量的正交分解及坐标表示、平面向量的坐标运算。它是平面向量基本定理的应用，在平面直角坐标系内向量与坐标建立起一一对应，使向量兼具“形”“数”两方面特征，从而为通过“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁，同时为后续学***面向量的数量积奠定了基础。

其中：平面向量的正交分解是平面向量基本定理的深入，同时为平面向量坐标表示奠定理论基础；

向量的坐标表示既是平面向量基本定理的深化，又是实现向量坐标运算的基础，在学习了向量的坐标表示的定义之后，建立了向量的坐标与点的坐标的联系，实现了新旧知识的转化，便于学生全面把握向量的坐标概念。

二、三维目标

知识与技能：1、 理解平面向量的正交分解概念

2、理解与掌握平面向量的坐标概念

过程与方法：1、在巩固平面向量基本定理的基础上理解平面向量的坐标概念

2、会写出平面直角坐标系内给定向量的坐标

3、掌握向量坐标与表示它的有向线段的起点、终点坐标之间的关系

情感态度与价值观：通过“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁，同时为后续学***面向量的数量积奠定了基础。

重点：能写出给定平面向量的坐标

难点：对向量的坐标表示意义的理解

三、教学问题分析

学生在理解向量的坐标表示时会出现障碍，主要表现在：

1、向量和点都可以用坐标表示，易将向量的坐标与点的坐标相混淆。

2、对“相等向量的坐标相等”的理解不到位，特别是由有向线段表示的相等向量坐标间的关系。

其原因是：在学习向量坐标表示之前，学生已经理解点的坐标概念及其意义，明确了点的坐标与点在直角坐标系中的具体位置有关，受思维定势的影响，学生认为向量的坐标是由表示向量的有向线段在平面直角坐标系中具体位置确定的，还有学生将向量和表示向量的有向线段相混淆，从而产生对向量坐标表示意义理解的偏差。

因此，对向量的坐标表示意义的理解是本课的教学难点。

四、学习行为分析

为了理解向量正交分解的概念和意义，在复***面向量基本定理的基础上，让学生寻找基本定理在物理学中作用的例子，感受向量正交分解的现实背景。

由于向量是一个抽象了的概念，学习向量的坐标表示时，仍要注意与向量的几何表示——有向线段联系起来，便于直观理解。同时，为防止学生对向量坐标表示理解的偏差，学习

中要遵循从特殊到一般，从具体到抽象的认知规律。通过对例题及变式的思考训练加深概念的理解，感悟向量与其坐标间的一一对应关系。

五、教学支持条件分析

为了直观理解向量坐标表示的意义，教学中可借助多媒体展示向量几何表示与坐标表示的关系。在向量坐标运算中可利用实物投影仪展示学生的各种解法，有利于发现解题过程中的问题，总结解题规律。

六、教学过程设计

1、教学情景引入新课

昨天的记忆：复***面向量基本定理的内容及意义

平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2

(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；

(2)基底不惟一，关键是不共线；

(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；

(4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a，e1，e2唯一确定的数量

设计意图：复习旧知，为下一步将基底特殊化引出新课做准备

2、讲解新课：

1）

平面向量的正交分解

通过思考重力的正交分解引出向量的正交分解

设计意图：建立数学知识与物理知识的联系，感受数学定理的实际模型，有助于理解向量的正交分解概念及意义。

师生活动：学生思考并举例。教师给出向量正交分解的定义并简要说明作用。

力的分解：如图，光滑斜面上一个木块受到重力的作用，这时中可以分解为，即=，其是平行于斜面的力，是垂直于斜面的压力。

在不共线的两个向量中，垂直是一种重要的情形。把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做向量的正交分解，正交分解是向量分解中常见的一种情形，这样会给我们研究问题带来很大的方便。

2）．平面向量的坐标表示

（1）取基底。在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底. （2）得到坐标。任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得axiyj2

我们把(x,y)叫做向量a的坐标，记作

a(x,y)

其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，上式叫做向量的坐标表示. 与．a相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．(x,y). 特别地，i(1,0)，j(0,1)，0(0,0). 如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作OAa，则点A的位置由a唯一确定. 设OAxiyj，则向量OA的坐标(x,y)就是点A的坐标；反过来，点A的坐标(x,y)也就是向量OA的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.

3、例题分析

例1:在直角坐标系内画出下列向量.

(1)a(1,2)(2)b(1,2)

练习：已知A2,3，B3,5,求BA坐标.

已知AB(1,2),A(2,1),求B的坐标.

例4：已知A(2,3),B(5,3),a=(x+1,x-2y)与AB

相等

，求实数x,y的值。

4、课堂小结（今天我们学到了、、、、、、）

1.平面向量的正交分解

2.向量坐标的概念

3、关于平面向量坐标的理解

设计意图：使学生养成归纳总结的学习习惯，不断提高反思能力，体会知识的形成、发展、应用过程。

师生活动：在教师提问的基础上，让学生自己归纳总结，教师补充完善。

5、作业：