阅读与思考 三角学与天文学优质课教案内容

三角学与天文学（三角函数的定义由来）

教学目标：

1、知道三角学与起源与、天文学，体会三角学知识对天文学的重要性及数学在解决实际问题中的重要作用。

2、知道正弦、余弦、正切定义的由来，进一步理解任意角三角函数的定义。

教学重点：三角学的起源发展

教学难点：三角函数的定义及演变

教学过程：

一、导入

三角学的起源

早期的解三角形是因天文观测的需要而引起的。还在很早的时候，由於垦殖和畜牧的需要，人们就开始作长途迁移；后来，贸易的发展和求知的欲望，又推动他们去长途旅行。在当时，这种迁移和旅行是一种冒险的行动。人们穿越无边无际、荒无人烟的草地和原始森林，或者经水路沿著海岸线作长途航行，无论是那种方式，都首先要明确方向。那时，人们白天拿太阳作路标，夜裏则以星星为指路灯。太阳和星星给长期跋山涉水的商队指出了正确的道路，也给那些沿著遥远的异域海岸航行的人指出了正确方向。

就这样，最初的以太阳和星星为目标的天文观测，以及为这种观测服务的原始的三角测量就应运而生了。因此可以说，三角学是紧密地同天文学相联系而迈出自己发展史的第一步的。

二、弦表与正弦、余弦的定义

公元

100 年希腊天文学知识在由罗马贸易传入了印度，印度人接受了古希腊的天文学知识，并对三角学进行了研究，制作了弦表、半弦表。

1、

希帕霍斯弦表：

在进行天文观测时，人与星球以及大地的位置关系，通常是以直角三角形边角之间的关系反映出来的。在很早以前，希腊天文学家从天文观测的经验中获得了这样一个认识：星球距地面的高度是可以通过人观测星球时所采用的角度来反映的(如图；角度α越大，星球距地面h就越高。

能不能把各种不同的角度所反映的星球的高度都一一算出来呢?这就是天文学向数学提出的第一个课题—制造弦表。

希帕霍斯弦表：希帕霍斯对球面上的角度和距离进行计算，制作了第一份

“弦表”。在固定的圆内，不同的圆心角所对应的弦长的表。被称为“三角学之父”

2、半弦表——《毗坛摩诃悉昙多》

在《毗坛摩诃悉昙多》中给出了一张“半弦”表。在解三角形时我们发现运算过程中总是要将角度加倍，再找到对应的弦长，然后再将其化为原来的一半，印度的数学家觉察到这一点，觉得用倍角所对半弦值构造数表要比用整弦简单，因而在这部著作和后来的天文学著作中都使用“半弦”。如图，半弦表中研究的是，角CAB与其半弦长BC之间的关系。后人将半弦称为正弦。

3、正弦、余弦的定义

在单位圆中，将角a所正对的半弦长MP称为角a的正弦，

其余角

所对的半弦长NP（即OM）称为角a的余弦。

正弦(sine）:

sin α=MP 余弦(cosine):

cos α=OM

三、独立三角学的产生

1450 年以前三角学研究目的是为天文学服务，三角学知识通常被记录在天文著作的某个章节中。直到文艺复兴时期开始三角学才逐渐发展为一门独立的数学学科。欧洲第一部完全论述三角学的课本名为《论各种三角形》。

1464年，雷基奥蒙坦纳斯发表《论各种三角形》一书，他基于欧氏几何，按照《几何原本》的模式用定义和公理开头来精心组织材料，用公理、《几何原本》的结论、或书中前面的结论来证明每一个定理。大多数定理都有附图，还有解释性的具体例题。雷格蒙塔努斯的三角学是以弧的正弦为基础，正弦的定义是二倍弧的半弦。

四、现代三角学与三角函数的比值定义

直到十八世纪，所有的三角量：正弦、余弦、正切、余切、正割和余割，都始终被认为是已知圆内与同一条弧有关的某些线段，即三角学是以几何的面貌表现出来的。

1748年，尤拉发表著名的《无穷小分析引论》一书，指出：”三角函数是一种函数线与圆半径的比值”。具体地说，任意一个角的三角函数，都可以认为是以这个角的顶点为圆心，以某定长为半径作圆，由角的一边与圆周的交点P向另一边作垂线PM后，所得的线段OP、OM、MP(即函数线)相互之间所取的比值，

sinα＝MP/OP，

cosα＝OM/OP，

tanα＝

MP/OM

尤拉的这个定义使三角学从静态地只是研究三角形解法的狭隘天地中解脱了出来，使它有可能去反映运动和变化的过程，从而使三角学成为一门具有现代特徵的分析性学科。这样，就使得从希帕克起许多数学家为之奋斗而得出的三角关系式，有了坚实的理论依据，而且大大地丰富了。严格地说，这时才是三角学的真正确立。

板书：

正弦、余弦的定义

在单位圆中，将角a所正对的半弦长MP称为角a的正弦，

其余角

所对的半弦长NP（即OM）称为角a的余弦。

正弦(sine）:

sin α=MP 余弦(cosine):

cos α=OM

作业：1、归纳三角学的发展历程

2、结合三角学中正弦、余弦的定义预习课本1.2.1节内容。