6、积的变化规律和乘数末尾有0的乘法练习PPT专用课堂实录内容

【题目】用3、4、5、6、7这五个数字组成一个两位数和一个三位数(数字不重复)。要使乘积最大，应该是哪两个数？要使乘积最小呢？

1理解“最值原理”

首先，这道题属于最值问题，最值问题中用到比较多的就是“最值原理”(划重点)：

“和一定，差小积大（差大积小）”

“积一定，差小和小（差大和大）”

比如：

做个题目试试？

【问题1】两正整数之和为18，那么两数之积最大为多少？

【问题2】两正整数之积为56，那么两数之和最小为多少？

【详解】

(1) 根据“和一定差小积大”，当且仅当两数相等时，乘积最大，最大乘积为：9×9=81；

(2) 根据“积一定差小和小”，56=7×8，当两数分别为7和8时，和最小，最小和为：7+8=15。

【答案】

(1) 81

(2) 15

“最值原理”你会了吗？

2三位数与三位数的最值问题

那么，最值原理跟本题有何关系呢？我们先看一道简单的题：

【题目】用3、4、5、6、7、8这六个数字组成两个三位数(数字不重复)。要使乘积最大，应该是哪两个数？要使乘积最小呢？（是不是有似曾相识的赶脚？）

① 先解决乘积最大的问题：

为了使结果最大，百位应填8和7，十位可以填6和5，那么个位只剩下4和3.如下图：

接下来要将数字分配给两个三位数。这时，我们就要用到“最值原理”啦~

（最值原理：当当当当~天空一声巨响，本人闪亮登场！）

通过观察发现，不管个位上的数字如何分配，构成两个三位数，这两个三位数的和是不变的（不管怎么分配，个位上一定是3+4，十位上一定是5+6，百位上一定是7+8，即和一定是1617）。

既然和相同，根据“和一定，差小积大”，若想使结果大，两个三位数的差要小；

这两个数，一个是八百多，一个是七百多，要想使差最小，八百多的数要尽可能小，七百多的数要尽可能大；

也就是数字“8”为百位的数要尽可能挑比较小的十位和个位数字，数字“7”为百位的数要尽可能挑比较大的十位和个位数字。如：

写下来就是：853×764。你理解了吗？

② 再解决乘积最小的问题

如果能理解上面的乘积最大的问题，那么最小问题理解起来，就像是喝水一样容易！（这是啥比喻）

为了使结果最小，百位应填3和4，十位可以填5和6，那么个位只剩下7和8.如下图：

根据“和一定，差大积小”，三百多的数要尽可能小，四百多的数要尽可能大，这样差最大，积最小：

写下来就是：357×468。是不是也很容易？

（老师，这好像还不是最开始的那道题喂~）

3三位数与两位数的最值问题

那么，现在回过头来看一看文章开头的问题，有没有感觉豁然开朗啊，啊哈哈（爽朗的笑声）！

【题目】用3、4、5、6、7这五个数字组成一个两位数和一个三位数(数字不重复)。要使乘积最大，应该是哪两个数？要使乘积最小呢？

（老师，哪里一样呀呀呀~）

（一本正经状）咳咳，数学最重要的思想之一，就是“化归思想”，也就是把不熟悉的题目转化成熟悉的题目，举个“栗子”，如何把一壶水烧开呢，如果对于一位物理学家来说，需要…（此处省略500字）

（老师，这个故事说了太多遍了，说题目撒）

这道题的关键，是把“一个两位数和一个三位数”转化成“两个三位数”。如何转化呢？

只需要在本题中多增加一个数字“0 ”（两位数尾巴上加“0”，此数会扩大10倍，乘积因此也会扩大10倍，如果这个扩大10倍后的乘积最大，那说明原本未扩大的乘积也是最大的，此为解决本题的关键）(切记添加的0只能出现在尾巴上，也就是只能出现在个位上) 。

① 先解决乘积最大的问题

在两位数的末尾添加数字“0”后（0只能出现在个位），若想使结果最大，百位上应选7和6，十位上应选5和4，个位上只剩下3(和添加的0)。如：

根据“和一定，差小积大”，七百多的数要尽可能小，六百多的数要尽可能大，这样差最小，积最大：

写下来就是：740×653。当然，这是扩大10倍后的最大值，还原回去就是：74×653。（是不是像喝水一样容易！）

② 再解决乘积最小的问题

在两位数的末尾添加数字“0”后（0只能出现在个位），若想使结果最小，百位上应选3和4，十位上应选5和6，个位上只剩下7(和添加的0)。如：

根据“和一定，差大积小”，三百多的数要尽可能小，四百多的数要尽可能大，这样差最大，积最小：

写下来就是：350×467。当然，这是扩大10倍后的最小值，还原回去就是：35×467。学会了吗~

因此，乘积最大两数为74×653，乘积最小两数位35×467。

4总结

此类题型为“位值原理”与“最值原理”相结合的综合题，掌握两大基础知识点即可解出此题。

在学而思学习的四年级小朋友也不用担心，我们会在这个春季班学***工具哦，在第六讲会学习“有趣的最值问题”，在第八讲会学习“为什么数字只有0~9”。