信息技术应用 利用正切线画函数y=tan x，x∈（-π/2, π/2)的图象教学设计第一课时

《正切函数的性质与图象》

宋

素

芳

2018-6-30

1.4.3 正切函数的性质与图象

* 一、教学目标

1.能画出y=tanx的图像，借助图像理解正切函数的区间ππ(-,)22

上的性质。

2.掌握正切函数的性质，会求正切函数定义域，值域及周期

3.会利用函数图像与性质解决综合问题。

* 二、学情分析

此前学生刚刚学习掌握了正、余弦函数的图像和性质，因而为学习正切函数的图像和性质奠定了基础，但因学生数学基础比较薄弱，所以在一定程度上降低了课本难度。希望学生学会从图像入手，通过图像的直观性来理解和掌握正切函数的图像和性质。

* 三、重点难点

教学重点：正切函数的图象和性质。

教学难点：1、用单位圆中的正切线作正切函数的图象。

2、利用函数图像与性质解决综合问题

* 四、教学过程

【课题导入】

1．设置情境

前面我们学习了正弦、余弦函数的图像和性质，正切函数是不同于正弦、余弦函数的又一三角函数，我们今天要学习的就是正切函数的图象和性质。（板书课题）

2

2．复习

请同学们回忆一下，我们是怎样利用单位圆中的正弦线作出图像的．

（类比）→联想画正切函数的图像的方法。

【新知探究】

3．回顾定义

（1）在直角坐标系中，根据正弦、余弦、正切的定义，可知，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以比值为函数值的函数。我们统称为三角函数。正切函数y=tanx x



2k,kz正切线：在直角坐标系中，设单位圆与轴的交点为：，任意角的终边与单位圆交于点，过点作轴的垂线，与角的终边或终边的延长线相交于点。AT为正切线。

正切线是AT．(注意A点的位置)

4．正切函数的图象：

思考：正切函数y=tanx是否为周期函数？能说明理由吗？

（类比）正弦函数的图像的作法正切函数也可以作一个周期内的图象，作哪个周期内的图象呢？

因此我们可选择的区间

作法如下：

①作直角坐标系，并在直角坐标系轴左侧作单位圆．

3 ππ(-,)22

作出它的图象。为什么？

②把单位圆右半圆分成8等份，分别在单位圆中作出正切线．

③找横坐标（把轴上到这一段分成8等份）．

④找纵坐标，正切线平移．

⑤连线．

，

作法:

ytanxx，2233

4，

8，

8，

4，

88，

o30284884382

根据正切函数的周期性，我们可以把上述图像向左、右扩展，得到正切函数，且（x∈R）的图像，并把它叫做正切曲线

4

5．正切函数的性质

请同学们结合正切函数图像研究正切函数的性质：

定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性．

①定义域：

②值域

由正切曲线可以看出，当小于（）且无限接近于时，无限增大，即可以比任意给定的正数大，我们把这种情况记作（读作趋向于正无穷大）；当大于且无限接近于，无限减小，即取负值且它的绝对值可以比任意给定的正数大，我们把这种情况记作（读作趋向于负无穷大）．这就是说，可以取任何实数值，但没有最大值、最小值．

因此，正切函数的值域是实数集．

③周期性

正切函数是周期函数，周期是π．

④奇偶性

∵tan(x+π)=tanx，∴正切函数是奇函数，正切曲线关于原点对称．

⑤单调性

k,k)由正切曲线图像可知：正切函数在开区间 22(K∈z，内都是增函数．

【例题分析】 ytanx函数的定义域．

例1求 23

5

分析：即把整个相位看成一个整体，这个整体不等xk,kz。

于 2

例2不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小：(1)tan167°与tan173°

13π17π(2)tan-与tan-.45

分析：

比较两个正切型实数的大小，关键是把相应的角诱导到的同一单调区间内，利用的单调递增性来解决。为了方便，我们可以都转化到这个区间。

例3观察正切曲线写出满足下列条件的x的值的范围：tanx＞0

解：根据y＝tanx的图象，不难看出在此区间上满足tanx＞0的x的范围为：0＜x＜

结合周期性，可知在x∈R，且x≠kπ＋上满足的x的取值范围为(kπ，kπ＋)(k∈Z)

注：即根据y＝tanx在(－，)上的图象，先找一个周期内的答案，在结合周期写答案。

【课堂练习】

课本45页， 【布置作业】

课本35页习题1.4A组6，7，8，9

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