2.1.2 向量的几何表示第一课时导学案

2.3.4 平面向量共线的坐标表示

桂平市四中 李文

教学目的：（1）理解平面向量共线的坐标表示；（2）掌握平面上两点间的中点坐标公式及定点坐标公式；（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线. 教学重点：平面向量公线的坐标表示及定点坐标公式，教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性教学过程：一、复习引入：1．平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a，e1，e2唯一确定的数量2．平面向量的坐标表示分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得axiyj把(x,y)叫做向量a的（直角）坐标，记作a(x,y)其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，

特别地，i(1,0)，j(0,1)，0(0,0).2．平面向量的坐标运算（1）若a(x1,y1)，b(x2,y2)，则ab(x1x2,y1y2)，ab(x1x2,y1y2)，a(x,y)两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.. 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。

（2）若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则ABx2x1,y2y1一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.向量AB的坐标与以原点为始点、点P为终点的向量的坐标是相同的。3．练习：1．若M(3， -2) N(-5， -1) 且

MP1MN， 求P点的坐标22．若A(0， 1)， B(1， 2)， C(3， 4) ，

则AB2BC= .3．已知：四点A(5， 1)， B(3， 4)， C(1， 3)， D(5， -3) ，

如何求证：四边形ABCD是梯形.？

二、讲解新课：1、思考：（1）两个向量共线的条件是什么？ （2）如何用坐标表示两个共线向量？设a=(x1， y1) ，b=(x2， y2) 其中ba.x1x2由a=λb得， (x1， y1) =λ(x2， y2)  消去λ，x1y2-x2y1=0yy21a∥b (b0)的充要条件是x1y2-x2y1=0探究：（1）消去λ时能不能两式相除？

（不能 ∵y1， y2有可能为0，

∵b0 ∴x2， y2中至少有一个不为0）

（2）能不能写成y1y2 ？ （不能。 ∵x1， x2有可能为0）

x1x2ab

x1y2x2y10(3)向量共线有哪两种形式？ a∥b (b0)三、讲解范例：

例1已知a=(4，2)，b=(6， y)，且a∥b，求y. 例2已知A(-1， -1)， B(1，3)， C(2，5)，试判断A，B，C三点之间的位置关系.

思考：你还有其它方法吗？

例3若向量a=(-1，x)与b=(-x， 2)共线且方向相同，求x 解：∵a=(-1，x)与b=(-x， 2) 共线 ∴(-1)×2- x•(-x)=0 ∴x=±2 ∵a与b方向相同 ∴x=2

例4 已知A(-1， -1)， B(1，3)， C(1，5) ，D(2，7) ，向量AB与CD平行吗？直线AB平行于直线CD吗？

解：∵AB=(1-(-1)， 3-(-1))=(2， 4) ，

CD=(2-1，7-5)=(1，2) 又

∵2×2-4×1=0 ∴AB∥CD

又

∵

AC=(1-(-1)， 5-(-1))=(2，6) ，AB=(2， 4)，2×4-2×60 ∴AC与AB不平行

∴A，B，C不共线 ∴AB与CD不重合 ∴AB∥CD 例5设点P是线段P1P2上的一点， P1、P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2). (1)

当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标； (2)

当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标. 思考：（1）中 P1P：PP2=？ （2）中P1P：PP2=？ 若P1P：PP2=如何求点P的坐标？

四、课堂练习：P101面4、5、6、7题。

五、小结

：（1）平面向量共线的坐标表示；

（2）平面上两点间的中点坐标公式及定点坐标公式；

（3）向量共线的坐标表示. 六、课后作业：《习案》二十二。