2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示教案设计（一等奖）

课 题：2.3.2

平面向量的坐标运算（1）

教学目标：能正确理解向量加、减法、数乘的坐标运算法则，会用坐标表示平面向量的加、

减与数乘运算；

重点难点：平面向量线性运算的坐标表示．

课

型

教学过程：

一、自主学习

复***面向量基本定理：

如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向

量a，有且只有一对实数1,2使a1e12e2．[来源学*科*网Z*X*X*K]新授课

课堂教学模式

小组合作学习

合作学习记录

其实质：同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合．

二、小组讨论

提出问题：在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对实数(x,y)表

示，那么，每一个向量可否也用一对实数来表示？

三、交流展示

1．平面向量的坐标表示．

如图，在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量i、j作为基底．任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得a＝xi+yj．

我们把(x,y)叫做向量a的（直角）坐标，记作a(x,y)

其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，[来源学科网]

说明：（1）对于a，有且只有一对实数(x,y)与之对应

（2）相等向量的坐标也相同；

（3）i(1,0)，j(0,1)，0(0,0)；

（4）从原点引出的向量OA的坐标(x,y)就是点A的坐标．

问题：已知a(x1,y1)，b(x2,y2)，你能得出ab，ab，a的坐标吗？

结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差．[来源学&科&网]

2．向量的坐标计算公式：

已知向量AB，且点A(x1,y1)，B(x2,y2)，求AB的坐标．

AB＝OB－OA＝(x2,y2)(x1,y1)(x2x1,y2y1)

结论：（1）一个向量的坐标等于表示它的有向线段的终点坐标减去始点坐标；

（2）两个向量相等的充要条件是这二个向量的坐标相等．

3．实数与向量的积的坐标：

已知a(x,y)和实数，则a(xiyj)xiyj(x,y)

结论：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．

4．由向量运算的结合律、分配律及数乘的运算律可得：

（1）两个向量的和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）；

（2）实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标；[来源学科网ZXXK]

（3）一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标．

四、数学应用

→|＝43 ，例1

如图，已知O是坐标原点，点A在第一象限，|OA

→的坐标．

∠xOA＝600．求向量OA

例2

已知A(1,3),B(1,3),C(4,1),D(3,4)，求向量OA，OB，AO，CD的坐标．



例3

已知a(2,1)，b(3,4)，求ab，ab，3a4b的坐标．

例4

用向量的坐标运算解2.3.1小节例2．

[来源:Z。xx。k.Com]

[来源学科网ZXXK]

例5

已知P1(x1,y1),P2(x2,y2)，P是直线P1P2上一点，且P1PPP2

(1)，求点P的坐标．

[来源:Z#xx#k.Com]

例6 已知平行四边形ABCD的三个顶点A,B,C的坐标分别为(2,1)，(1,3)，(3,4)，求顶点D的坐标．

[来源:Z#xx#k.Com

五、检测反馈

[来源:学科网]

六、概括小结

[来源:Z§xx§k.Com]

七、课外作业