复习参考题教案教学设计导入设计

3.1.1两角差的余弦公式的教学设计

一.教学目标：

课标要求：经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用；能运用两角差的余弦公式进行简单的恒等变换.

1.知识与技能：

(1)理解两角差的余弦公式的推导；

(2)掌握两角差的余弦公式并能进行初步的应用。

2.过程与方法目标

通过对两角差余弦公式的推导及应用，培养学生分析问题、解决问题的能力，进一步体会向量方法的作用，体会数形结合、化归与转化的思想。 3.情感、态度与价值观目标 培养学生大胆猜想、敢于探索、勇于置疑的学习品质与严谨、求实的科学态度；体会探究公式的一般步骤：特例、猜想、验证、证明的一般过程。

二.教学重点、难点

重点：两角差的余弦公式的推导与运用 难点：两角差余弦公式的推导过程 三.学情分析

学生在前两章已经学习了同角三角函数的基本关系、诱导公式及平面向量，为探究两角差的余弦公式建立了良好的基础。但学生的逻辑推理能力有限，要发现并证明公式C(α-β)有一定的难度，教师可引导学生通过合作交流，了解几何法，体会向量法的作用，探索两角差的余弦公式，完成本课的学习目标。

四.教学方法

1.利用多媒体，结合几何画板辅助教学（直观、清晰）

2.教师结合问题，逐步引导学生思考问题、解决问题。

五.教学流程

利用

猜想探究证明公式

熟悉公式结构特征

公式应用

小结

作业

特殊角的正余弦值

六．教学过程

（一）引入新课猜测公式



0

cos

30

45

60

90

sin根据引例中的结论，猜想：cos9060___________________. cos60、sin90、sin90之间的那几个有关系、问题1.分组讨论探究cos30与cos90、有什么关系？

问题2（验证规律）.仿照完成下列问题

①cos 45°cos 45°＋sin 45°sin 45°＝1=cos（45°-45°）

②cos 60°cos 30°＋sin 60°sin 30°＝_______ =__________________________ ③cos 120°cos 30°＋sin 120°sin 30°＝_______ =_________________________ ④cos 150°cos 210°＋sin 150°sin 210°＝_______ =______________________ 问题3.猜测，cos__________________.

（二）公式证明

1.（右侧与向量的数量积的坐标运算，结构类似。左侧定义法）

2.在图中能否找到与其相关的向量？

3.学生动手推导公式。

4．展示学生结果

单位圆中α终边yOA=(cosα,sinα)OB=(cosβ,sinβ)α-βBx

Aβ终边由OA=(cosα,sinα)，OB=(cosβ,sinβ

)O得OA•OB=cosαcosβ+sinαsinβ设OA，OB的夹角为θ又因为OA•OB=OA •OB cosθ =cos(α-β) 所以cos(α-β)= cosαcosβ+sinαsinβ坐标思考1思考2学生解法

问题1：是否同意同学的解法，有没有什么问题？

1.

学生提出问题，α-β为任意角，向量夹角为[0,](回答很好，给予肯定)

2.

α-β与向量之间的夹角有什么关系呢？

3.

引导学生在[0,2]研究，

(1)0,,;(2),2,2;

根据终边相同的角的性质，

2k,kZ

所以cos()cos设计意图：让学生经历用向量知识解出一个数学问题的过程，体会向量方法的作用。培养学生思维的严谨性。

得出结论：两角差的余弦公式(α,β为任意角)

yBβ终边α-βOAxα终边cos()coscossinsin问题2：熟悉公式，结构特征？

C



左边：两角差的余弦

右边：同名三角函数乘积的和

注意公式的正用，逆用，任意角，同名积，异号。

C C S S符号反

设计意图：熟悉公式，了解公式的结构特征。为后面公式的灵活应用做铺垫。

（三）知识应用

例1.利用差角的的余弦公式求cos15°的值. 分析：角15°,它可以拆分为哪些特殊角的差,如15°=45°-30°或者15°=60°-45°

学

生自主解决；

解法1：cos15cos4530

cos45cos30sin45sin30解法2：cos15cos6045

232162

22224123126

cos60cos45sin60sin4522224总结：非特殊角拆分成两个特殊角的差的形式,灵活运用公式求值.形式上不是差角，拆成差角求解

变式训练1：利用差角余弦公式证明：

（1）coscos

（2）coscos

（3）cossin

2例2.化简求值：

（1）cos45cos15sin45sin15

（2）cos80cos20cos10cos70

13（3）cos15sin15

22

例3已知sin,(,),cos4525,是第三象限角，求cos()的值.

13分析：结合余弦公式,欲求cos(α-β)的值,必先知道sinα、cosα、sinβ、cosβ的值,然后利用公式C(α-β)即可求解.,注意角α、β所在的象限,准确判断它们的三角函数值的符号.由学生自主完成. 434解：由sin,,得cosα=1sin2a1()2.

5552又由cosβ=521252,β是第三象限角,得sinβ=1cos1().

1313133541233所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=()()().

51351365总结：一定要弄清角的范围,准确判断三角函数值的符号.提醒学生注意,养成良好的学习习惯.

4.能力提升

34，coscos，求cos()

5513（2）已知cos，cos()，0，求cos

252（1）sinsin

（四）回顾小结

通过本节课的学习你有哪些收获？

1.

探索并证明了两角差的余弦公,

经历了，猜想—

探究—证明 ,利用几何法、向量法得出了公式：cos()coscossinsin

2.

所涉及的数学思想方法:化归与转化、数形结合、分类讨论

教师点评：在证明公式的过程中，我们利用了向量这一简洁有效的工具，在后面的学习中我们会继续感受它的便利。

注意公式特征，正用，逆用和角的拼凑！在探究问题时，结合所学知识，

要大胆猜想，细心证明！

（五）课后作业

1.必做：P137，2,3,4 2你能用cos(α-β)推

cos(α+β)吗？

3.课下思考：你能用三角函数线或其它方法证明cos(α-β)吗？

（提示）①直接给出角α，β，α-β

②利用余弦线，做垂线PM；构造直角三角形做垂线PA，为了将cos，sin,OM联系起来，做垂线AB

③∠PAB=α 做垂线PC，进而得到公式

公式推导cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ单位圆，角α角βα-β单位圆中yA

垂线PM1垂线PA垂线PCβ34垂线AB2三角形ABO三角形APCcos(α-β)cosβCcos(α-β)=OM=OB+BMP1=OB+CPsinβ=OAcosα+APsinαααP=cosαcosβ+sinαsinββαα-βOBMx

高斯的名言与同学们共勉:“一个人在无结果地深思一真理后能够用迂回的方法证明它,并最后找到了它的最简明而又最自然的证法,那是极其令人高兴的.”

七.板书设计：

投影

屏幕

3.1.1两角差的余弦公式

cos()coscossinsin(C())板演

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