探究与发现 利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质教案1

利用单位圆研究正弦函数、余弦函数的图象和性质

课案及教案

设计教师：楚雄紫溪中学教师

束凤林

一、教材分析：

1、教材的内容和地位：

本节课的主要内容是正弦函数、余弦函数的图象的画法。

教科书先利用正弦线画出了函数y=sinx，x∈[0,2π]的图象，并根据“终边相同的角有相同的三角函数值”，把这一图象向左、右平行移动，得到正弦曲线；在此基础上，利用诱导公式

y=cosx=cos（-x）=sin[—（-x）]=sin（x+）

把正弦曲线向左平行移动个单位长度，得到余弦曲线。正弦函数、余弦函数的图象是后面研究正余弦函数性质的模型图象，是学习y=Asin（ωx+φ）和

y=Acos（ωx+φ）型函数图象和性质的基础，而三角函数的图象和性质在高中数学中占有非常重要的地位，高考中也是一个热点，因此，搞好本节课的教学，不仅可以帮助学生能非常迅速地画出正余弦函数的图象，还能为后续的学习作铺垫。

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2、教学目标：

a、知识目标：

①用单位圆中的正弦线画出正弦函数的图象；

②正弦函数图象与余弦函数图象的变换关系；

③用五点法作正弦函数和余弦函数的简图；

④会用五点法画出与正弦函数、余弦函数有关的某些简单函数在长度为一个周期的闭区间上的简图。

b、能力目标：

①让学生深刻了解从特殊到一般，从一般到特殊的辩证数学思想和方法

②培养学生分析、探索、化归、类比的科学研究方法在解决数学问题中的应用的能力

③培养学生利用“数形结合”研究函数性质的数学思想方法

c、情感目标：渗透“函数图象模型思想”和“数形结合思想”，通过作图，使学生感受波形曲线的流畅美、对称美，使学生体会事物周期变化的奥秘。

3、教学重点：

正弦函数，余弦函数的图象画法及形状特征。

4、教学难点：

利用正弦线画出函数y=sinx，x∈[0,2π]的图象，

利用正弦曲线和诱导公式画出余弦曲线。

二、教法分析

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充分调动学生的主观能动性是选择教法的根据，几乎所有的教育理论都十分强调新旧知识的衔接，新的认识结构必须以旧的认知结构为基础，教师教学的关键技巧也主要表现在对这一街接点的把握和学生的认可程度上。正弦函数图象的作法较为特殊，它不单纯地依据学生已掌握的描点法作图，而是用几何法描点作图，本节课的授课形式我将主要采用引导发现法、对比法。

教学过程中我将采用投影仪、多媒体课件来辅助教学。

三、学法分析：

教育的最终目的，就是使受教育者最终成为自我教育者，教师传授知识固然重要，但教会学生会学习更重要。国家课程改革提出在数学教学中要注重学生的思维过程和数学思想方法的培养和渗透。

阅读完课本，体会到教材展开的基本手法：

如由单位圆中的正弦线→[0，2π]中的一段正弦函数图象→利用y=sinx，x∈[2kπ，2（k+1）π]，k∈z且

k≠0的图象与y=sinx，x∈[0，2π]的图象完全一样，只是位置不同→y=sinx，x∈R的图象，简单说，教材采用了从特殊到一般手法，所以学习本节内容要多思考，多动手操作，多从一个周期上考虑相关问题，多去感受问题的演变过程，这也是学好数学的常用方法。

本章出现的一般函数总是要先化归为：y=Asin（ω

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x+φ）+C→与y=Asin（ωx+φ）比较→与y=Asinωx比较→与y=sin x比较，所以y=sin x，x∈R和y=cosx,x∈R的图象是本章的一个函数图象模型。

四、教学过程设计：

（一）复习正弦线、余弦线的概念

前面我们已经学习过三角函数线的概念及作法，请同学们回忆一下什么叫正弦线？什么叫余弦线？（课件演示图（1））

设任意角α的终边与单位圆相交于点P（x，y），过点P作x轴的垂线，垂足为M，则有向线段MP叫做角α的正弦线，有向线段OM叫做角α的余弦线。

（二）在直角坐标系中作点（α，sinα）

由单位圆中的正弦线知识，我们只要已知一个角α的大小，就能用几何方法作出对应的正弦值sinα的大小来，请同学们思考一下，如何用几何方法在直角坐标中作出点C（画出点C。

4 ，sin）？教师引导学生用图（1）的方法

我们能否借助上面作点C的方法在直角坐标系中作出正弦函数y=sinx，x∈R 的图象呢？

（三）用几何方法作y=sinx，x∈R的图象

我们知道，作函数的图象的步骤是：列表、描点、连线，如果我们用列表法得出各点的坐标，就会因各点的纵坐标都是查三角函数表得到的数值不够精确，使得描点后画出的图象误差也大，为克服这一不足，我们用前面作点C（，sin）的几何方法来描点，从而使图象的精确度提高。

