2.3.1 变量之间的相关关系教学设计(第一课时)

2.3变量间的相关关系

广西梧州市第一中学 覃翔

一、学习目标: 1、了解变量间的相关关系，能利用散点图直观认识变量间的相关关系，并能初步判定这种相关关系。

2、经历描述两个变量线性相关关系的过程。了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程。

3、体会统计思想与确定性思维的差异。

4、体会研究相关性问题在现实生活中的重要性。

二、自学导引

1.变量之间的相关关系

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变量之间也存在很多关系，看下面的例子



1、公鸡打鸣与太阳升起



2、数学成绩与物理成绩



3、龙生龙、凤生凤、老鼠儿子打地洞（生物意义上解释）



4、某数列满足an+1=2an+1中，a1与a5的关系



5、三角形三边长与三角形面积的关系



6、父亲和儿子的身高体重



7、你是学数学的？那你很聪明哦。

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这些变量之间的关系，你能分类说明吗？

►

确定关系：(3)(4)(5) 

一个量确定，另一个也确定



特殊确定关系：函数关系

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相关关系：(1)(2)(6)(7) 

两个变量是有关联的，但关系不确定



著名案例：吸烟与肺癌有关？



常见的说法：数学好，物理肯定没有问题

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客观现象之间存在的互相依存关系叫相关关系，全称为统计相关关系，两个特点：



1.现象之间确实存在着数量上的依存关系

2.



2.现象之间数量上的关系是不确定、不严格的依存关系

相关关系与函数关系的异同

►

相同点：均是两个变量之间的关系。

►

不同点：



(1)函数关系是确定性关系，相关关系是一种非随机变量与随机变量之间的关系，非确定性关系。



(2)函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定 是因果关系，也可能是一种伴随关系。如儿童鞋子的大小与阅读能力之间有很强的相关关系，然而不会因多记住几个新词汇脚脚变大，而是涉及到第三个因素－年龄。当儿童长大一些，阅读能力会有所提高，当然随着身体的长大，脚也变大。

回归分析

►

由于相关关系的不确定性，在寻找变量之间的相关关系的过程中，统计发挥着重要作用。我们可以通过收集大量的数据，在对数据分析统计的基础上，发现其中的规律，对它们之间的关系做出判断。

►

对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫做回归分析。通俗地讲，回归分析就是寻找相关关系中非确定关系的某种确定性。

3. 线性相关——最简单的相关关系

年龄

23 27 39 41 45 49 50 脂肪

9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 年龄

53 54 56 57 58 60 61 1

脂肪

29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6 ►

考虑两点：合理性和操作性

►

各点与直线的整体偏差最小，实际值与理论上值得偏差最小

5.其中各年龄对应的脂肪数据是这个年龄人群脂肪含量的样本平均数. 思考1：年龄与脂肪含量有没有关系？依据是什么？

思考2：有没有更加定量的分析方法，进行定量研究？

4.散点图: 在平面直角坐标系中，表示具有相关关系的两个变量的一组数据图形，称为散点图

符号说明及思想

量含40肪35脂30252015105020253035404550556065年龄

上例中散点图从左下角到右上角，即一个变量从小到大变化时，另一个变量小大到大变化。这种关系称为正相关关系。否则称为负相关关系。

思考1：上述散点图能否给我们的思考1提供理论支持？

思考2：上述散点图还有什么样的特点？

回归直线

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若散点图中各点大致分布在一条直线附近，就称这两个变量具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线

►

显然根据不同标准可以画出不同直线来近似表示这种线性关系。那么在这众多的直线中哪个（或哪些）最能表示这种线性关系？阅读课本87页的几种想法

最小二乘法

求线性回归直线方程yˆ=bx+a时，使得样本数据的点到它的 最小的方法叫做最小二乘法，其中a，b的值由以下公式给出：

n(xix)(yiy)nxiyinxyi1i1bn(xix)2nx2 ，a是回归方程inx2其中，b是回归方程的i1i1aybx在y轴上的 。

线性回归方程计算步骤

2

►

第一步，计算平均数

►

第二步，求和 ►

第三步，计算

►

第四步，写出回归方程 6.

关于回归方程的几点思考

►

如果给出了yˆ0.577x0.448，当某人37岁时，

代表什么？

►

能不能说，当我到了37岁时，体内脂肪含量一定是20.90%？

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如果随便给出任意关系的两个变量的一组数据，能否也用上述方法求出回归直线方程？有没有意义？

课本例题 . 有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表：

摄氏温度-5 0 4 7 12 15 19 23 27 31 36 /°C 热饮杯数

156 150 132 128 130 116 104 89 93 76 54 （1）

画出散点图；

（2）

从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律；

（3）

求回归方程；并求当x=0时的yˆ值，说明它为什么与实际卖出的热饮杯数不一样；

（4）

如果某天的气温是2°C，预测这天卖出的热饮杯数。

四、随堂练习：

1.两个变量之间的相关关系是一种

（ ） A.确定性关系 B.线性关系 C.非确定性关系 D.非线性关系

2.下列关系中不是相关关系的是 （ ）

A.产品投入的广告费与产品的销售量 B.数轴上的点与实数x C.人的身高与体重的大小 D.一天中的湿度与气温的高低

3．已知回归直线的斜率的估计值是1.23，样本点的中心为(4，5)，则回归直线的方程是( )

A.y=1.23x＋4 B. y=1.23x+5 C. y=1.23x+0.08 D. y=0.08x+1.23

4．下表是某厂1—4月份用水量（单位：万吨）的一组数据，

月份

1

2

3

4

用水量

4.5

4

3

2.5

由其散点图知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关系，其成性回归方程是y=-0.7x+a，则a的值为（ ）

A、5.2 5 B、3.5 C、1.75 D、1.5

5．某著名纺织集团为了减轻生产成本继续走高的压力,计划提高某种产品的价格,为此销售部在10月1日至10月5日连续五天对某个大型批发市场中该产品一天的销售量及其价格进行了调查,其中该产品的价格x(元)与销售量y(万件)之间的数据如下表所示:

日期

10月1日

10月2日

10月3日

10月4日

10月5日

价格x(元)

9

9.5

10

10.5

11

销售量

y(万件)

11

10

8

6

5

已知销售量y与价格x之间具有线性相关关系,其回归直线方程为:=-3.2x+,若该集团提高价格后该批发市场的日销售量为7.36万件,则该产品的价格约为(

)

(A)14.2元 (B)10.8元

(C)14.8元 (D)10.2元

6.某考察团对全国10个城市进行职工人均工资水平x（千元）与居民人数消费水平y（千元）统计调查，y与x具有相关关系，回归方程yˆ0.66x1.562，若某城市居民人均工资为9000元，则其居民人均消费水平为_________ 千元。

7．某单位为了解用电量y(度)与气温x(℃)之间的关系，随机抽查了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：

由表中数据得线性回归方程^y＝bx＋a中b＝－2，气温(℃)

18 13 10 －1 预测当气温为－4℃时，用电量约为_______度．

用电量(度) 24 34 38 64

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