2.1.2 向量的几何表示课堂实录【2】

2.1平面向量的实际背景及基本概念教案

一、教学目标：

1、知识与技能：了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量. 2、过程与方法：通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别. 3、情感态度价值观：通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力. 二、教学重难点

重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量. 难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系. 三、授课类型 新授课

四、教学过程

（一）、情景设置

1.如图1，在同一时刻，老鼠由A向西北方向的C处逃窜，猫由B向正东方向的D处追去，猫能否抓到老鼠？

2.南辕北辙——战国时，有个北方人要到南方的楚国去.他从太行山脚下出发，乘着马车一直往北走去.有人提醒他：“到楚国应该朝南走，你怎能往北呢?”他却说：“不要紧，我有一匹好马！”

这两件事告诉我们，不管是治理国家，还是抓一只小老鼠，做任何事，都要首先看准方向，才能充分发挥自己的有利条件；如果方向错了，那么有利条件只会起到相反的作用。

（二）、概念形成

【探究活动一】

在物理和数学中，我们学习了很多“量”，如年龄、身高、位移、长度、速度、面积、体积、力、质量等，大家一起分析一下，这些“量”有什么不同？可以做怎样的分类？

其中力,位移,速度,它们都是有大小和方向的量。

你能给出向量的定义吗？

1、

向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量

思考：时间,路程,功是向量吗?加速度是向量吗? 【探究活动二】

问题1:数量之间有大小关系，如5>4，0>-1，那么向量之间能否比较大小？

向量不能比较大小

问题2：数量与向量有什么区别? 数量与向量的区别

数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；

向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.

2.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度. 3.向量的表示方法：

①用有向线段表示；

②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示；

a ③用有向线段的起点与终点字母：AB；

A(起点)

B （终点）

④向量AB的大小――长度称为向量的模，记作|AB|.

4、零向量、单位向量概念：

①长度为0的向量叫零向量，记作0.

0的方向是任意的. 注意0与0的含义与书写区别. ②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量. 说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小. 【探究活动三】

问题1、向量的几何表示是有向线段。那么“向量就是有向线段，有向线段就是向量”这种说法正确吗？

不正确。

问题2、若上述说法不正确，向量和有向线段有什么区别？（提示：可从定义、要素入手）

向量与有向线段的区别：

（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；

（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段. 5、平行向量定义：

①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行. 说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ. 6、相等向量定义：

长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；

（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段．．．．．的起点无关. ．．．．．7、共线向量与平行向量关系：

平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的．．．．．．起点无关）. ．．．．．说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. （三）理解和巩固：

例1如图，试根据图中的比例尺以及三地的位置，在图中分别用有向线段表示A地至B、C两地的位移,并求出A地至B、C两地的距离。（按书上的原图进行计算，注意比例，精确到1km).

例2

如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与向量OA相等的向量.

变式一：与向量长度相等的向量有多少个？（11个）

变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？（存在）

变式三：与向量共线的向量有哪些？（CB,DO,FE）

【巩固练习】

（1）平行向量是否一定方向相同？（不一定）

（2）不相等的向量是否一定不平行？（不一定）

（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量）

（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量）

（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（平行向量）

（6）两个非零向量相等的当且仅当什么？（长度相等且方向相同）

（7）共线向量一定在同一直线上吗？（不一定）

三、归纳小结

（一）基本概念

（二）值得注意的几个关键点

1、

描述向量的两个指标：模和方向. 2、

平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比.

3、

向量的图示，要标上箭头和始点、终点. 四、作业布置

•

必做题

习题2.1A组第1、2、5题

•

选做题

习题2.1B组第2题

[课后练习]下列命题正确的是（

）

A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c也共线

B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点

C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量

D.有相同起点的两个非零向量不平行

解：由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以Ｄ不正确；对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若ａ与ｂ不都是非零向量，即ａ与ｂ至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有ａ与ｂ共线，不符合已知条件，所以有ａ与ｂ都是非零向量，所以应选C.