1、我们先作y=sinx在[0，2π]上的图象，具体分为如下五个步骤：（课件演示）

a、作直角坐标系，先在直角坐标系中y轴左侧画单位圆。

b、把单位圆分成12等份（等份越多、画出的图象越精确），过单位圆上的各分点作x轴的垂线，可以得到对应于0，，，……2π

的正弦线。

c、找横坐标：把x轴上从0到2π（2π≈6.18）这一段分成12等份。

d、找纵坐标：将正弦线对应平移，即可指找相应12个点。

e、连线：用平滑的曲线将12个点依次从左至右连接起来，即得y=sinx，X∈[0，2π]的图象

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2、作正弦y=sinx，x∈R的图象（课件演示）

因为终边相同的角的三角函数值相等，所以函数y=sinx，x∈[2Kπ，2（k+1）π]，k∈z且k≠0的图象与函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象形状完全一样，只是位置不同，于是我们只要将函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象向左、右平移（每次2π个单位长度），就可以得到正弦函数y=sinx，x∈R的图象。

正弦函数y=sinx，x∈R的图象叫做正弦曲线

注：正弦曲线与正弦线是不同的。

3、五点法作y=sinx，x∈[0，2π]的简图

在作正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象时，我们描述了12个点，但其中起关键作用的是函数y=sinx，

x∈[0，2π]与x轴的交点及最高点和最低点这五个点，你能依次说出它们的坐标吗？

（0，0），（，1），（π，0），（，-1），（2π，0）

事实上，只要描出这五个点，y=sinx，x∈[0，2π]

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的图象的形状就基本确定了，以后我们常先找出这五个关键点，然后用光滑的曲线将它们连结起来，就得到函数的简图，这种作图的方法称为“五点法“作图。

练习：让学生动手用五点法作[0，2π]内的y=sinx的图象

（四）用变换法作余弦函数y=cosx，x∈R的图象，（课件演示图象）。

因为y=cosx=cos（-x）=sin[—（-x）]=sin（x+）

所以y=cosx，x∈R与y=sin（x+），x∈R是同一个函数，即余弦函数的图象可以通过正弦曲线向左平移个长度单位而得到，余弦函数的图象叫做余弦曲线。

请同学们说出在函数y=cosx，x∈[0，2π]的图象上，起关键作用的五个点的坐标。

（0，1），（，0），（π，-1），（图象

然后把y=sinx，x∈[0，2π]和y=cosx，x∈[0，2π]的图象进行比较，找出它们不同的特征。

7 ，0），（2π，1）

练习：让学生动手用五点法作[0，2π]内的y=cox的

（五）例题分析:(补充准备，看实际上课情形作取舍) 例1，画出下列函数的简图：

（1）y=1+sinx，x∈[0，2π]

（2）y=-cos，x∈[0，2π] 分析:作函数图象的基本方法描点法,但这里可结合“五点法“进行。

解：（1）按五个关键点列表：

利用五点法作出简图

（2）按五关键点列表：

利用五点法作出简图：

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思考：1、请说出函数y=1+sinx与y=sinx的图象之间有何联系？

函数y=1+sinx，x∈[0，2π]的图象可由y=sinx，x∈[0，2π]的图象向上平移1个单位得到。

2、y=cosx，x∈[0，2π]与y=-conx，x∈[0，2π]的图象有何联系？它们的图象关于x轴对称。

（六）课时小结

1、本节课介绍了作y=sinx，y=cosx图象的方法，有几何描点法作图、五点法作图，其中五点作图法最常用，要记清五个关键点的选取特点。

2、用诱导平移变换法，由y=sinx的图象变换出y=cosx的图象，在高一上学期函数这一章就学***移作图，请同学们多作比较。

应该说明的是y=sinx→y=cosx平移量不是唯一的，方向也可左可右。

（七）课后作业：

一、课本P46页

习题1.4

1 二、思考题：1、观察正弦曲线和余弦曲线，写出满足下列条件的x的区间。

（1）sinx＞0

（2）sin＜0 （3）cosx＞0

（3）cosx＜0 2、结合图象求出下列函数取得最大值、最小值的自变量x的集合，并分别写出最大值、最小值是什么？

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（1）y=sinx，x∈R （2）y=cosx，x∈R （3）y=-cos，x∈R （4）y=-2inx，x∈R 五、课后评价：

本节课的成功与否，我认为在于以下几方面：首先是学生是否已经理解了几何法作正弦函数图象的原由；其次，是否掌握用五点法作与正余弦有关的函数在一个周期上的简图；第三是否能区别出正、余弦曲线的不同特征；第四是学生在脑海中是否“给”新知识一个适当的位置；第五是检验知识传授、技能训练是否能化为学生的基本素质。

第一、二、三点不难从练习和作中检查到，第四、五点则是通过一些练习，进行有机的思维整合，进而培养学生良好的个性品质，作为本节课的教学，将力争使学生初步达到此要求。

以上就是我对这一节课的教学设想，不足之处，敬请批评指正。

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